что такое разрыв функции
Общие сведения
Когда математики говорят, что нужно произвести исследование функции на непрерывность, т. е. необходимо найти точки разрыва первого и второго рода. Если же таковых нет, то данное утверждение следует доказать математическим методом.
Непрерывной называется функция, которая не имеет точек разрыва, и меняется без существенных скачков в некоторых точках или промежутках, т. е. обладает определенным знакопостоянством. Это свойство определяется при помощи метода, представляющего совокупность математических преобразований. Последние основываются на теоремах. Они позволяют доказать существование или отсутствие точек и интервалов разрыва графика функции.
Базовые знания
Базовые знания — совокупность навыков, необходимых для решения какой-либо задачи. Для нахождения точек разрыва необходимы такие знания:
Когда список сформирован, тогда необходимо приступать к изучению материала. После полного понимания первого пункта необходимо переходить к последующему. Все пять элементов связаны между собой. Специалисты рекомендуют не заучивать наизусть понятия и термины, а понимать их.
Область определения
Областью определения некоторой функции w = f (p) называется интервал или числовой промежуток всех значений аргумента «р», при которых существует эта функция. Величину следует обозначать литерой «D». Конечная запись для вышеописанного тождества имеет такой вид: D (w) или D (f (р)).
Следует отметить, что D (w) зависит от ее вида. В алгебре бывают только простые и составные. К первым нужно отнести следующие подтипы:
К рациональным равенствам целого типа относятся любые выражения без корней, степеней, дробей, логарифмов, а также тождества, не содержащие каких-либо тригонометрических функций. В этом случае D соответствует всему интервалу действительных, которые обозначаются литерой «Z».
Для дробных D (w) зависит от знаменателя. В этом случае нужно решить уравнение, приравняв знаменатель к нулю. Например, чтобы найти D у функции вида w = [(p — 2)(p + 7)] / (p 2 — 1), нужно приравнять знаменатель дроби к 0.
Когда выражение является иррациональным, тогда нужно обратить внимание на степень корня и подкоренное выражение. Если степень четная, то выражение не должно быть отрицательным числом. Функция действительна для всех Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем в пустое множество. Например, для w = (p — 2) / [(p 2 — 1)]^(½) нужно решить неравенство (p 2 — 1) > 0. Интервалы, которым соответствует решение, можно записать в таком виде: (-бесконечность;-1) U (1;бесконечность). Бесконечность можно еще обозначать «inf».
Выражение под натуральным логарифмом должно быть всегда больше 0. В этом случае решается также неравенство, состоящее из тождества, находящегося под его знаком. Интервал для косинуса и синуса — все Z. Однако для tg (x) рекомендуется исключить значения аргумента (Pi / 2) + Pi * k, а для и ctg (x) — Pi * k (к принадлежит множеству Z).
Решение уравнений
Уравнения бывают нескольких видов: линейными, квадратными, кубическими и биквадратными. Первые являются самыми простыми, и решаются при помощи такой методики:
К квадратным относятся равенства вида ap 2 + bp + c = 0. Математики их классифицируют на неполные и полные. К первым относятся только равенства, которые не содержат второй или третий член. Квадрат при первом коэффициенте должен быть всегда. Существует 4 метода решения:
Рассчитать D по формуле: D = b 2 — 4ac.
Виды разрывов
Чтобы исследовать функцию на непрерывность, нужно уметь определять характер разрыва. Он классифицируется следующим образом: первого и второго рода. Первые бывают двух типов: устранимые и неустранимые.
Разрыв I рода существует в том случае, когда оба предела (левосторонний и правосторонний) являются конечными, т. е. не равны inf. Когда оба предела равны, то это точка устранимого разрыва. В противном случае (при неравенстве односторонних пределов) — разрыв является неустранимым, и называется «скачком».
Решения задач
После получения базовых знаний необходимо разобрать примеры решения. Точки разрыва функции следует искать по следующему алгоритму:
Однако для начала нужно найти область определения, которая играет важную роль в решении. Если она является множеством всех действительных чисел, то искать разрыв не имеет смысла. Он не существует. Если указанная функция содержит неизвестную, которая может превратить ее значение в неопределенность, то нужно вычислить правосторонний и левосторонний пределы (пункт 1). После этого их нужно сравнить, и сделать выводы о принадлежности точки к какому-нибудь виду.
Простые варианты
Нужно исследовать функцию w = (r 2 — 1) / (r — 2) на непрерывность или доказать, что она разрывная. Область определения D (w) = (-inf;2) U (2;+inf). Существует некоторый разрыв в точке r = 2. Для классификации его характера необходимо найти пределы:
Из полученных вычислений можно сделать вывод, что r = 2 является разрывом II рода. Это были простые задачи. Однако существуют более сложные, в которых нужно выполнять математические преобразования.
Сложное задание
Дано некоторое выражение: (2s 2 — 98) / (4s 2 — 8s — 16). Необходимо представить его в виде функции, и доказать существование типа разрыва в пространстве. Для доказательства нужно сначала решить уравнение в знаменателе:
Это свидетельствует о том, что разрыв есть. Далее нужно определить его характер по такому алгоритму:
Выполнять вычисления для двух точек необязательно, поскольку пределы будут равны и в этом случае. Следовательно, это устранимый разрыв I рода.
Таким образом, для нахождения разрывов необходимо знать некоторые особенности и методику, позволяющую правильно классифицировать их характер.
Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода
Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.
Непрерывность функции в точке
Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.
Решение
Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:
на чертеже они обозначены зеленым цветом.
Соответствующая последовательность функций:
на рисунке обозначена синим цветом.
После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:
Устранимый разрыв первого рода
Решение
Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.
Неустранимый разрыв первого рода
Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.
Решение
Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:
Ответ: в конечном счете мы получили:
Нам остается только подготовить чертеж данного задания.
Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)
Решение
Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:
Ей соответствует последовательность значений функции: