что такое биссектриса смежного угла
Угол. Биссектриса. Виды углов.
теория по математике 📈 планиметрия
Угол – геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, которые исходят из этой точки. Лучи – стороны угла, а точка – вершина.
Обозначение углов: можно обозначать тремя заглавными латинскими буквами (в середине записи – буква, которая обозначает вершину угла); можно обозначать одной заглавной латинской буквой; также используется обозначение двумя прописными латинскими буквами.
Рассмотрим обозначение на рисунках, где на рисунке 1 показан угол АОС, на рисунке 2 – угол М, на рисунке 3 – угол (hc).
| Рисунок 1 | Рисунок 2 | Рисунок 3 |
 |  |  |
Измерение углов. Виды углов
Обычно за единицу измерения углов принимают градус – угол, равный одной стовосьмидесятой части развернутого угла. Эта единица измерения введена до нашей эры много веков назад и используется в наше время.
Число, которое указывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла.
Определенные части градуса носят такие названия, как минута и секунда, где минута – это 1/60 часть угла, а секунда – это 1/60 часть минуты.
Запись и чтение осуществляется следующим образом: 78 0 (78 градусов); 24 0 32 / 45 // — это 24 градуса 32 минуты 45 секунд. Определение
Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.
Также можно сказать, что одна сторона развернутого угла является продолжением другой стороны этого угла. На рисунке показан развернутый угол С. Его величина равна 180 градусам (180 0 ).
Определение
Угол, градусная мера которого равна 90 градусов, называется – прямой.
Биссектриса угла
Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины и делящий его на два равных угла. На рисунке показан луч ML, который делит угол KMN пополам, то есть угол KML равен углу LMN.
Смежные углы
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
На рисунке показаны углы ABD и DBC, которые являются смежными, у них сторона BD общая, а стороны АВ и ВС являются продолжениями одна другой.
По рисунку мы видим, что эти два смежных угла образуют развернутый угол. Таким образом, сумма смежных углов равна 180 градусов. Это свойство смежных углов.
Смежные углы
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла. Другими словами, при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.
На рисунке показаны две пары вертикальных углов, это пара углов 1 и 2, а также вторая пара – это 3 и 4.
Биссектрисы смежных углов
Зависит ли угол, который образуют между собой биссектрисы смежных углов, от градусных мер этих углов?
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
Дано: ∠AOD и ∠DOB — cмежные,
OF — биссектриса ∠AOD,
OK — биссектриса ∠DOB
Так как сумма смежных углов равна 180º, то ∠AOD+∠DOB=180º.
Так как OF — биссектриса ∠AOD, то
Так как OK — биссектриса ∠DOB, то
Найти угол между биссектрисами смежных углов, один из которых на 100º больше другого.
Так как биссектрисы смежных углов перпендикулярны, ∠FOK=90º.
(Находить градусные меры смежных углов не требуется).
Биссектриса — свойства, признаки и формулы
Базовым понятием и одним из наиболее интересных и полезных объектов школьной математики является биссектриса. С её помощью доказываются многие положения планиметрии, упрощается решение задач.
Известные свойства позволяют рассматривать геометрические фигуры с разных точек зрения. Появляется вариативность при выборе пути доказательств.
Становится возможным использование инструмента алгебры, например, свойство пропорции, нахождение неизвестных величин, решение алгебраических уравнений при рассмотрении геометрических вопросов.
Что такое биссектриса в геометрии
Рассматривают луч, выходящий из вершины угла или его часть (отрезок), который делит угол пополам. Такой луч (или, соответственно, отрезок) называется биссектрисой.
Часто для треугольников определение немного сужают, говоря об отрезке, соединяющем вершину угла, делящем его пополам, с точкой на противолежащей стороне. При этом рассматривается внутренняя область фигуры.
В то же время, часто при решении задач используются прямые, делящие внешние углы на два равных.
Биссектриса прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника одна из биссектрис образует равные углы, величины которых хорошо просчитываются (45 градусов).
Это помогает вычислять углы при решении задач, связанных с фигурами, которые можно представить в виде прямоугольных треугольников или прямоугольников.
