Что такое частное рациональных чисел

Деление рациональных чисел

Частным рациональных чисел и (0) называют такое рациональное число , произведение которого с числом равно числу .

Из определения частного рациональных чисел следует, что равенство : = справедливо, если = .

Примеры:

Пример:

(20) : (4) = = 20 : 4 = 5, обычно пишут короче: (20) : (4) = 20 : 4 = 5.

Чтобы найти частное двух чисел с разными знаками, надо разделить модуль делимого на модуль делителя и поставить перед полученным числом знак ««.

Пример:

15 : 5 = (15 : 5) = 3.

Обратите внимание, сначала определяют и записывают знак частного, а потом уже находят модуль частного.

При делении числа на 1, получаем число равное данному, т.е. в буквенном виде можно записать так: : 1 = .

Примеры:

1) 3,5 : 1 = 3,5

2) .

При делении числа на 1, получаем число противоположное данному, т.е. в буквенном виде можно записать так: : (1) = .

При делении рационального числа, не равного нулю, на само себя получается единица, т.е. в буквенном виде можно записать так:

: = 1, где 0.

Примеры:

1) ;

2) 3,7 : (3,7) = 1.

При делении нуля на любое рациональное число, не равное нулю, получаем ноль, т.е. в буквенном виде можно записать так:

0 : = 0, где 0.

Примеры:

1) 0 : = 0

2) 0 : (8,5) = 0.

Запомните: на нуль делить нельзя!

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Что такое Рациональные числа

Определение рациональных чисел

Рациональное число — это число, которое можно представить как дробь. Т.е. если число можно получить делением двух целых чисел (число без дробной части), то это число рациональное.

Это число, которое можно представить обыкновенной дробью , где числитель m – целое число, и знаменатель n – натуральное число.

Множество рациональных чисел обозначается буквой “Q”.

Слово «рациональный» произошло от латыни «ratio», которое имеет несколько значений — число, расчёт, нумерация, рассуждение, разум и др.

Свойства рациональных чисел

Допустим а, b и c — любые рациональные числа.

Переместительные и сочетательные законы

а + b = b + а, например: 2 + 3 = 3 + 2;

а + (b + с) = (а + b) + с, например: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;

а + 0 = а, например: 2 + 0 = 2;

а + (– а) = 0, например: 2 + (– 2) = 0

Переместительные и сочетательные законы при умножении

a × b = b × a, например: 2 × 3 = 3 × 2

a × (b × c) = (a × b) × c, например: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4

а × 1 = а, например: 2 × 1 = 2

а × 1/a = 1, если а ≠ 0; например: 2 × 1/2 = 1

а × 0 = 0, например: 2 × 0 = 0

а × b = 0, значит: или а = 0, или b = 0, или оба равны нулю

Распределительный закон умножения

(а + b) × с = ас + bс например: (2 + 3) × 4 = 2×4 + 3×4

(а – b) × с = ас – bс например: (3 – 2) × 4 = 3×4 – 2×4

Иррациональные числа

Иррациональные числа — противоположность рациональным числам, это те, которые НЕ могут быть записаны как простая дробь.

Множество иррациональных чисел обозначается буквой “I”.

Какая разница между целыми, натуральными и рациональными числами

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа (ниже нуля) и нуль.

Все целые числа являются рациональными числами (натуральные в том числе), т. к. их можно представить в виде обыкновенной дроби.

Множество целых чисел в математике обозначается буквой Z.

Натуральные числа

Натуральные числа — это только целые числа, начиная с 1.

Этот счёт появился натуральным способом, когда люди ещё считали на пальцах и не знали цифр («у меня столько коз, сколько пальцев на обеих руках»), поэтому нуль не входит в натуральные числа.

Множество натуральных чисел в математике обозначается буквой N.

Все десятичные дроби рациональные числа?

Десятичные дроби выглядят таким образом:

Это обычные дроби, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д. Наши примеры мы можем записать в таком виде:

3,4 = ;

2,19 = ;

0,561 = .

Это означает, что любая конечная десятичная дробь является рациональным числом.

Любую периодическую дробь тоже можно представить в виде обыкновенной дроби:

(3 повторяется)

Следовательно, любая периодическая дробь является рациональным числом.

Но БЕСКОНЕЧНЫЕ и НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ десятичные дроби не считаются рациональными числами, т. к. их нельзя показать в виде обыкновенной дроби.

Можно запомнить, как шпаргалку, что число Пи (3,14159. ) иррациональное. У него очень много неповторяющихся знаков после запятой и его невозможно представить в виде обыкновенной дроби.

Корни — рациональные числа или иррациональные?

Подавляющая часть квадратных и кубических корней — иррациональные числа. Но бывают исключения: если его можно представить как дробь (по определению рационального числа). Например:

История рациональных чисел и дробей

Самое раннее известное упоминание иррациональных чисел было между 800 и 500 г. до н. э. в индийской Сулба-Сутре.

