в какой точке прямая пересекает плоскость

В этой статье мы ответим на вопрос: «Как найти координаты точки пересечения прямой и плоскости, если заданы уравнения, определяющие прямую и плоскость»? Начнем с понятия точки пересечения прямой и плоскости. Далее покажем два способа нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости. Для закрепления материала рассмотрим подробные решения примеров.

Навигация по странице.

Точка пересечения прямой и плоскости – определение.

В заголовке статьи фигурируют слова «точка», «прямая» и «плоскость». Поэтому, для понимания темы необходимо иметь четкое представление о точке, прямой линии и плоскости в пространстве. Освежить в памяти эти понятия Вы можете, обратившись к статьям прямая в пространстве и плоскость в пространстве.

Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

Нас интересует третий случай. Напомним, что означает фраза: «прямая и плоскость пересекаются». Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют только одну общую точку. Это общую точку пересекающихся прямой и плоскости называют точкой пересечения прямой и плоскости.

Приведем графическую иллюстрацию.

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости.

Давайте сначала детально разберем задачу, решение которой мы можем получить на основании определения точки пересечения прямой и плоскости. Эта задача нас подготовит к нахождению координат точки пересечения прямой и плоскости.

Является ли точка М₀ с координатами точкой пересечения прямой и плоскости .

Нам известно, что если точка принадлежит некоторой прямой, то координаты точки удовлетворяют уравнениям прямой. Аналогично, если точка лежит в некоторой плоскости, то координаты точки удовлетворяют уравнению этой плоскости. По определению точка пересечения прямой и плоскости является общей точкой прямой и плоскости, тогда координаты точки пересечения удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости.

Таким образом, для решения поставленной задачи нам следует подставить координаты точки М₀ в заданные уравнения прямой и в уравнение плоскости. Если при этом все уравнения обратятся в верные равенства, то точка М₀ является точкой пересечения заданных прямой и плоскости, в противном случае точка М₀ не является точкой пересечения прямой и плоскости.

Подставляем координаты точки :

Все уравнения обратились в верные равенства, следовательно, точка М₀ принадлежит одновременно и прямой и плоскости , то есть, М₀ является точкой пересечения указанных прямой и плоскости.

да, точка — это точка пересечения прямой и плоскости .

Итак, координаты точки пересечения прямой и плоскости удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости. Этим фактом и будем пользоваться при нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

Первый способ нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Отметим, что при такой постановке задачи мы фактически находим координаты точки пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями , и .

Решим пример для закрепления материала.

Прямая, заданная уравнениями двух пересекающихся плоскостей как , пересекает плоскость . Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Требуемые координаты точки пересечения прямой и плоскости мы получим, решив систему уравнений вида . При этом будем опираться на информацию статьи решение систем линейных уравнений.

Для начала перепишем систему уравнений в виде и вычислим определитель основной матрицы системы (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):

Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому система уравнений имеет единственное решение. Для его отыскания можно воспользоваться любым методом. Мы используем метод Крамера:

Найдите точку пересечения прямой и плоскости , если это возможно.

Оговорка «если это возможно» означает, что прямая и плоскость могут не пересекаться.

Составим систему из заданных уравнений . Если эта система уравнений имеет единственное решение, то оно даст нам искомые координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если эта система не имеет решений или имеет бесконечно много решений, то о нахождении координат точки пересечения не может быть и речи, так как прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Таким образом, прямая лежит в плоскости , и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

невозможно найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Если прямая пересекается с плоскостью , то найдите координаты точки их пересечения.

Составим систему из заданных уравнений . Для нахождения ее решения используем метод Гаусса. Метод Гаусса позволит нам не только определить, имеет ли записанная система уравнений одно решение, бесконечное множество решений или не имеет ни одного решения, но и найти решения в случае их наличия.

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса стало неверным равенством, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда заключаем, что прямая и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, мы не можем говорить о нахождении координат их точки пересечения.

прямая параллельна плоскости и они не имеют точки пересечения.

Второй способ нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Если в уравнение подставить выражения , мы придем к уравнению с неизвестной . Разрешив это уравнение относительно , мы получим значение , соответствующее координатам точки пересечения прямой a и плоскости . Координаты точки пересечения прямой и плоскости вычисляются как .

Разберем этот способ нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости на примере.

Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости .

Подставим в уравнение плоскости выражения :

Находим координаты точки пересечения прямой и плоскости по параметрическим уравнениям при :

В заключении скажем про случай, когда прямая a задана каноническими уравнениями вида . В этом случае для нахождения координат точки пересечения прямой a с плоскостью , от канонических уравнений прямой следует перейти к параметрическим уравнениям этой прямой () и воспользоваться разобранным способом.

Источник

Данная глава рассказывает о том, как найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью при заданных уравнениях, определяющих эту плоскость. Будет рассмотрено понятие точки пересечения прямой с плоскостью, два способа нахождения координат точки пересечения прямой с плоскостью.

Точка пересечения прямой и плоскости – определение

Для углубленного изучения теории необходимо начать рассмотрение с понятия точки, прямой, плоскости. Понятие о точке, прямой линии рассматривается как на плоскости, так и в пространстве. Для детального рассмотрения необходимо обратиться к теме о прямой и плоскости в пространстве.

