Методика работы над изучением уравнений в начальной школе
Методика работы над изучением уравнений в начальной школе
Математика – наука, которая нужна каждому человеку. В каждой области знания, в любой профессии нужна помощь математики.
Основная часть нашей жизни состоит из вычислений и подсчетов. Математика помогает развивать интеллект и находить решения в сложной задаче. Математика учит нас получать и приобретать знания, развивает внимание, логику, ясное мышление, умение делать выводы.
Уже с первого класса дети начинают задаваться вопросами: зачем мы изучаем математику? Чем она пригодиться в жизни?
Роль обучения в решении уравнений в начальной школе достаточно велика и ее сложно переоценить.
Во-первых, знания, умения и навыки, приобретенные школьниками при решении уравнений в начальной школе, помогут им в изучении математических дисциплин и будут способствовать скорейшему усвоению нового материала.
Во-вторых, обучение решению уравнений способствует развитию мышления у школьников, которое так необходимо не только при изучении стереометрии и геометрии в целом, но и в обыденной жизни, когда получить ответ на поставленный вопрос можно только владея навыками решения уравнений.
В-третьих, можно так же отметить, что обучение навыкам решения уравнений в начальной школе является своевременным и необходимым, так как именно в этом возрасте учащиеся лучше усваивают полученную от преподавателя информацию и с раннего возраста начинают понимать основные принципы и методики решения более сложных задач, заранее подготавливаясь к изучению высших математических дисциплин.
Основные подходы к обучению решению уравнений:
Раннее ознакомление детей с уравнением и способами его решения (М.И.Моро, М.А.Бантова, И.Э.Аргинская, Л.Г.Петерсон и др.) – с 1-2 класса.
Методика изучения уравнений:
1) Подготовительный
Изучать уравнения дети начинают уже с первого класса, используя в помощь различные фигуры или предметы:
Следующие действия, к которым переходят учащиеся, связаны с нахождением числа в «окошке»:
1. Какие записи верны?
3 + 5 = 8 7 + 2 = 10 10 – 4 = 5
Как изменить результат, чтобы записи стали верными??
3. Среди чисел, записанных справа, подчеркните то число, при подстановке которого в окошко, получится верное равенство.
2) Введение понятия «уравнение»
3) Формирование умения решать уравнения
Способы решения уравнений:
В курсе математики УМК «Школа России»:
По программе И.И.Аргинской (система обучения Л.В.Занкова):
При проверке уравнения следует показать учащимся, что результат, полученный в левой части уравнения, нужно сравнить со значением в правой части. Необходимо добиться осознанного выполнения проверки.
4) Формирование умения решать задачи с помощью уравнений.
Процесс решения текстовой задачи с помощью уравнений состоит из следующих этапов:
1. Восприятие текста задачи и первичный анализ ее содержания.
выделение неизвестных чисел;
выбор неизвестного, которое целесообразно обозначить буквой;
переформулировка текста задачи с принятыми обозначениями;
запись полученного текста.
3. Составление уравнения, его решение, проверка, перевод найденного значения переменной на язык текста задачи.
4. Проверка решения задачи любым известным способом.
5. Формулирование ответа на вопрос задачи.
Виды упражнений, направленные на обучение младших школьников решению уравнений в учебниках математики УМК «Школа России»:
Вид упражнения
Пример задания
Задания с «окошками» и пропусками чисел
2) Какие числа пропущены?
3) Заполни пропуски так, чтобы равенства стали верными.
Нахождение уравнений среди других математических записей
1) Найди среди следующих записей уравнения, выпиши их и реши.
30+х>40 45-5=40 60+х=90 80-х 38-8
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний. Углубленное изучение свойств квадратных уравнений.
