в каком классе проходят теорему косинусов

Изучение темы «Теорема косинусов» в 9-м классе

Разделы: Математика

Изучение темы «Теорема косинусов» в 9-ом классе.

Начало урока. Организационный момент устанавливает личностный контакт учителя с учениками через формирование целей урока, их взаимного принятия и включение мотива на совместную работу. Положительная мотивация достигается анализом успешной работы учащихся с теоремой синусов и ее применением к решению задач.

Этап подготовки к осознанному восприятию нового материала

Задание: Используя треугольник АВС, найдите синус угла А и косинус угла А.Сделайте вывод.

Замечание. Острые углы А и В прямоугольного треугольника АВС дополняют друг друга. 90 о и являются дополнительными.

Вывод: Косинус острого угла равен синусу дополнительного угла.

3. (Ученик 3) Используя четырехзначные математические таблицы Брадиса, найдите

1) cos25 о ; 2) угол , если cos = 0,4756;
cos25 о 15′; cos = 0,5638;
cos25 о 18′; cos = 0,8975.
сos43 о 39′.

4. Анализ и обсуждение домашнего задания. Слайд 3.

1) (Ученик 4) Задача 1. Постройте угол, если его
а) синус угла равен
б) косинус равен

2) (Ученик 5) Задача 2. Найдите площадь треугольника, если

а) две стороны треугольника равны 20 см и 14 см, а косинус угла между ними –
б) две стороны треугольника равны 17 см и 8 см, а косинус угла между ними

5. Обсуждение задачи 2б. Изменим искомое в задаче 2б: Найдите квадрат третьей стороны треугольника по алгоритму: (*)

Запомните алгоритм и результат!

Этап изучения нового материала. Слайд 4. Теорема

В каждом треугольнике квадрат любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: АВС АВ = с, АС = b, ВС = а
Доказать: c 2 = a 2 + b 2 – 2 abcosC
Доказательство.
А) если о, тогда cosC = 0 и c 2 = a 2 + b 2 (Теорема Пифагора); Слайд 5.
Б) если – острый, то для доказательства применим алгоритм (*):Слайд 6.

В) если – тупой. Слайд 6. Доказательство проведите самостоятельно.

Замечание: Вернитесь к измененной домашней задаче 2б и вычислите ВД 2 по теореме косинусов. Сравните ответы.

Работа с учебником

1. Прочитайте доказательство теоремы в учебнике Л.С. Атанасяна Геометрия 7–9, стр.257.
2. Составьте алгоритм доказательства теоремы.
3. Расскажите основную идею доказательства.
4. Сравните доказательства. Найдите положительные и отрицательные стороны обоих доказательств.
5. Почему в доказательстве по учебнику не рассматриваются три случая?

Основные задачи – следствия из теоремы косинусов

3. СЛЕДСТВИЕ 2.Определение вида треугольника, зная его стороны (cлайд 9).

Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла?

ВЫВОД.

Проверьте вывод на выполненных задачах.

4. СЛЕДСТВИЕ 3. Формула медианы треугольника. Слайд 10.

– Решение проведите самостоятельно.

Задача. Стороны треугольника 3; 4 и 6. Найти длину медианы, проведенной к большей стороне.

5. СЛЕДСТВИЕ 4. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: d₁ 2 + d₂ 2 = 2a 2 + 2b 2 Слайд 11.

Доказательство проведите самостоятельно и рассмотрите различные способы.

Задача. В параллелограмме стороны равны 4 см и 6 см. Одна из диагоналей 8 см. Найдите вторую диагональ.

– Дополняем теорию. (Задания на исследование по группам) Какие ранее изученные теорем можно доказать с помощью вывода теоремы косинусов?

1. Теорема о средней линии треугольника. (Помогает Слайд 12.)
2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (Помогает Слайд 13)

Практическое приложение теоремы косинусов

По Слайдам 14, 15 составьте задачи о нахождении расстояния между двумя недоступными предметами и решите их.

Подведение итогов урока. Оцените значимость изученного материала.

Домашенее задание: разобраться в теории, найти другие способы решения задач-следствий и оценить их; № 1025авд, 1030, 1031.

Источник

Разработка урока математики «Теоремы синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Открытый урок по геометрии в 9 классе.

Тема урока: «Теоремы синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием»

Учитель : Сергиенко О.В.

В СМИ прошла информация о том, что в Лондоне осенью состоялась аттестация математического образования школьников различных стран мира. Российские школьники показали далеко не блестящие результаты. Школьники Европы и американские школьники нас обошли. Почему? Это не была олимпиада. Акцент делался на применение математических знаний в жизненных ситуациях. Наши школьники, напичканные академическими знаниями, умеющие решать сложнейшие задачи, растерялись в тех ситуациях, которые предлагались решить. Поэтому приложение математических знаний было во все времена и остается в современности важнейшей педагогической задачей.

Цель урока : показать важность изученных теорем применительно к решению практических задач.

Создать условия на уроке для расширения поля применяемости геометрических знаний в процессе решения задач с практическим содержанием.

Создать условия для выработки умений и навыков в решении задач данного вида.

Показать историческую связь теории с практикой.

Обеспечить развитие понятийного движения.

Объема внимания, памяти, представления.

Мыслительных операций обобщения, анализа, сопоставления, графических навыков.

Помочь воспитывать самостоятельность, настойчивость, умение доводить начатое до конца, доброжелательные чувства к товарищам, активность, аккуратность.

Дозировка зрительной нагрузки,

Смена видов деятельности,

Физическая и психологическая разгрузка.

Плакат «Математика представляет искуснейшие изобретения, способные удовлетворить любознательность, облегчить ремесла и уменьшить труд людей»

Ι. Введение. Целеполагание.

-Тему сегодняшнего урока вы видите на доске «Теорема синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием». Хотя отношения математики с внешним миром становятся все более опосредствованными, практика остается и источником, и движущей силой развития математики и единственным объективным критерием истинности ее предложений.

Михаил Васильевич Ломоносов еще в свое далекое от нас время характеризовал математику как учение о сокровенных свойствах природы и подчеркивал ее прикладное значение.

-Попробуйте сформулировать цель сегодняшнего урока. (Учебный диалог).

-Сегодняшний урок можно назвать обобщающим. Так как для решения задач, заявленных в теме, нужны все те знания, которые мы с вами вместе добывали и бережно укладывали в свой багаж. Поэтому первый этап работы – актуализация знаний путем активизации вашей памяти.

У каждого на столах лежит набор карточек, которые будем использовать в течение урока и зачетный листок.

Теоретический тест на повторение.

1.

а) теорема Фалеса, б) равенство треугольника, в) теорема Пифагора.

2.

а) площадь треугольника, б) площадь трапеции, в) площадь параллелограмма.

3.

а) теорема о радиусе описанной окружности,

в) теорема Птолемея.

4. Теорема косинусов.

а)

б) ,

в) .

5. Найти значение тригонометрических функций данных углов.

Sin30º= sin45º= sin60º=

Cos30º= cos45º= cos60º=

Tg 30º= tg 45º= tg 60º=

6. Найти значение тригонометрических функций данных углов.

(Результаты на слайде)

Учитель: Сравните и оцените свою работу сами.

Практический тест на повторение.

В прямоугольном треугольнике , а гипотенуза равна 10 см.

Вычислите катеты треугольника.

а) 5см и 8см; б) 6см и 8см; в)13см и 15см.

2. Определите вид треугольника, если его стороны равны 3см, 4см, 7см.

а) прямоугольный, б)тупоугольный, в) не существует

3. Стороны треугольника, равные 3см и 5см образуют угол 120º.

Вычислите третью сторону.

4. Треугольник АВС вписан в окружность. Известно, что АВ=2, а

Учитель: Обменяться тестами и проверить работу товарища. Оценить.

Проверка домашнего задания.

Записать решение треугольников в общем виде (по одной задаче вразброс) каждому ряду (фронтальная проверка).

Один ученик оформляет магнитный стенд по этому заданию. Он должен выбрать из хаотичного набора карточек нужные записи и представить решение. По выполнению задания всеми, работа оценивается.

ΙΙΙ. Геометрия в древних практических задачах.

На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил, формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Лишь много веков спустя учеными Древней Греции была создана теоретическая основа геометрии. Но и тогда прикладная геометрия не утратила своего значения, поскольку была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства. Таким образом, написанные в древности, руководства по геометрии, содержащие «рецепты» решения практических задач, сопровождали человечество на протяжении всей истории существования. Решения отдельных старинных задач практического характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания.

