в какой точке отрезка функция принимает минимальное значение
В какой точке отрезка функция принимает минимальное значение
Задача: Дан график производной функции 
. Определить, в какой точке отрезка 
функция принимает наибольшее значение.
Решение:
Отбросим лишнее (оставим на чертеже только отрезок )
Требуется определить точку, в которой функция принимает наибольшее значение.
Замечание 1: Вторая теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Замечание 2: Это наибольшее и наименьшее значение она достигает или внутри отрезка или на его границах.
Замечание 3: В точке максимума производная функции равна нулю и меняет свой знак с плюса на минус.
В этом случае есть две точки, в которых производная равна нулю, но только при 
этот график переходит из верхней полуплоскости в нижнюю (т.е. производная меняет свой знак с «+» на «-»).
Вывод: — точка максимума функции 
на отрезке .
Ответ: в точке функция достигает своего наибольшего значения на отрезке
Замечание:
А зачем, собственно говоря, в условии задачи дано ограничение на рассматриваемый отрезок? И почему именно ?
Рассмотрим и проанализируем отрезок 
.
2) в точке 
производная равна 0 и меняет свой знак с «-» на «+», т.е. функция имеет в этой точке минимум.
4) в точке производная равна 0 и меняет свой знак с «+» на «-», т.е. функция имеет в этой точке максимум.
5) на отрезке 
производная отрицательна, т.е. функция убывает.
Построим пример графика, удовлетворяющий пунктам 1) — 6).
В данном случае наибольшее значение функция принимает наибольшее значение на границе интервала в точке 
, а не в точке максимума .
Только по графику производной сравнивать значение функции практически невозможно, поэтому и взят интервал , на котором функция сначала возрастает, а потом убывает, т.е. думать особо не надо.
Задача: Дан график производной функции . Определить, в какой точке отрезка 
функция принимает наибольшее значение.
Решение:
Замечание: дан график ПРОИЗВОДНОЙ.
На рассматриваемом отрезке производная всюду отрицательна (лежит ниже оси ОХ ), т.е. функция всюду убывает на этом отрезке, типа вот такого:
Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в левой точке рассматриваемого отрезка.
Ответ: Функция , определенная на отрезке принимает наибольшее значение в точке 
Наибольшее и наименьшее значение функции
На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.
Основные определения
Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.
Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.
Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.
Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.
Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.
Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале
Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке
В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.
Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.
Решение:
Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:
y ( 1 ) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y ( 2 ) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y ( 4 ) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале
Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.
Решение
Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0 :
Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.
Теперь выполним дифференцирование функции и получим:
Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.
Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.
Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.
В какой точке отрезка функция принимает минимальное значение
На рисунке изображен график производной функции 
определенной на интервале 
В какой точке отрезка 
принимает наибольшее значение?
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
На рисунке изображён график 
— производной функции определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция принимает наибольшее значение?
На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.
В какой точке отрезка функция принимает минимальное значение
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
В какой точке отрезка 
принимает наибольшее значение?
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
На рисунке изображён график — производной функции определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция принимает наибольшее значение?
На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.