в каком классе проходят признаки делимости
Математика. 5 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Кратное натурального числа – это число, которое делится на данное натуральное число без остатка.
Чётное число – это число, делящееся на два.
Нечётное число – это число, не делящееся на два.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
«Поэт должен видеть то, чего не видят другие. И это же должен и математик», – однажды сказала Софья Ковалевская, русский математик.
И мы сегодня увидим необычные признаки деления, которые помогут нам выполнять обычные арифметические действия намного быстрее и проще.
Оказывается, существуют признаки, по которым можно определить, делится ли данное число на 2, 3, 5, 9 и 10.
Начнём с признака делимости на 10.
Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.
Например, 1570 делится на 10, т. к. оканчивается цифрой нуль, его можно представить в виде произведения чисел 10 и 157, которое делится на десять по свойству 1, если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Значит, число 1570 делится на 10.
А число тысяча пятьсот семьдесят один на десять не делится, т. к. тысяча пятьсот семьдесят один на это сумма двух чисел – тысяча пятьсот семьдесят и единицы, первое число делится на десять, а другое, т. е. один, не делится на десять. Это выходит по свойству 4.
Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число.
Рассмотрим признак делимости на 5.
Если число оканчивается на одну из цифр: 0 или 5, – то оно делится на 5.
Например, число 1570 делится на 5, т. к. 1570 делится 10, а 10 делится на 5. По второму свойству делимости, если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье. Значит, число 1570 делится на 5.
Аналогичные рассуждения проведём для числа 1575, но здесь применим третье свойство делимости – если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число.
Число 1575 делится на 5, т. к. число 1575 – это сумма чисел 1570 и 5, при этом оба числа делятся на 5, следовательно, их сумма тоже делится на 5.
А 1573 не делится на 5. В рассуждениях используем четвёртое свойство делимости – если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число.
Исходя из него, число не будет делиться на 5, т. к. при разложении числа 1573 на сумму чисел 1570 и 3 число 3 не делится на 5.
Рассмотрим признак делимости на 2.
Если число оканчивается одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8, – то оно делится на 2.
Например, числа 120, 124 делятся на два, а 125 не делится на два. Т. к. число 120 делится на 10, а 10 делится на 2, тогда по второму свойству делимости – если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье – число 120 делится на 2.
Число 124 делится на 2, т. к. число 124 – это сумма чисел 120 и 4, при этом оба числа делятся на 2, следовательно, их сумма тоже делится на 2 (по третьему свойству делимости).
Число 125 на 2 не делится, т. к. при разложении числа 125 на сумму чисел 120 и 5 число 5 не делится на 2 (по четвёртому свойству делимости).
Исходя из вышесказанных признаков, можно ввести определение чётного и нечётного числа.
Чётные числа – числа, делящиеся на 2.
Числа 34, 46, 146 – чётные.
Нечётные числа – числа, не делящиеся на 2.
Числа 35, 47, 149 – нечётные.
Рассмотрим признак делимости на 9.
Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
Например, числа 153 делится на 9, а 155 не делится на 9.
Посчитаем сумму цифр числа 153:
1 + 5 + 3 = 9 – делится на 9.
Теперь число 153 представим в виде суммы сотен, десятков и единиц:
153 = 1 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1.
Сделаем небольшое математическое преобразование и представим сумму в несколько ином виде:
153 = 1 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1 = 1 · (99 + 1) + 5 · (9 + 1) + 3 · 1= = (1 · 99 + 5 · 9) + (1 + 5 + 3).
Числа в каждой из скобок делятся на 9, следовательно, число 153 делится на 9 – по свойству 3.
Как сказано ранее, число 155 не делится на 9, т. к. сумма цифр, из которых состоит число:
1 + 5 + 5 = 11 – не делится на 9.
Другое число 155 на 9 тоже не делится, т. к. при разложении числа на сумму сотен, десятков и единиц и дальнейшем небольшом математическом преобразовании, получается, что
155 = 1 · 100 + 5 · 10 + 5 · 1.
1 · (99 + 1) + 5 · (9 + 1) + 5 · 1 =
= (1 · 99 + 5 · 9) + (1 + 5 + 5).
В первых скобках сумма делится на 9, а во-вторых, скобках сумма цифр не делится на 9, следовательно, число 155 не делится на 9 – по свойству 4.
Рассмотрим признак делимости на 3.
Если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3.
Например, на 3 делится числа 273, а и 274 не делится на три.
Посчитаем сумму цифр числа 273:
2 + 7 + 3 = 12 – делится на 3.