Существует несколько вариаций расположения прямой относительно плоскости и пространства:

Если рассмотреть третий случай, то отчетливо видно, что прямая с плоскостью при пересечении образуют общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. рассмотрим данный случай на примере.

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости

Была введена прямоугольная система координат О х у z трехмерного пространства. Каждая прямая имеет свое собственное уравнение, а каждая плоскость соответствует своему заданному уравнению, каждая точка имеет определенное количество действительных чисел – координат.

Чтобы подробно разобраться в теме координат пересечения, необходимо знать все виды уравнения прямой в пространстве и уравнений плоскости. в данном случае пригодятся знания о переходе от одного вида уравнения к другому.

Рассмотрим задачу, которая основывается на заданном пересечении прямой и плоскости. она сводится к нахождению координат пересечений.

Когда точка принадлежит некоторой прямой, координаты точки пересечения являются решением обоих уравнения. Из определения имеем, что при пересечении образуется общая точка. Для решения задания необходимо подставить в оба уравнения координаты точки М 0 и вычислить. Если она является точкой пересечения, то оба уравнения будут соответствовать.

Ответ: заданная точка с координатами является точкой пересечения.

Если координаты точки пересечения являются решением обоих уравнений, то они пересекаются.

Первый способ нахождения координат пересечения прямой и плоскости.

Необходимые нам координаты прямой a и плоскости α должны удовлетворять обоим уравнениям. Таким образом задается система линейных уравнений, имеющая вид

A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Следует обратить внимание на тему решения систем линейных уравнений.

Так как определитель матрицы не равен нулю, система имеет только одно решение. Для этого мы применим метод Крамера. Он считается очень удобным и подходящим для данного случая.

Ответ: нет координат точки пересечения.

Применив метод Гауса, стало понятно, что равенство неверное, так как система уравнений решений не имеет.

Ответ: нет точек пересечения, так как прямая параллельна плоскости.

Подробнее этот способ будет рассмотрен на примерах, приведенных ниже.

Для решения системы, необходимо произвести подстановку. Тогда получаем, что

Источник

Точка пересечения прямой и плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямой и плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости задайте вид уравнения прямой («канонический» или «параметрический» ), введите данные в уравнения прямой и плоскости и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Точка пересечения прямой и плоскости − теория, примеры и решения

1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямая L₁:

,

(1)

Найти точку пересечения прямой L₁ и плоскости α (Рис.1).

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (2), (5), (6) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого в уравнении (2) переведем свободный член в правую часть уравнения и запишем эту систему в матричном виде:

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (2), (5), (6)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или на примерах ниже. Если система линейных уравнениий (7) несовместна, то прямая L₁ и плоскость α не пересекаются. Если система (7) имеет множество решений, то прямая L₁ лежит на плоскости α. Единственное решение системы линейных уравнений (7) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямой L₁ и плоскости α.

Замечание. Если прямая задана параметрическим уравнением, то уранение прямой нужно приводить к каноническому виду и применить метод, описанный выше, или же

2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L₁ в параметрическом виде:

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L₁ и плоскости α можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямой L₁ к каноническому виду.

Для приведения уравнения (8) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

Так как левые части уравнений (10) равны, то можем записать:

Далее, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α решим совместно уравнения (8) и (9). Из уравнений (8) подставим x, y, z в (9):

(13)

Откроем скобки и найдем t:

Если числитель и знаменатель в уравнении (14) одновременно равны нулю, то это значит, что прямая L₁ лежит на полскости α. Если в уравнении (14) числитель отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, то прямая и плоскость параллельны.

Если же числитель и знаменатель в уравнении (14) отличны от нуля, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Для нахождения координат точки пересечения прямой L₁ и плоскости α подставим полученное значение t из (14) в (8).

3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой L₁:

Представим уравнение (15) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (17) и (18):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (19) и (20). Для этого переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (19) и (20):

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −7/3:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 4/3:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −3/2:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 1/2:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Ответ. Точка пересечения прямой L₁ и плоскости α имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямой L₁:

Представим уравнение (22) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (24) и (25):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (26) и (27). Переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (26) и (27):

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для этого построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 6/5:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на −1/5:

Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:

Легко можно заметить, что последнее уравнение в (29) несовместна, так как несуществуют такие x, y, z чтобы выполнялось это равенство. Следовательно система линейных уравнений (2), (26) и (27) несовместна. Тогда прямая L₁ и плоскость α не пересекаются, т.е. они параллельны.

Ответ. Прямая L₁ и плоскость α параллельны, т.е. не имеют общую точку.

Пример 3. Найти точку пересечения прямой в параметрическом виде L₁:

Решение. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α нужно найти такое значение t, при котором точка M(x, y, z) удовлетворяет уравнению (31). Поэтому подставим значения x, y, z из (30) в (31):

Упростив уравнение, получим:

Как видим, любое значение t удовлетворяет уравнению (33), т.е. любая точка на прямой L₁ удовлетворяет уравнению плоскости α. Следовательно прямая L₁ лежит на плоскости α.

Ответ. Прямая L₁ лежит на плоскости α.

Источник