I. Организационный момент
1) … уравнением называется уравнение ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c – заданные числа, а =/=0, х – переменная. 2) Уравнение х 2 = а, где а > 0, имеет корни х1 = … х2 = … 3) Уравнение ах 2 = 0, где а =/= 0, называют … квадратным уравнением. 4) Если ax 2 + bx + c = 0 квадратное уравнение (а =/= 0), то b называют … коэффициентом. 5) Корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 вычисляют по формуле х1,2 = … 6) Приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 совпадают с уравнением общего вида, в котором а = …, в = …, с = … 7) Если х1 и х2 – корни уравнения x 2 + px + q = 0, то справедливы формулы х1 + х2 = … х1 x х2 …
1) Если ax 2 + bx + c = 0 квадратное уравнение, то b называют … коэффициентом, с – … членом. 2) Уравнение х 2 = а, где а 2 + с = 0, где а =/= 0, c =/= 0, называют … квадратным уравнением. 4) Корни квадратного уравнения аx 2 + bx + c = 0 вычисляют по формулам х1 = …, х2 = … 5) Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два различных действительных корня, если b 2 – 4ac … 0. 6) Квадратное уравнение вида x 2 + px + q = 0 называют … 7) Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна … коэффициенту, взятому с … знаком, а произведение корней равно … члену.
Задание (устно) на определение вида уравнения.
Вопрос. Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений группы является лишним?
– Как можно решить приведенное квадратное уравнение? – Сформулировать теорему Виета. – Как используется теорема Виета при решении квадратного уравнения общего вида ax 2 + bx + c = 0.
А сейчас, ребята, послушайте стихотворение о теореме Виета:
По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше скажи постоянства такого: Умножишь ты корни и дробь уж готова? В числителе с, в знаменателе а, А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, что за беда! В числителе b, в знаменателе а.
III. Решение задач с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)
1-е задание.
Дано уравнение х 2 – 6х + 5 = 0.
2-е задание (устно).
3-е задание
Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни.
х1 = – 3, х2 = 1, х1 + х2 = – 3 + 1 = – 2, – р = – 2, р = 2 х1 x х2 = – 3 x 1 = – 3, q = – 3, x 2 + px + q = 0, х 2 + 2х + (– 3) = 0, х 2 + 2х – 3 = 0 получили приведенное квадратное уравнение.
б) А теперь самостоятельно по вариантам составить приведенное квадратное уравнение.
Во время самостоятельной работы два ученика работают у доски по карточкам.
Карточка №1 Карточка №2
Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни:
После самостоятельной работы сделать вывод о знаке перед свободным членом квадратного уравнения.
IV. Изучение нового свойства квадратных уравнений
1. Ребята, мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня мы познакомимся еще с одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.
При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов. Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решили дома.
V. Проверка домашнего задания
Учитель делает выводы вместе с учениками.
VI. Решение задач на закрепление свойства
1. По учебнику № 534 (а, б, д), 2. Обратить внимание на уравнение, которое было решено в начале урока
Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
Линейное уравнение выглядит так
ах + b = 0, где a и b — действительные числа.
Что поможет в решении:
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.
А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.
Пример 5. Решить:
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
1.2. Методика изучения уравнений в 7классе………………………………………..10
1.2.1. Линейные уравнения с одной переменной……………………..……………….10
1.2.2. Линейные уравнения с двумя переменными ……………………………………12
1.3. Методика изучения уравнений в 8 классе……………………………………….16
1.3.2. Рациональные и дробно- рациональные уравнения……………………………29
1.4. Методика изучения уравнений в 9 классе……………………………………….31
Глава 2. Уравнения с параметрами………………………………………………………34
2.1. Линейные уравнения с параметром………………….………………………….34
2.2. Квадратные уравнения с параметром………………………. 38
2.3. Рациональные и дробно-рациональные уравнения с параметром…………….43
Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям.
Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).
Так же для формирования умения решать уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений. Проблема методики формирования умений работы является актуальной для учителей всех школьных предметов, в том числе и для учителей математики. Ее решение важно еще и с той точки зрения, что для успешного овладения современным содержанием школьного математического образования необходимо повысить эффективность процесса обучения в направлении активизации деятельности учащихся. Для этого требуется четко определить систему умений и навыков, овладение которыми приводит к выполнению работ различного характера. Важным также является раскрытие процесса формирования умений и навыков работы при обучении курсам математики, при этом необходимо показать, как в ходе преподавания математики учитель может осуществить формирование у учащихся отмеченных выше умений и навыков.