Теперь число 273 представим в виде суммы сотен, десятков и единиц:
273 = 2 · 100 + 7 · 10 + 3 · 1.
Сделаем небольшое математическое преобразование и представим сумму в несколько ином виде:
273 = 2 · 100 + 7 · 10 + 3 · 1 = 2 · (99 + 1) + 7 · (9 + 1) + 3 · 1= = (2 · 99 + 7 · 9) + (2 + 7 + 3).
Сумма в каждой из скобок делится на 3, следовательно, число 273 делится на 3 – по свойству 3.
Другое число 274 на 3 не делится, т. к. сумма цифр, из которых состоит число 274:
2 + 7 + 4 = 13 – не делится на 3.
Теперь разложим число двести семьдесят четыре на сумму сотен, десятков и единиц:
274 = 2 · 100 + 7 · 10 + 4 · 1.
Сделаем небольшое математическое преобразование и представим сумму в несколько ином виде.
274 = 2 · 100 + 7 · 10 + 4 · 1 = 2 · (99 + 1) + 7 · (9 + 1) + 4 · 1= = (2 · 99 + 7 · 9) + (2 + 7 + 4)
В первых скобках сумма делится на 3, а во-вторых, скобках сумма не делится на 3, следовательно, число 274 не делится на 3– по свойству 4.
Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях – не делится.
Например, рассмотрим, делятся ли на 4 числа 3312, 3300 и 3310.
Представим числа в виде суммы:
3312 = 3 · 1000 + 3 · 100 + 12 – каждое из этих чисел делится на 4, значит, по третьему свойству делимости число 3312 делится на 4.
3300 = 3 · 1000 + 3 · 100 – каждое из этих чисел делится на 4, значит, по третьему свойству делимости число 3300 делится на 4.
3310 = 3 · 1000 + 3 · 100 + 10 – третье слагаемое не делится на 4, следовательно, по четвёртому свойству делимости число 3310 не делится на 4.
№ 1. Какую из цифр 2,0,3 нужно подставить в число 251*вместо звёздочки, чтобы оно делилось на 5?
Решение. Для решения достаточно вспомнить признак делимости на 5, т. е. на 5 делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0 или 5. Т. к. пропуск стоит последней цифрой в числе, то нужно подставить из предложенных цифру 0.
№ 2. Рассортируйте числа 213,490,252,481 на те, которые делятся на 3, и те, которые не делятся на 3.
Решение. Вспомним признак делимости на 3 –число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр всех чисел:
213 = 2 + 1 + 3= 6 – число делится на 3.
490 = 4 + 9 + 0 = 13 – число не делится на 3.
252 = 2 + 5 + 2 = 9 – число делится на 3.
481 = 4 + 8 + 1 = 13 – число не делится на 3.
Признаки делимости чисел
Что такое «признак делимости»
Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.
Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.
Однозначные, двузначные и трехзначные числа
Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.
Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).
Чётные и нечётные числа
Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!
Признаки делимости чисел
Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.
Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.
Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.
Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.
Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Тема урока:»Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.» (5 класс)
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Раздел долгосрочного планирования: 5.1В: Делимость натуральных чисел Школа:
Дата :____ ФИО учителя:
Класс: Участвовали: Не участвовали:
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10
Цели обучения, достигаемые
на этом уроке (Ссылка на
применять признаки делимости натуральных чисел на 2, 5, 10
Все: применяют признаки делимости натуральных чисел на 2, 5, 10
Многие применяют признак и делимости натуральных чисел на 2, 5, 10 при разложении многозначного числа;
Некоторые использует полученные знания при решении текстовых задач.
Комментируют алгоритм разложения составного числа на простые множители
Лексика и терминология, специфичная для предмета:
— сумма цифр натурального числа
Полезные выражения для диалогов и письма:
— кратными натурального числа. являются числа. ;
Привитие ценности « Казахстанский патриотизм и гражданская ответственность», уважение осуществляется через работу в парах, группах, ответственность через проведение взаимного оценивания, самооценивания.
Умение работать с признаками делимости необходимо при решении вычислительных задач в области экономики, технологии, а также други х расчетах.
Знание компонентов арифметических действий: деления и умножения натуральных чисел, определения чётного и нечётного чисел.
Виды упражнений, запланированных на урок:
Организация начала урока (3 мин)
Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку.
Стратегия «Корзиночка». Деление на группы и создание коллаборативной среды. Ученики по очереди вытаскивают листочки с примером в одно действие. На обратной стороне листочка смайлик и пожелание к уроку.
