в каком классе проходят дифференциальные уравнения

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №26. Простейшие дифференциальные уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение области применения дифференциальных уравнений

2) Определение дифференциального уравнения

3) Решение простейших дифференциальных уравнений

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения. ( Пример: y’ – y = 0 – дифференциальное уравнение 1-го порядка; y’’ + y = 0 – дифференциальное уравнение 2-го порядка).

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = f(x), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тело движется по оси абсцисс, начиная движение от точки А(10; 0) со скоростью v=4t+4 Найдите уравнение движения тела, и определите координату х через 1 с

Воспользуемся определением первообразной, т.к. х(t)=v₀t+at 2 /2

Найдем все первообразные функции 4t+4

При этом с=10, т.к. это есть начальная координата тела из условия задачи.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

Подставим t=1c в данное уравнение и найдем координату тела за данное время х = 2+4+10=16

№3. Используя уравнение у'(x)= 4х+5, найди его решение и определи число С, если у(-2)=10

Найдем все первообразные функции 4х+5

Источник

Конспект урока на тему «Дифференциальные уравнения»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Тема урока : Дифференциальные уравнения.

Тип урока: изучение нового материала.

— помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

— помочь овладеть методами решения ДУ;

— отработать навыки решения обыкновенных диф.уравнений первого

— развить логическое мышление учеников;

— развивать творческие способности студентов:

— побудить интерес к изучаемому предмету.

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

Коррекция пройденного материала.

Объяснение нового материала.

Закрепление изученного материала.

Информация о домашнем задании.

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.Отметить дежурных.

Объявить тему урока и его цель.

3. Актуализация знаний:

1. выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(3х) ‘ =… (х 3 ) ‘ =… (6х 2 ) ‘ =… (х+5) ‘ =… (5х-4) ‘ =… (2 sinx) ‘ =…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

д) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)

е) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам у доски:

а) ( ответ: I=2x+lnx+С); б) ; ( I = ln ( x +2)+ C );

в) ().

На слайдах показать графики решений данных неопределенных интегралов.

4.Объяснение нового материала:

Мотивация: В начале занятия к нам пришла необычная телеграмма

( текст на слайде) от майора Пронина.

На месте преступления обнаружен отпечаток пальца и записка: у ‘ =2х.

Наша задача научиться решать такие уравнения. Может последовать вопрос: а зачем?

Как сказал один мудрец : «Великая книга природы написана на языке дифференциальных уравнений».

Смысл этой аллегории таков: математикам кажется, что законы природы во многих случаях удобно описывать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Сущность этих законов подчас раскрывается в результате решения ДУ.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Теперь мы плавно переходим к теории.

( или дифференциалы) этой функции.

ху ‘ +у=0- обыкновенное диф.уравнение первого прядка.

— обыкновенное диф. уравнение 2-го порядка.

Определение 4: Процесс решения ДУ называется интегрирование.

Определение 5: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Так, общее решение ДУ первого порядка содержит одну произвольную.

Общему решению ДУ соответствует совокупность ( семейство) всех интегральных кривых.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения ДУ называется интегральной кривой.

(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).

В ходе записывания теории разбирается пример:, , — общее решение

При х= 2, у=5, тогда 5=, 5= 4+с, получим с= 1, следовательно,

— частное решение.

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: ДУ с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

Для решения этого уравнения необходимо:

разделить сначала переменные;

проинтегрировать обе части полученного равенства.

2) ,

, ,

,

-общее решение

Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.

Частное решение имеет вид: .

3)

Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.

(ответ: )

Найти частные решения ДУ:

, при х= , у=3(ответ: y=tgx+2)

, при х=0, у=1 ( ответ: )

, ,

общее решение.

Найти частное решение ДУ .

общее решение.

2.Ответ: у=х 2 +4

3. ,х=2,у=-4. ответ:

Решить уравнения:1.

2.

3.

Источник

Видеоурок «Простейшие дифференциальные уравнения» для 11 класса

До сих пор рассматривались уравнения, в которых неизвестными являлись числа. Однако в математике и её приложениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции.