Ребята подготовили небольшие сообщения. Все внимательно слушают, и если что-то будет не ясно, задают вопросы.

Докладчики подготовили слады презентации.

Предполагают, что оба способа ее решения принадлежат древнегреческому ученому путешественнику и купцу Фалесу Милетскому жившему в 6 веке до новой эры.

Первый способ основан на одном из признаков равенства треугольников.

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель в точке А.

Требуется определить расстояние КА.

Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка АВ=ВС. В точке С построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки Д, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольные треугольники ВСД и ВАК равны, следовательно, СД=АК, а отрезок СД можно непосредственно измерить.

Второй способ, получивший название метода триангуляции, нашел свое применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до небесных светил. Решение этим методом состоит из трех этапов:

Измерение углов α и β и расстояния АВ.

Построение треугольника с углами α и β при вершинах соответственно;

Учитывая подобие треугольников АВК и и равенство отношений АК:АВ=, по известным длинам отрезков АВ, нетрудно найти длину отрезка АК.

Еще один способ решения задач на определение расстояний содержится в русской военной инструкции начала 17 века.

Пусть необходимо измерить расстояние от точки А до точки В. В точке А нужно вбить «жезл» примерно в рост человека. В. Верхний конец жезла следует совместить с вершиной прямого угла треугольника так, чтобы продолжение одного из катетов проходило через точку В. Далее нужно отметить точку С пересечения продолжения другого катета с землей. Тогда воспользовавшись пропорцией АВ:АД=АД:АС, легко вычисляем длину АВ; АВ= Для того, чтобы упростить расчеты и измерения, рекомендуется разделить жезл на 100 или 1000 равных частей.

Огромный вклад в развитие прикладной геометрии внес китайский трактат «Математика морского острова», в котором приведены решения различных задач на определение расстояния, и вычисление недоступных высот. Задачи Лю Хуэя довольно сложны. Решение своих задач он обычно давал в виде правил. Эти задачи имели большую практическую ценность и поэтому получили широкое распространение не только в Китае, но и далеко за его пределами.

ΙV. Физическая и психологическая разгрузка.

Не поворачивая головы, «пошарьте» глазами по классу, найдите красный кружок, затем синий, потом зеленый. Еще раз- красный, синий, зеленый. А теперь – зеленый, синий, красный.

Закрыть спокойно глаза, сосчитать до 5.

Учитель : Итак, вы узнали, как в древности решались задачи на определение расстояний. Мы с вами знаем еще и теоремы синусов и косинусов, умеем решать треугольники.

Не так уж и трудно задачи решать

Проблема дает вдохновение

Искусство же в том, чтоб суметь отыскать

Задачу, когда есть решение.

А задачи нам составляет сама жизнь.

Нашли карточку с задачами, открыли тетради, записали число и тему урока.

Найдите ширину болота АВ.

Вершина горы видна из точки А под углом 38º42′, а при приближении к горе на 200 м вершина стала видна под углом 42º. Найти высоту горы.

( чертежи в виде картинок на слайде, зачитать задачу, дать время на решение, комментированная проверка)

VΙ. Подведение итогов урока.

Какое у вас чувство осталось от сегодняшнего урока?

Сопоставьте это чувство с цветом и поднимите соответствующую карточку.

карточка с задачами

1. Найти расстояние от точки А, находящейся на берегу, до корабля в море.

2.Найти расстояние от острова, находящегося на озере, до пункта В на берегу.

Учитель: Спасибо за урок. До свидания.

Источник

Урок + презентация по геометрии для 9 класса по теме «Теорема косинусов»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Выбранный для просмотра документ _открытый урок 28.11.13.doc

Разработка урока геометрии в 9 «Б» классе
«Теорема косинусов»

Тема « Теорема косинусов»

Тип урока : урок усвоения новых знаний

Место урока – первый урок по данной теме

Обучающая цель урока :

знание учениками формулировки теоремы косинусов;

находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу

определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным

определять вид треугольника по трем известным сторонам.