Решив примеры группы распределяются по полученному ответу: в ответе однозначное число- 1 группа, двузначное число-2 группа, трёхзначное число-3 группа. Выбрать спикера
Формулировка и запись темы урока и цели урока (1 мин)
Стратегия «Мозговой штурм» в группе по следующим вопросам:
Как вы считаете в каком арифметическом действии больше всего возникает трудностей?
У: В старину на Руси говорили, что умноженье- мученье,а с делением- беда. Тот кто умел быстро и безошибочно делить,считался большим математиком. Ведь в школе тогда учили только сложению, вычитанию, таблице умножения. Чтобы у вас не было проблем с делением как вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься?
Проблема часто возникает не с умножением, сложением и вычитанием, а с делением, и именно там где нужно быстро, точно и правильно выявить делители числа.
Применение : При устном счете, п ри математическом диктанте, п ри делении столбиком, п ри решении задач т.д.
Записывают тему урока и цель урока (слайд 1).
Актуализация знаний (6 мин)
Стратегия «Мозговой штурм» по следующим вопросам:
Что такое делители?
Какие числа называются кратными?
Назовите делители числа 22
Назовите кратные числа 5.
Стратегия «Мозговой штурм»
У каждой группы на столе лежит теоретический материал с 1 признаком делимости, у каждой группы разные.1 группа- признак делимости на 2, 2 группа- признак делимости на 5, 3 группа- признак делимости на 10.
Учитель «Вы должны изучить все признаки, переходя из одной группы в другую по сигналу учителя».
У каждой группы на столе лежит теоретический и практический материал. Каждой группе нужно внимательно изучить и выполнить задание по одному признаку делимости, переходя из одной группы в другую по сигналу учителя. Спикер группы – кондуктор. Он проверяет и оценивает работу групп, в том числе и своей группы.По сигналу учителя каждая группа будет переходить к другому столу и изучать следующий признак делимости, а кондукторы остаются в своей группе, для того чтобы помочь усвоить тему другим учащимся, и проверить правильно ли выполнили задание.
Рабочий лист ученика к уроку
1.Внимательно прочитать карточку
2. Изучить признак делимости, описанный в этой карточке
3. Выполнить задание
Признаки делимости на 2
Как вы думаете, можно ли глядя на число сказать, делится ли оно на 2 или нет? Оказывается можно.
Признак делимости на 2:
Если число оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.
Например: 108 делится на 2, так как оканчивается цифрой 8.
Задание : из ряда чисел, выписать те числа, которые делятся на 2.
15, 18, 205, 1000, 16, 124, 203, 500, 802, 746.
Признаки делимости на 5
Как вы думаете, можно ли глядя на число сказать, делится ли оно на 5 или нет? Оказывается можно.
Признак делимости на 5:
Если число оканчивается цифрой 0, или 5 то оно делится на 5.
Например: 100 делится на 5, так как оканчивается цифрой 0.
485 делится на 5, так как оканчивается цифрой 5.
Задание: из ряда чисел, выписать те числа, которые делятся на 5.
15, 18, 205, 1000, 16, 124, 205, 500, 802, 745.
Признаки делимости на 10
Как вы думаете, можно ли глядя на число сказать, делится ли оно на 10 или нет? Оказывается можно.
Признак делимости на 10:
Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.
Например: 100 делится на 10, так как оканчивается цифрой 0.
485 не делится на 10, так как не оканчивается цифрой 0.
Задание: из ряда чисел, выписать те числа, которые делятся на 2, 5, 10.
15, 10, 205, 1000, 16, 124, 205, 500, 802, 745.
Все учащиеся вернулись в свои группы. Выполним анализ работы. Прошу выступить спикера, проанализировать работу учащихся по стратегии «Две звезды, одно пожелание»(2 положительных момента и один момент, который заслуживает доработки).
Выступление спикеров. – 5 мин
Оценивание групповой работы (кондуктор)
В каком классе проходят признаки делимости
С древних времен человечество интересовалось числами. Люди научились считать еще в каменном веке. Конечно, это были весьма примитивные приемы счета – на пальцах, с помощью зарубок и так далее.
С развитием цивилизации познания людей в математике расширялись. Развивалась торговля, людям нужно было уметь считать товар и деньги, чтобы не быть обманутыми.
Постепенно стали возникать математические принципы, например такие:
— Два любых натуральных числа всегда можно сложить, а также умножить.
— Из одного натурального числа можно вычесть другое, но лишь тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого.