Примером является задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости v (t), которая сводится к решению уравнения s‘ (t) = v (t), где v (t) — заданная функция, а s (t) — искомая функция.

Так, дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит производную неизвестной функции.

Решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого постоянная однозначно определяется.

Рассмотрим задачу о размножении бактерий.

К решению дифференциального уравнения также сводится задача о радиоактивном распаде.

На практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например, колебательные движения маятника, струны, пружины ; к ним относятся процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем, Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения y» = ˗ω 2 y.

Далее будут выполнены несколько заданий, которые помогут закрепить новые знания на практике.

В завешение занятия подводятся итоги. Итак, мы узнали, какие уравнения называют дифференциальными. Рассмотрели задачу о размножении бактерий, а также задачу о радиоактивном распаде. Поговорили о гармонических колебаниях.

Источник

В каком классе изучают дифференциалы, дифференциальные уравнения?

В каком классе изучают дифференциальные уравнения?

В каком классе изучают дифференциалы?

В каком классе изучают дифференциальные

В каком классе изучают дифференцирование?

В каком классе проходят дифференциалы?

В каком классе проходят дифференцирование?

В каком классе проходят дифференциальные уравнения?

Дифференциальные уравнения в каком классе проходят?

Дифференциальные уравнения мы изучали на 2 курсе университета, и это очень сложный предмет, мы их называли «дифуры». Насколько мне известно, в институтах, даже технических, вообще не изучали дифуры, а только в университетах в рамках академического курса на факультетах естественных наук (математический, физический).

Хотя, все это было не вчера, вполне возможно, что программа изменилась, заранее извиняюсь, если информация устарела.

Лучше всего разобраться так, чтобы понимать суть темы, потому что простая зубрёжка даёт возможность запомнить тему ненадолго, будет задействована только так называемая короткая память. А чтобы знания закрепились, нужно постараться разобраться в предмете.

А простое заучивание терминов мало что даст, при первом же заданном уточняющем вопросе возможно «плавание» в теме.

Если вы взрослый, то тут все зависит экстраверт вы или интроверт. То есть, легко ли вам находиться в группе с малознакомыми людьми или вы стеснительны по природе и предпочитаете живому общению книги и интернет.

Если такой вариант не подходит, то ребенка лучше отдать в группу. Дело в том, что проводить с малознакомым взрослым человеком много времени ребенку не интересно, и дети часто капризничают. В детской же группе они имеют шанс пообщаться со сверстниками и они сами тянутся пойти на английский. Для них это уже превращается не столько обучение, как с преподавателем, а в игру.

Но, решать что выбрать, пожалуй, только вам. Есть ли у вас время водить в группу ребенка, или вам легче, чтобы кто-то приходил к вам на дом.

Источник

Статья о разрыве методической линии преподавания дифференциальных уравнений в 10-11 классах математического профиля

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Роль дифференциальных уравнений в углубленном профиле математики в 10-11 классах

В основу разработки нового ФГОС СОО положена целевая установка, предусматривающая переход от «догоняющей» к «опережающей» модели развития российского образования, предполагающая отказ от прямого копирования западных моделей образования.
Одной из особенностей нового стандарта является принцип образования, создающий индивидуальные траектории для каждого обучающегося.
Итак, новым ФГОС для 10-11 классов определен профильный характер обучения. В свете этого, в общеобразовательных учреждениях появляются индивидуальные образовательные траектории физико-математического профиля. Что делает вопрос наполненности и согласованности программ по алгебре острым.

Раздел дифференциальных уравнений является одним из самых больших элементов теории современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных секторов математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Воспринимая математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую модель (некую идеализированную форму), то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошных сред, химических реакций, физических явлений и процессов.

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и пограничных условий, исследователь получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Область применения дифференциальных уравнений для решения практических задач физики, химии, астрономии, экономики, медицины обширна. Применение теоретических знаний на практике, практикоориентированное образование, разносторонне развитые личности на пороге окончания школы, обладающие системными, фундаментальными знаниями – это основная цель образования по ФГОС. В классах с углубленным изучением естественных наук уделяется много учебных часов успешному освоению теории и практики, что невозможно без грамотного и полного математического языка. Дифференциальные уравнения дают возможность решать различные задачи, в том числе и задачи на оптимизацию. И хотя, в школьном курсе математики, в профильных физико-математических классах, дифференциальные уравнения изучаются в общих чертах, но важность их изучения отрицать не стоит, так как, в дальнейшем обучении по профилю, выпускники получают возможность более успешно осваивать этот раздел высшей математики в обучении.