Первое доказательство существования иррациональных чисел принадлежит древнегреческому философу-пифагорейцу Гиппасу из Метапонта. Он доказал (вероятнее всего геометрически) иррациональность квадратного корня из 2.

Легенда гласит, что Гиппас из Метапонта открыл иррациональные числа когда попытался представить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не смог принять существование иррациональных чисел.

Считается, что из-за этого между ними получился конфликт, который породил множество легенд. Многие говорят о том, что как раз это открытие убило Гиппаса.

В вавилонских записях по математике часто можно увидеть шестидесятеричную систему счисления, в которой уже использовались дроби. Эти записи были сделаны более 4000 лет назад, система была немного не такой, как у нас, но смысл тот же.

У египтян, которые жили в более поздний период, также был свой способ записи дробей, что-то похожее на: 3⁻¹ или 5⁻¹.

Источник

Рациональные числа: определения, примеры

Данная статья посвящена изучению темы «Рациональные числа». Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет.

Рациональные числа. Определения

Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой.

Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.

Определение 1. Рациональные числа

Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:

Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.

Определение 2. Рациональные числа

Можно показать, что данное определение равносильно предыдущему определению рациональных чисел. Чтобы сделать это, вспомним, что черта дроби равносильна знаку деления. С учетом правил и свойств деления целых чисел, можно записать следующие справедливые неравенства:

Таким образом, можно записать:

Приведем еще одну эквивалентную форму определения рациональных чисел.

Определение 3. Рациональные числа

Данное определение напрямую следует из самого первого определения этого пункта.

Подведем итог и сформулируем резюме по данному пункту:

Какое из чисел является рациональным?

Как мы уже выяснили, любое натуральное число, целое число, правильная и неправильная обыкновенная дробь, периодическая и конечная десятичная дробь являются рациональными числами. Вооружившись этими знаниями можно без труда определить, является ли какое-то число рациональным.

Однако на практике часто приходится иметь дело не с числами, а с числовыми выражениями, которые содержат корни, степени и логарифмы. В некоторых случаях ответ на вопрос «рационально ли число?» является далеко не очевидным. Рассмотрим методы ответа на этот вопрос.

Таким образом, упрощение сложного числового выражения позволяет определить, рационально ли заданное им число.

Теперь разберемся со знаком корня.

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Очевидно, последнее равенство невозможно так как в левой и правой частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Следовательно, сделанное предположение неверно, и число log 2 5 не является рациональным числом.

Источник

Рациональные числа, понятие и примеры.

Рациональные числа вы с ними уже знакомы, осталось только обобщить и сформулировать правила. Так какие числа называются рациональными числами? Рассмотрим подробно в этой теме урока.

Понятие рациональных чисел.

Определение:
Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби \(\frac\), где m – целое число, а n – натуральное число.

Другими словами, можно сказать:

Рациональные числа – это все натуральные числа, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Разберем каждый пункт подробно.

Множество рациональных чисел.

Вспомним, что множество натуральны чисел обозначается латинской буквой N.
Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.
А множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.

Во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел в этом и заключается смысл рациональных чисел.

На рисунке можно показать множество рациональных чисел.

Но не все числа являются рациональными. Бывают еще множества различных чисел, которые в дальнейшем вы будите изучать.
Бесконечные непрериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел.
Например, число е, \(\sqrt<3>\) или число \(\pi\) (читается число пи) не являются рациональными числами.

Записать число 1 в виде рационального числа?
Ответ: чтобы записать в виде рационального число 1 нужно представить его в виде дроби 1=\(\frac<1><1>\).

Докажите, что число \(\sqrt<0,0049>\) является рациональным?
Доказательство: \(\sqrt<0,0049>=0,07\)

Является ли простое число под корнем рациональным числом?
Ответ: нет. Например, любое простое число под корнем 2, 3, 5, 7, 11, 13, … не выносится из под корня и его нельзя представить в виде конечно дроби или бесконечной периодической дроби, поэтому не является рациональным числом.

Источник

Числа. Деление рациональных чисел.

В множестве рациональных чисел деление не является отдельны действием, потому что деление здесь происходит за счет умножения.

Т.е., правило деления рациональных чисел: поделить число a на не равное нулю число b – это тоже самое, если умножить делимое a на обратное делителю число. Т.е., в множестве рациональных чисел a:b=a·b−1.

Таким образом, деление рационального числа на не равное нулю рациональное число выглядит как умножение рациональных чисел.

Нужно решить пример: .

Найдем число, которое будет обратным к делителю .

Записываем его как неправильную дробь: .

Значит, число, которое обратно этой дроби это: .

Далее из правила деления переходим от деления к умножению рациональных чисел, это дает нам завершить вычисления:

Ответ: .

Схема определения знака частного 2-х рациональных чисел:

Источник

• ← что такое аджосси в корее
• современный дизайн зала в квартире реальные фото →