— С делением несколько сложнее. Деление без остатка можно выполнить только для некоторых чисел, причем бывает довольно трудно заранее узнать, делится ли одно число на другое. Помимо того, есть числа, которые делятся только на единицу или сами на себя. Они называются «простыми» числами. А делить на ноль и вовсе нельзя.
В современной жизни у нас часто возникает необходимость узнать, делится ли одно число на другое без остатка. Не всегда под рукой имеются технические средства, чтобы это быстро рассчитать. Для подсчета без калькулятора можно использовать признаки делимости.
Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление. [1]
Признаки делимости на 2, 3 и 5 были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признак делимости на 9 был известен грекам в третьем столетии до нашей эры. Впервые признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (около 1179 – 1228). Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623 – 1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки. [2]
Значимость признаков делимости в математике бесспорна. Ведь именно с помощью признаков делимости можно узнать, делится ли одно число на другое без остатка, не производя фактического деления. Также знание признаков делимости позволяет быстро находить НОК (Наименьшее Общее Кратное) и НОД (Наибольший Общий Делитель), а это не менее важно.
Я выбрал эту тему, потому что она является актуальной для меня и моих одноклассников, а значит – и для других школьников. Сейчас, в 5-м классе, мы изучаем основные признаки делимости на уроках математики.
Но существуют еще и другие признаки делимости, которые в школе не изучают. Меня заинтересовала эта тема, и я нашел много интересного материала по ней, которым хочу поделиться. В своей работе я постараюсь доказать, что признаки делимости – это важное и существенное понятие в математике, значительно облегчающее процесс расчетов.
Цель проекта и его практическая ценность – создание буклета со справочным материалом по признакам делимости натуральных чисел в помощь учащимся 5 – 9-х классов, и его применение в школьном курсе математики. (Приложение 1)
Предмет проекта: изучение и классификация признаков делимости натуральных чисел.
Методы исследования: поиск и изучение информации, обработка данных, анализ и систематизация материала по признакам делимости натуральных чисел.
1. Признаки делимости, изучаемые в школе
В математике существует несколько основных признаков делимости. Это признаки делимости на: 2, 3, 4, 5, 6, 9 и на 10. Именно их мы изучаем в школе. Повторим их.
Чтобы был понятен признак делимости на 2, нужно разобраться в чётных и нечётных числах. Итак, чётные числа – это те числа, которые делятся на 2 – то есть числа 0, 2, 4, 6, 8 и так далее, а вот нечётные – это числа, не делящиеся на 2 – то есть 1, 3, 5, 7, 9 и так далее.
Признак делимости на 2 предельно прост:
на 2 делятся только числа, оканчивающиеся на чётные цифры, включая 0.
Признак делимости на 4:
Например: 584 делится на 4, потому что число 84 делятся на 4. число 351 не делится на 4, потому что число 51 не делится на 4 без остатка.
Признак делимости на 5:
На 5 делятся только те числа, которые оканчиваются на цифры 5 или 0.
Например: число 745 делится на 5, потому что оно оканчивается на 5. Число 957 не делится на 5, потому что оно оканчивается на цифру 7. Число 370 делится на 5, потому что оно оканчивается на 0.
Признак делимости на 6:
На 6 делятся только те числа, которые делятся и на 2, и на 3.
Например: число 354 делится на 6, потому что сумма цифр этого числа делится на 3, а также оканчивается на четное число, и поэтому делится и на 2 тоже.
Признаки делимости на 3 и на 9 очень похожи.
Признак делимости на 3:
На 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка.
Например: число 426 делится на 3, потому что сумма цифр этого числа 4+2+6=12 – число, делящееся на 3 без остатка. Число 572 не делится на 3, потому что сумма цифр данного числа 5+7+2=14 – число, которое не делится на 3 без остатка.
Признак делимости на 9:
На 9 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 9 без остатка.
Например: число 738 делится на 9, потому что сумма цифр данного числа 7+3+8=18 – число, делящееся на 9. Число 623 не делится на 9, потому что сумма цифр этого числа 6+2+3=11– число, не делящееся на 9.
Признак делимости на 10:
На 10 делятся только те числа, которые оканчиваются на 0, то есть круглые числа.
Например: число 40 делится на 10, потому что оно оканчивается на 0, то есть круглое число. Число 27 не делится на 10, потому что оно не круглое.
Признак делимости на 100:
На 100 делятся только числа, оканчивающиеся на 00.