Одним из стержневых вопросов в школьном курсе математики является изучение уравнений. Уравнения широко применяются как в самой математике (при решении геометрических и алгебраических задач, при решении текстовых задач), так и в физике, биологии, химии, вычислительной технике, экономике, радиотехнике и других областях. Основным способом, с помощью которого математика применяется в производстве, является составление уравнения задачи; без уравнений нет математики как способа познания природы».

Изучение практики преподавания математики показывает, что в знаниях большинства учеников, всё ещё есть существенный недостаток: непрочная связь общего с конкретным, неумение в полной мере распорядиться знаниями при рассмотрении основных фактов изучения курса алгебры и математического анализа. Главной причиной этого является недостаточное внимание к формированию обобщенных знаний об уравнениях. Формирование знаний является целью и средством обучения, воспитания и развития учащихся. Овладение приемами является одним из необходимых условий успешного обучения и применения знаний.

Изучение уравнений в курсе алгебры и математического анализа средней школы занимает ведущее место не только по содержанию, но и по приемам и способам решения, они используются в процессе решения огромного числа задач теоретического и прикладного характера.

Научить в школе решению всех уравнений, которые могут встретиться, невозможно. Но, можно научить учащихся подходам к решению задач, которые связаны с необходимостью владения общими правилами и приемами. Поэтому, овладение общими подходами к изучению теории и решению задач является неотъемлемым условием творческой работы в любой деятельности учащихся. Следовательно, теоретическое обобщение при изучении математических знаний должно занимать важное место.

По мере продвижения к более сложным типам уравнений необходимость в таком обобщении все увеличивается и становится особенно ясной в последнем классе.

До недавнего времени дифференциальные уравнения не входили в программу математики средней школы, и это делало содержательно-методическую линию уравнений незавершенной.

Теория дифференциальных уравнений, начиная со своего возникновения, развивалась в неразрывной связи с физикой, механикой и математическими проблемами техники.

Введение в содержание математического образования сведений о дифференциальных уравнениях играет большую роль в формировании научного мировоззрения учащихся, в прикладной направленности обучения математике, в реализации межпредметных связей, которые содействуют пониманию строения всей системы наук и роли научного метода в познании и практике.

Были изучены вопросы непрерывного образования, вопросы преемственности обучения математике, внутри и межпредметных связей.

Противоречие между объективной потребностью преемственности обучения математике в школе и ее фактическим отсутствием, когда преподавание на разных этапах обучения ведется практически независимо друг от друга, выявило проблему данного исследования и определило ее актуальность.

Образуется преемственность и сохраняется системность в образовании на этапе окончания школы и поступления в высшие и среднеспециальные учреждения образования. Ведь не секрет, что зачастую студенты первого курса технических ВУЗов испытывают значительные сложности в освоении программы по дисциплинам связанным с высшей математикой и решением прикладных задач физики, химии, биологии, статистики, экономики, астрономии. Провал образуется из-за нарушения преемственности в изучении теоретического материала программы алгебры в 10-11 классах. Зачастую изучение производной, дифференциала, графика производной – это, то немногое на чем начинается и заканчивается изучение данного раздела в школе. Такой «обрыв» методической линии сам по себе пагубен. Тем более существует еще одна проблема. Физика профильного уровня в 10-11 классах предполагает, как должное, что для освоения учебного материала программы ученик должен владеть совершенным математическим языком и аппаратом для решения разных функциональных задач. С самого первого раздела 10 класса «Кинематика» подразумевается владение понятием и уверенное применение производных для нахождения мгновенных кинематических величин, нахождение максимумов и минимумов функций.

Аммосова Н.В., Лобанова Н.И. Решение неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными в системе дополнительного образования // Сибирский педагогический журнал. 2016. №2. С. 24-34.

Источник