Задачи личностного развития:

организовать ситуации для:

самоопределения учащихся на прогнозируемый результат

развития рефлексивных способностей;

развития коммуникативных способностей учащихся;

развития мышления учеников, умения аргументировать, доказывать.

Оборудование и материалы: мультимедийная установка, экран, доска, мел.

Краткий план урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация ведущих знаний и способов действий.

3. Мотивация и целеполагание.

4. Основная часть. Доказательство теоремы косинусов. Представление

образцов применения теоремы косинусов при решении задач.

Самостоятельное применение знаний. (Мини-тест).

5. Рефлексия. Подведение итогов урока.

1этап Организационный. Приветствую учащихся, проверяю готовность рабочего места школьников к учебному занятию. Создаю настрой на работу, объявляю учащимся, что в течение урока они оценивают себя, выставляя отметки в рабочую карту.

2этап Актуализация знаний учащихся, выдвижение гипотезы.

Предлагаю для начала разминку (тест) по формулам «Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰».

Записать формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.

3этап Создание проблемной ситуации, ее разрешение. Мотивация и целеполагание.

Проблемная задача повышает мотивацию учеников на дальнейшую познавательную деятельность. Организуется ситуация для постановки цели урока и прогнозирования результатов занятия, например, необходимо выяснить универсальный способ нахождения длины третьей стороны треугольника по известным длинам двух других сторон и углу между ними.

Решение задачи. Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС ▲ АВС, если А(0;0), В ( с;0), С( bcosA ; bsinA ).

Вывод: дадим словесную формулировку, полученного равенства. Получим теорему, которая называется теоремой косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.

-Можно ли сказать, что теорема Пифагора-это частный случай теоремы косинусов? Да, т.к. cos 90 o =0.

Вопрос для обсуждения. Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?

находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

Значение косинуса угла в треугольнике.

Ученикам предлагается вычислить косинус большего угла в треугольнике с известными длинами трех сторон и определить вид этого треугольника.

Вычислить косинус большего угла в треугольнике, если его стороны равны:

Результаты вычислений каждой группы заносятся в таблицу, обсуждаются, делаются выводы:

Для определения вида треугольника ( остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)

Вычислить косинус угла, лежащего напротив большей стороны;

Если cos 0, треугольник тупоугольный.

Вопрос для обсуждения. Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла? Вспоминается теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона).

Проверьте вывод на выполненных задачах(дома).

7 этап. Построение перспективного плана дальнейшей работы.

—вопрос учителя: Вопрос для обсуждения. Какие задачи можно решить с помощью теоремы косинусов?

находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным сторонам

определять вид треугольника по трем известным сторонам

В треугольнике со сторонами m, n, p против стороны

Если косинус большего угла треугольника

отрицателен, то этот треугольник:

А) остроугольный; Б) прямоугольный;

Длины двух сторон треугольника равны и 3, а угол

В треугольнике длины сторон равны √3; 4; √7. Определить вид треугольника

А) остроугольный; Б) прямоугольный;

Что еще нужно сделать, чтобы урок был завершен?»

Ученики: « Задать домашнее задание».

Учитель: «Если бы вы были учителем, то, какое бы домашнее задание вы бы задали?»

Предлагаю выставить итоговую отметку в рабочих картах и провести рефлексию по заполнению таблицы.

Обсуждение заполнение таблицы. Оценки

Приложения № 1. Разминка. Тест

«Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰»

5. cos 60 ⁰ = 1) 2) 3)

6. cos 30 ⁰ = 1) 2) 3)

7. cos 45 ⁰ = 1. 2. 3.

8. sin 60 ⁰ = 1. 2. 3.

9. sin 30 ⁰ = 1. 2. 3.

10. sin 45 ⁰ = 1. 2. 3.

Приложение № 3. Рабочая карта урока

ФИО учащегося: _____________________________________

Наивысшее кол-во баллов

Выполнение домашнего задания в тетрадях (выполнил +1 балл;

Взаимопроверка: 1 ошибка — минус балл.

Решение задачи Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС треугольника АВС, если А(0;0), В ( с;0), С( bcosA ; bsinA )..

Решение задачи по вариантам (найден косинус угла +1 балл и определен вид треугольника +1 балл)

Всё понял, могу рассказать, объяснить, применить на практике.

Источник