Например: 300 делится на 100, потому что оканчивается на 00. Число 845 не делится на 100, потому что оно оканчивается не на 00.
Признак делимости на 1000 аналогичен:
На 1000 делятся только числа, оканчивающиеся на 000.
Например: число 9000 делится на 1000, потому что оно оканчивается на 000. Число 7564 не делится на 1000, потому что оканчивается не на 000.
2. Классификация признаков делимости
Помимо основных признаков делимости существует множество других, знание которых может быть очень полезно. Я нашел много интересного материала по этой теме и хочу им поделиться в своей работе.
Признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:
2.1 Признаки делимости по последним цифрам числа
Признаки делимости на 2 и 5 мы уже рассмотрели в предыдущем разделе.
Признак делимости на 4:
Например: 584 делится на 4, потому что число 84 делятся на 4. число 351 не делится на 4, потому что число 51 не делится на 4 без остатка.
Признак делимости на 8:
На 8 делятся только те числа, у которых три последние цифры, образующие целое число, делятся на 8, или три последние цифры являются нулями.
Число 6824 делится на 8, потому что и цифра 8, и число 24 делятся на 8.
Число 5387 не делится на 8, потому что ни 3, ни 7 не делятся на 8.
Признак делимости на 20.
Число делится на 20, если две его последние цифры делятся на 20 или равны нулю.
Число 2220 делится на 20, так как 20 делится на 20.
Число 600 делится на 20, так как число оканчивается нулями.
Признак делимости на 25.
Число делится на 25, если оно заканчивается на: 00, 25, 50, 75.
Число 475 делится на 25, так как его последние цифры равны 75.
Признак делимости на 50.
Число делится на 50, если оканчивается на 50 или 00.
Число 6950 делится на 50, так как последние цифры это 50.
Число 4000 делится на 50, так как заканчивается двумя нулями.
Признак делимости на 125.
Число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.
Число 225000 делится на 125, т.к. три последние цифры – нули.
Число 589250 делится на 125, т.к. число 250 делится на 125.
2.2 Признаки делимости по сумме цифр числа
Признаки делимости на 3 и на 9 мы рассмотрели в предыдущем разделе и убедились, что они полностью соответствуют признакам делимости по сумме цифр числа.
Признак делимости на 7.
Число делится на 7, если утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.
Например: число 112 делится на 7, так как 11*3+2=35
Еще один признак делимости на 8.
Трёхзначное число делится на 8, если число единиц, сложенное с
удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.
Например: число 776 делится на 8, так как 7*4+2*7+6=28+14+6=48.
Признак делимости на 11. [ 3]
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11 или если эти суммы равны.
Число 2310 делится на 11, так как 2+1=3 и 3+0=3. Суммы равны, значит число делится на 11.
Число 9482 делится на 11, так как 9+8=17 и 4+2=6, а 17-6=11. 11 делится на 11, поэтому и число делится на 11.
Признак делимости на 37.
Число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.
Например: число 21312 делится на 37, так как 21+312=333. Число 333 делится на 37, значит и число 21312 делится на 37.
Признак делимости на 75.
Число делится на 75, если сумма его цифр делится на 3 и две последние цифры этого числа делятся на 25.
Число 1275 делится на 75, так как 1+2+7+5=15, 15 делится на 3; также число 75 делится на 25. Итог – число 1275 делится на 75.
2.3 Признаки делимости с помощью математических действий с цифрами числа
Признак делимости на 7.
Число делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Признак делимости на 13.
Число делится на 13, если сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.
Число 351 делится на 13, так как 35+1*4 = 39 – делится на 13.
Число 1313 делится на 13, так как 131+3*4 = 143. Если трудно определить, делится ли полученное число на 13, то можно сократить его ещё: 14+3*4 = 26 – делится на 13.
Признак делимости на 17.
Число делится на 17 тогда, когда разность числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.
Число 221 делится на 17, т.к. 22-5*1 = 17 – делится на 17.
Признак делимости на 19.
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Число 2128 делится на 19, так как 212+ 2*8 =228, 22 + 8*2 =38 – делится на 19.
Число 4009 делится на 19, так как 400 + 2*9 =418, 41 + 8*2 = 57 – делится на 19.
Признак делимости на 29.
Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.
Число 6119 делится на 29, так как 611+ 9*3 = 638, 63 + 8*3 = 87 – делится на 29.
Признак делимости на 33.
Число делится на 33, если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.
Число 396 делится на 33, так как 96+3 = 99 – делится на 33.