Свойства биссектрисы треугольника
1. Каждая точка этой линии равноудалена от сторон угла. Часто эту характеристику выбирают в качестве определения, поскольку верно и обратное утверждение для любого произвольного треугольника. Это позволяет находить и радиус вписанной окружности.
2. Все внутренние отрезки, делящие углы пополам, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в фигуру, т. е. точка пересечения находится на равных расстояниях от сторон.
Данное свойство позволяет решать целый класс разнообразных задач, выводить формулы для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников.
Благодаря этому утверждению, легко доказывается следующее правило:
Площадь описанного многоугольника равна:
где p – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.
Это позволяет находить решение не только планиметрических, но и стереометрических задач.
Важную роль играют внешние биссектрисы треугольника. Вместе с внутренними они образуют прямые углы;
3. Сумма величин двух прилежащих сторон, делённая на длину противолежащей стороны, задаёт отношение частей биссектрисы (считая от вершины), полученных точкой пересечения всех трёх соответствующих линий.
Некоторые виды геометрических фигур, в силу своих особенностей, порождают особые примечательные характеристики;
4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Две другие – равны между собой.
В этом случае основание параллельно внешней биссектрисе.
Обратное положение также имеет место. Если прямая проведена параллельно основанию равнобедренного треугольника через некоторую вершину, то внешняя биссектриса при этой вершине является частью этой линии;
5. Для равностороннего многоугольника важной характеристикой считается равенство всех биссектрис;
6. У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;
7. Выделяют несколько особенностей, среди которых есть следующая теорема:
«Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».
Обратное утверждение («Прямая делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам») выражает признаки того, что рассматриваемая линия является внутренней биссектрисой;
8. Разносторонний треугольник позволяет определить взаимное расположение его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной точки. В частности, медиана и высота располагаются по разные стороны от третьей линии.
Все формулы биссектрисы в треугольнике
В зависимости от исходных данных, длина биссектрисы, проведённой к стороне C, lc, равна:
Примеры решения задач
Задача №1
В ΔABC ∠C = 90°, проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы заданной фигуры.
Пусть ∠ACB = 90°, AD – биссектриса, BE – медиана, O – точка пересечения медиан, OD⊥BC.
Тогда OE : OB = 1 : 2по свойству медиан.
Так как OD⊥BC, то ODIIOC, следовательно, ΔBOD ∼ ΔBEC по второму признаку подобия, поэтому, по свойству подобных фигур, CD : DB = 1 : 2.
Это означает, что CA : AB = 1 : 2.
Так как катет равен половине гипотенузы, то ∠ABC = 30°, откуда ∠CAB = 60°.
Задача №2
Диагональ параллелограмма делит его острый угол пополам. Доказать, что этот параллелограмм является ромбом.
Так как ABCD – параллелограмм, то ∠DAC = ∠ACB, как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC.
По условию, ∠DAC = ∠ACB = ∠BAC, поэтому ΔACB равнобедренный, то есть AB = BC, следовательно, ABCD – ромб.
Что такое биссектриса угла в геометрии
Общее понятие
Биссектрисой угла является такой луч, который выходит из вершины угла, проходит между его сторонами, и делит этот угол на две равных части.
Свойства биссектрис
Рассмотрим основные свойства биссектрис:
Не нашли что искали?
Просто напиши и мы поможем
Пример решения геометрической задачи с применением свойств биссектрисы
Свойства биссектрисы позволяют решать ряд геометрических задач. Рассмотрим одну из них.
Не нашли нужную информацию?
Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.
Гарантия низких цен
Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.
Доработки и консультации включены в стоимость
В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.
Вернем деньги за невыполненное задание
Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.
Тех.поддержка 7 дней в неделю
Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.
Тысячи проверенных экспертов
Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».
Гарантия возврата денег
Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!
Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока
Гарантия возврата денег
В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы
Отзывы студентов о нашей работе
«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами
Используя «Всё сдал!», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:
Принимаем к оплате 
Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.
Определение биссектрисы угла треугольника
Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.
Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.
Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.
Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.
Свойства биссектрисы треугольника
Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):
Свойство 2
Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.
Свойство 3
Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).
Свойство 4
Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):
BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC
Свойство 5
Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.
Пример задачи
Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.
Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.
Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.
Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):
Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29
Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.
Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.