в каком классе изучают интегралы

Урок по теме «Интеграл. Применение интеграла». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, плакаты “Применение интеграла”, карточки с заданиями, переносные доски.

I. Мотивационно-ориентировочный этап

1. Организационный момент.

2. Сообщение темы и целей урока.

II. Актуализация опорных знаний:

1. Фронтальный опрос:

а) что называется интегралом?

б) как вычисляется интеграл?

в) существуют ли формулы для интегрирования произведения и частного функций?

а) среди данных трех функций укажите такую, что две другие являются соответственно производной и первообразной для нее:

1) .

Ответ: f(x)- функция, g(x)-производная, h(x)– первообразная.

б) вычислите интеграл с помощью графика: .

в) вычислите: .

г) В чем ошибка? Как ее исправить?

.

III. Этап обобщения и систематизации изученного

1. Используя вышеупомянутые правила, вычислим интегралы: (слайд 2) (класс вычисляет интегралы письменно в тетрадях, а 2 ученика за доской, после окончания работы уч-ся на местах проверяют правильность выполненного в тетрадях по уже открытым доскам)

а) б) в) г)

2. За первую парту идут работать 2 ученика. Их задача требует найти ошибки в данных примерах:

I. а)

II. а)

б) б)

в) в)

г) г)

Ответ: ошибки в I (a;в), во II (а;в).

3. Ответить на вопросы:

а) в чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

б) что называется криволинейной трапецией?

в) посмотрите на экран и укажите, каким рисункам соответствуют данные способы вычисления площади заштрихованной фигуры:

а) б) в) г) д) ? (слайд 3)

4. Используя вышеупомянутые правила, решите следующие задачи:

а) найдите площадь фигуры ограниченной линиями: (три ученика выполняют у доски, класс в тетрадях), (слайд 4)

1.

2.

3. и касательной к графику в точке с абсциссой и осью у.

б) Обратите внимание, в каких еще заданиях используется интеграл: (два ученика на переносных досках), (слайд 5)

1) Решите уравнение:	2) Решите неравенство:
.	.

Ответы: ; .

в) (два ученика выполняют задания у доски, класс в тетрадях)

1. Найдите пары чисел а и b, при которых функция f (x) удовлетворяет данным условиям:

. Ответ: а=3; в=1.

2. При каком положительном значении параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями

1. Домашнее задание. Раздать карточки с домашним заданием.

а) найти общий вид первообразных для функции .

б) вычислите интеграл: .

в) вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , у = 0,

, .

г) вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №52. Производная и интеграл.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Производной функции в данной точке называется предел разностного отношения:

Уравнение касательной к графику данной функции в данной точке y=f(x)+f ‘(x₀)(x-x₀)

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (a; b), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких, что х₁ у₂. Иными словами, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности этой функции. Слова «функция монотонна на данном промежутке» означают, что функция на этом промежутке возрастает или убывает.

Точка х₁ называется точкой максимума функции f, если для всех х из окрестности точки х₁ выполняется неравенство f(x) f(x₂).

Для точек максимума и минимума принято общее название – точки экстремума.

Значения функции в этих точках называют соответственно максимумами и минимумами. Их общее название – экстремум функции.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x)=F'(x) в каждой точке промежутка (a; b).

Дифференциальные уравнения связывают функцию и ее производные различных порядков. В дифференциальном уравнении в качестве неизвестной выступает не число, а функция.

Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество.

Фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции f(x), заданной на отрезке [a; b], отрезком [a; b] и прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Разность значений первообразной F для функции f точках b и a называется определенным интегралом этой функции от a до b.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни– 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов http://fcior.edu.ru/

Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов http://school-collection.edu.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение производной

Напомним, что производной функции в заданной точке называется предел разностного отношения:

Напомним правила вычисления производных:

Найти производную функции:

Ответ: .

2. Решение задач с помощью производной.

Найдем угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс.

Найдем производную данной функции: .

Так как нам нужно узнать угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс, нам нужно найти эти точки пересечения. Для этого решим уравнение: .

То есть график данной функции пересекает ось абсцисс в трех точках с найденными абсциссами.

, , угол тупой, функция убывает

, , угол острый, функция возрастает

, угол острый, функция возрастает

Вспомним механический смысл производной.

Движение материальной точки описывается данным уравнением:

Найти скорость и ускорение точки в момент времени 3.

Теперь напомним решение задачи на наибольшее и наименьшее значение, которая также решается с помощью производной.

Найти прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность радиуса R.

Исследуем функцию

При

Прямоугольником наибольшей площади, вписанным в круг радиуса R, является квадрат со стороной .

3. Теперь перейдем к повторению первообразной и интеграла.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x)=F'(x) в каждой точке промежутка (a; b).

Все первообразные для данной функции отличаются друг от друга на константу

Покажем, что функция является первообразной для функции .

Найдем производную: .

Преобразуем полученную функцию:

.

Получили функцию f(x).

Найдите первообразную для функции , удовлетворяющую заданным условиям: F(1)=6.

Для функции первообразными является функции вида

Ответ:

Точка движется прямолинейно с ускорением

Найдите закон движения точки, если в момент времени t=1с ее скорость равна 10м/с, а координата равна 12 (единица измерения ускорения 1м/с 2 )

,

,

Ответ:

.

(куб.ед)

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций.

.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найдем производную данной функции, сначала преобразуем функцию, выделив целую часть: .

Теперь найдем производную:

.

Так как на данном отрезке функция имеет единственную точку экстремума (максимум), то наибольшее значение она принимает в этой точке.

2. Вычислите массу участка стержня от x_1 до , если его линейная плотность задается формулой .

Масса участка стержня на заданном участке выражается интегралом: .

Для того чтобы найти массу участка стержня от до x_2, если его линейная плотность задается формулой , вычислим интеграл:

.

Ответ: .

3. Найти путь, пройденный при свободном падении телом за первые 5 секунд (ускорение равно 9,8 м/с 2 )

Скорость в момент времени t равна 9,8t.

Значит, путь, пройденный за промежуток времени [0; 5], выражается определенным интегралом:

м

Источник