что такое пересечение треугольников
Ззамечательные точки треугольника — свойства, применение и примеры решения
Замечательные точки треугольника не просто так описываются таким прилагательным. Для многих учеников, а начинают знакомиться с этим понятием в 8 классе, эта тема кажется наиболее интересной и простой в курсе геометрии, поэтому многочисленные теоремы и свойства запоминаются достаточно просто.
Итак, какие же четыре точки называются замечательными? Перечислим их:
точку пересечения медиан треугольника;
точку пересечения биссектрис треугольника;
точку пересечения высот треугольника;
точку пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.
Все точки обладают своими особенностями и свойствами, про всех есть свои теоремы и следствия из них. Кроме того, существует свойство, которое справедливо сразу для четырёх этих точек. Вне зависимости от того, медиана ли это, биссектриса или высота, все они пересекаются в одной точке.
Замечательные точки характерны не только для треугольников. Например, в трапеции так же четыре замечательные точки.
Теперь рассмотрим основные положения, связанные с замечательными точками треугольника.
Точка пересечения медиан треугольника
Из курса геометрии известно определение медианы треугольника.
На данном рисунке она обозначена прямой m, которая исходит из вершины А и заканчивается точкой М, являющейся центром стороны ВС.
Теперь сделаем чертёж треугольника, на котором укажем замечательную точку пересечения медиан.
Для начала постройте абсолютно любой треугольник и обозначьте его буквами А, В и С.
На отрезке АВ отметьте центр С1, на стороне ВС центр А1, на АС центр В1.
Проведите 3 медианы из вершин. Из угла А – медиана АА1,из угла В — медиана ВВ1, из угла С — медиана СС1.
Должно получиться так, как показано на рисунке: три проведённые линии пересекаются в одной точке G (что является их свойством).
Изучим следующее свойство точки пересечения трёх медиан треугольника.
Отрезки медианы треугольника, разделённой замечательной точкой, относятся друг к другу как 2:1. Проследим это свойство на примере используемого нами рисунка:
A1G = 2AG, B1G = 2BG, C1G = 2CG.
Точка пересечения биссектрис треугольника
Прежде чем мы приступим к изучению следующей точки, рассмотрим теорему о биссектрисе, проведённой из вершины неразвёрнутого угла, и докажем её.
Рассмотрим пример. Дано:
угол ВАС Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника
Для начала вспомним определение серединного перпендикуляра. Теорема о серединном перпендикуляре:
Сделаем краткое доказательство. Соединим концы отрезка с вершиной серединного отрезка. Докажем равенство полученных треугольников, из чего следует АD = DB.
Построим эту точку.
В треугольнике АВС отмечаем середины его сторон. Проводим три серединных перпендикуляра КО, LO, МО и отмечаем точку их пересечения О.
Точка пересечения высот треугольника
Проведём три высоты в ∆АВС, все они пересекутся в т. Н. Точка Н по отношению к ∆АВС – ортоцентр.
Свойство высот треугольника:
если все три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, то это ортоцентр;
СH * HНС
= АH * АНА = ВH * ВНВ.
Ортоцентр может располагаться внутри треугольника, снаружи или совпадать с одной из вершин.
На рисунке показано расположение ортоцентра в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках.
Пример решения задач с построением
Замечательные точки треугольника замечательные именно потому, что они имеют много полезных для решения задач свойств. Рассмотрим пример решения задачи на эту тему.
Серединный перпендикуляр в ∆АВС, опущенный к АС, пересекает ВС в т. В. Найти BD, DC, если AD = 5 см BC = 9 см.
Сделаем дополнительное построение – серединный отрезок КD к прямой АС. Тогда DK это и высота, и медиана в ∆АВС. Если в треугольнике проведена прямая, которая является высотой и медианой, то он равнобедренный. Значит, AD = DC = 5 см.
Ответ: DC = 5 см, ВD = 4 см.
Чертежик
Метки
Точки пересечения треугольников пошаговое выполнение
Точки пересечения треугольников определяются в следующем порядке:
1.) Согласно заданию строятся точки по координатам.
2.) Теперь важным шагом является определение плоскости относительно которой будем искать точки пересечения треугольников.
Вы можете сказать: «можно найти точки относительно плоскости АВС», но нет. Почему!? Я объясню, посмотрев на рисунок, расположенный внизу, можно увидеть что треугольник D2E2F2, а точнее две стороны пересекают треугольник А2В2С2 в четырех точках, соответственно используем треугольник D2E2F2,как опорную плоскость.
3.) Сторона E2F2 пересекает стороны B2C2 и A2C2 в точках 4 2 и 3 2. Опускаем их на нижний рисунок и обозначаем 4 1 и 3 1.
4.) Соединяются точки 3 1 и 4 1.
5.) Продливается прямая 3 1 4 1 до пересечения с отрезком E1F1. В месте пересечения ставим точку и обозначаем Н.
6.) Точки P1 и H соединяются. Полученная прямая P1H пересекает отрезок А2С2 в точке K1 (найдена вторая точка).
7.) Переносятся точки P1 и K1, расположенные на отрезках D1E1 и E1F1, на отрезки D2E2 и E2F2. И обозначаются P2 и K2.
8.) Соединяются P2 и K2.
9.) А теперь главный момент: указать видимые и невидимые стороны.
Посмотрите на рисунок снизу. На нем точки D, F, B, C и E находятся в двух проекциях «свободно», но не точка A. Соответственно, относительно ее и необходимо начинать чертить линии.
Пример выполненной работы на эту тему смотрите здесь.
Немного добавлю по этой статье: «Точки пересечения треугольников»
По своему опыту скажу: «чтобы начертить подобный чертеж, необходимо обладать пространственным воображением» и понимать, относительно какой плоскости отталкиваться для решения подобной задачи. Но благодаря этой статьи надеюсь у Вас получится разобраться с темой: пересечение плоских фигур.