Цель: исследовать методику изучения уравнений в 7-9 классах.
изучение и анализ учебной литературы по алгебре 7-9 классов;
изучение научной литературы по теме курсовой работы;
изучение методики решения линейных, квадратных, рациональных и дробно-рациональных уравнений;
изучение методики решения уравнений с параметром.
Объект исследования: изучение уравнений в курсе алгебры 7-9 классов.
Предмет исследования: уравнения в курсе алгебры 7-9 классов.
Курсовая работа состоит из шести частей: содержания, введения, двух глав, заключения и списка литературы.
Глава 1. Методика изучения уравнений в школьном курсе алгебры 7-9 классов
1.1. Обзор школьных учебников
Линейные уравнения. Эти классы уравнений изучаются с большей тщательностью, для них указывается и доводится до автоматизма выполнение алгоритмов решения, указывается форма, в которой должен быть записан ответ. Последняя ступень в освоении школьной теории уравнений относится к организации имеющихся у учащихся знаний и опыта решения уравнений в единую целостную систему. Для этой ступени характерны более сложные задания, в которых возрастает роль сведения задания к одному из типовых классов и организация процесса решения. В результате формируется общая картина связей изученных классов уравнений.
В различных учебниках применяется разная терминология, относящаяся, по существу, к одному и тому же классу уравнений. В этом отношении необходимо быть чрезвычайно внимательным и употреблять только те термины, которые введены в учебнике, причем именно в том смысле, который им придается.
Изучая учебник «Математика 7: Арифметика. Алгебра. Анализ данных», авт. Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др. мы видим, что особенностью изложения, принятого в учебнике, является то, что уравнение возникает как способ перевода фабульных ситуаций на математический язык. Переход к алгебраическому методу решения задач одновременно служит мотивом для обучения способу решения уравнений. Основное внимание в этой теме уделяется решению линейных уравнений. Само определение линейного уравнения вводится после того, как приходят к выводу, что многие уравнения после преобразований удаётся привести к виду ах = b.
Охарактеризованные варианты изложения теории уравнений, имеющих вид ax + b = сх + d, свидетельствуют о том, что эта теория допускает несколько различных по стилю и методике изучения развертывании. Можно сконцентрировать внимание на выделении более узкого класса, играющего роль «канонического вида», к которому приводятся данные уравнения; но можно обойтись и без этого, а сразу изучать способы решения уравнений общего класса, используя изученные типы преобразований уравнений. Точно так же можно описывать вводимые термины: четким определением или же посредством описания.
Несмотря на наличие таких разных подходов к введению первого класса уравнений, значительная часть методики его изучения одинакова при любом из них. Это объясняется, прежде всего, тем, что основной целью изучения в данном случае всегда является освоение правил решения уравнений данного класса, образующих сравнительно компактную систему и относящихся исключительно к преобразованиям буквенно-числовых выражений. В последнем отношении рассматриваемый класс сильно отличается от большинства других классов, в изучении которых определенную, а иногда значительную роль играют логические, графические, вычислительные компоненты.
При изучении этого класса уравнений учащиеся подходят к осознанию того, что уравнения, с первого взгляда мало отличные друг от друга, могут резко различаться по количеству корней. Это ответственный момент, один из самых существенных в изучении всего курса алгебры, поскольку при этом учащиеся впервые сталкиваются с необходимостью теоретического осмысления именно класса уравнений, а не каждого уравнения в отдельности.
Конкретные способы изложения материала, относящегося к исследованию, могут быть различными. Зависят они в первую очередь от стиля выделения этого класса. Если он выделяется явным определением, то и результаты исследования формулируются в виде четкой системы условий, при выполнении которых имеет место один из трех возможных случаев. Если же этот класс уравнений выделяется посредством описания, то реализация каждого из этих случаев показывается на примерах, но общего обоснования не дается.
Отметим еще, что рассматриваемый класс является единственным, для которого в современной методике есть разные подходы к проведению исследований. Для каждого из остальных классов уравнений, неравенств, систем исследование проводится, по существу, одинаково при любом построении курса алгебры. Именно те классы уравнений, неравенств, систем, алгоритмы решения которых заучиваются при усвоении материала, исследуются аналогично первому способу; для тех классов, где результирующих формул для получения ответа не указывается, используется второй способ.
В итоге тематического изучения первого класса уравнений учащиеся должны овладеть: алгоритмом решения уравнений данного класса; умением применять результаты исследования уравнений данного класса; основными понятиями общей теории уравнении; применением уравнений данного класса к решению текстовых задач.
При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются неполные, полные и приведенные квадратные уравнения. Для изучения данной темы были проанализированы современные школьные учебники разных авторов, таких как А.Г.Мордкович, С.М.Никольский, Ю.Н.Макарычев, М.И.Башмаков.
Исходя из таблицы можно сделать вывод о том, что в учебниках алгебры разных авторов есть сходства и различия. Во всех современных школьных учебниках алгебры методическая линия изучения квадратных уравнений одинакова. В учебнике под ред. М.И.Башмакова дается историческая справка, а в других учебниках этого нет. В учебниках алгебры С.М.Никольского и Ю.Н.Макарычева при изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются прямая и обратная теорема Виета.
В различных учебниках 9 классов методическая линия изучения уравнений высоких степеней одинакова. Рассматриваются основные понятия и определения, касающиеся этого класса уравнений, навыки при решении этих уравнений ученики оттачивают на примерах.
1.2. Методика изучения уравнений в 7 классе
Понятие уравнение рассматривается дважды: в 5 классе, как равенство, содержащее неизвестное, (здесь понятие вводится конкретно-индуктивным методом через решение задачи, используя картинку с весами) и в 7 классе, где вводится уже точное определение уравнения: уравнение – это равенство, содержащее переменную. Здесь же вводятся понятия “корень уравнения” и “решить уравнение”. В 7 классе вводится и понятие “равносильные уравнения”, формулируются теоремы о равносильных преобразованиях. Эти теоремы формулируются в виде свойств, они не доказываются, а поясняются на примерах.
При обучении решению любого вида уравнений строго соблюдается методика формирования математических умений.
Основной целью изучения в данном случае всегда является освоение правил решения уравнений данного класса, образующих сравнительно компактную систему и относящихся исключительно к преобразованиям буквенно-числовых выражений.
1.2.1. Линейное уравнение с одной переменной
Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее только одну переменную [8].
Корнем (или решением) уравнения называется значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство [8].
Найти все корни уравнения или доказать, что их нет – это значит решить уравнение [8].
Свойство 1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, то получится уравнение, равносильное данному.
Свойство 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.
Уравнение вида ax = b, где х- переменная, a, b,- некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной [ 8].
Линейное уравнение может, иметь различное число корней:
1.2.2. Линейные уравнения с двумя переменными
Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными ( или с двумя неизвестными) [8].
Например: 3х-4у=0 и т.д.
Решением уравнения с двумя неизвестными называется пара значений переменных, при подстановке которых, уравнение становится верным числовым равенством[8].
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными [8].
Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, что и уравнения с одной переменной:
Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число ( не равное нулю), то получится уравнение, равносильное данному.
Например: если х=2, то у=1;
если х=7, то у=-2 и т.д.
Пары чисел (2;1), (7;-2) – решения данного уравнения. Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много решений.
Пример нелинейного уравнения:
а) х 2 +3х-7у=0, так как содержит квадрат величины х;
б) х+у+ху=5, так как содержит произведение ху- одночлен второй степени.
Количество решений нелинейного уравнения с двумя переменными может быть различным.
Далее рассматривается График линейного уравнения с двумя переменными.
График уравнения с двумя переменными – это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения [8].