2.4 Признаки делимости на составные числа
Признаки делимости на составные числа строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число. Это признаки делимости на 6, 12, 14, 15, 18.
Признак делимости на 6:
На 6 делятся только те числа, которые делятся и на 2, и на 3.
Например: число 354 делится на 6, потому что сумма цифр этого числа делится на 3, а также оканчивается на четное число, и поэтому делится и на 2 тоже.
Признак делимости на 12:
На 12 делятся только числа, делящиеся и на 3, и на 4.
Например: число 3648 делится на 12, потому что сумма цифр данного числа делится на 3, а также на 2, потому что оканчивается на чётное число.
Признак делимости на 15 – аналогичен:
На 15 делятся только числа, делящиеся и на 5 и на 3.
Признак делимости на 14.
Число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7.
Число 826 делится 14, так как оно делится на 2 и на 7.
Число 126 делится на 14, так как оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 18
Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9.
Число 162 делится на 18, так как сумма цифр – 1+6+2=9 – делится на 9.
Признак делимости на 30.
Число делится на 30, когда оно одновременно делится на 10 и на 3.
Число 12750 делится на 30, так как оно оканчивается 0, то есть делится на 10, и сумма цифр числа 1 + 2 + 7 + 5 = 15, то есть делится на 3.
3. Занимательные факты и задачи
Число на гробнице «2520» [4]
В Египетской пирамиде археологи нашли саркофаг с числом «2520» без какого-либо пояснения к нему. Математик Кордемский Б.А. в своей работе «Математическая смекалка» указал, что число это примечательно, как наименьшее общее кратное первых 10-ти чисел, то есть это самое маленькое число, которое можно без остатка поделить на все целые числа, начиная с 1 и заканчивая 10.
Необычное число 37
Любое число, состоящее из 3-х одинаковых цифр, делится на 37.
Например: числа 111, 222, 333 и все остальные, кратные 111 – делятся на 37.
Также, шестизначное число делится на 37, если при разложении его на две группы (по 3 цифры) сумма чисел этих групп делится на 37, либо составляет число из трех одинаковых цифр.
Число 259185 делится на 37, так как 259 + 185 = 444.
Число 346209 делится на 37, так как 346 + 209 = 555.
Покупатель взял в магазине пакет молока стоимостью 33 рубля, пачку творога стоимостью 36 рублей, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбила чек на 296 рублей, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счёт неверен?
Стоимость приобретенных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (у молока и творога цена кратна 3-м, цена остальных товаров не известна, но их количество кратно 3-м). Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Вспоминаем признак делимости на 3: На 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка.
Число 296 (2+9+6=17) на 3 не делится, следовательно, расчет неверен.
Задача про тарелки
В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок. Когда стали раскладывать их по 10, то не хватило трех тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать по 12 тарелок, то осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?
Если не хватило трех тарелок до полного числа десятков, то это значит, что, как и при раскладывании по 12 тарелок, оставалось 7 тарелок. Значит, число тарелок за вычетом семи штук делится без остатка на 10 и на 12, то есть на 60. Среди чисел, меньших 600 и больших 500, только одно число 540 делится на 60. Значит, тарелок было 540 + 7 = 547.
В процессе работы над проектом я узнал много нового о признаках делимости, а также о возможности их классификации,
Я узнал, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 25, 30, 33, 37, 50, 75, 125 и многие другие числа. Я понял, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись. Познакомившись с признаками делимости чисел, я считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной жизненной ситуации. Также я уверен, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным и функциональным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.
Результатом моей проектной деятельности стал разработанный мной буклет «Признаки делимости и их практическое применение в обучении школьников». (Приложение 1) Его можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях, в помощь учащимся 5-9-х классов.
Я постарался изложить материал по признакам делимости доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно, мог взять разработанный мной буклет и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Воробьев, К.Н. Признаки делимости / Воробьев К.Н.: М.: Издательство «Наука», 4-е изд., 1988. 94 с.
2. Депман, И.Я. История арифметики / Депман И.Я. – М.: Издательство Просвещение, 1965. – 142 с.
3. Перельман, Я.И. Занимательная Алгебра / Перельман Я.И. – М.: Триада-Литера, 1994.- 199 с.
4. Кордемский, Б.А. Математическая смекалка /Кордемский Б.А. – Л.: Издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 231-241 с.
5. Депман, И.Я За страницами учебника математики. / Депман И.Я. Виленкин Н.Я. – М. Просвещение. 1989. – 97 с.
6. Савин, А.П. Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989.- 352 с.