в какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение как определить
В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение как определить
Задача: Дан график производной функции 
. Определить, в какой точке отрезка 
функция принимает наибольшее значение.
Решение:
Отбросим лишнее (оставим на чертеже только отрезок )
Требуется определить точку, в которой функция принимает наибольшее значение.
Замечание 1: Вторая теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Замечание 2: Это наибольшее и наименьшее значение она достигает или внутри отрезка или на его границах.
Замечание 3: В точке максимума производная функции равна нулю и меняет свой знак с плюса на минус.
В этом случае есть две точки, в которых производная равна нулю, но только при 
этот график переходит из верхней полуплоскости в нижнюю (т.е. производная меняет свой знак с «+» на «-»).
Вывод: — точка максимума функции 
на отрезке .
Ответ: в точке функция достигает своего наибольшего значения на отрезке
Замечание:
А зачем, собственно говоря, в условии задачи дано ограничение на рассматриваемый отрезок? И почему именно ?
Рассмотрим и проанализируем отрезок 
.
2) в точке 
производная равна 0 и меняет свой знак с «-» на «+», т.е. функция имеет в этой точке минимум.
4) в точке производная равна 0 и меняет свой знак с «+» на «-», т.е. функция имеет в этой точке максимум.
5) на отрезке 
производная отрицательна, т.е. функция убывает.
Построим пример графика, удовлетворяющий пунктам 1) — 6).
В данном случае наибольшее значение функция принимает наибольшее значение на границе интервала в точке 
, а не в точке максимума .
Только по графику производной сравнивать значение функции практически невозможно, поэтому и взят интервал , на котором функция сначала возрастает, а потом убывает, т.е. думать особо не надо.
Задача: Дан график производной функции . Определить, в какой точке отрезка 
функция принимает наибольшее значение.
Решение:
Замечание: дан график ПРОИЗВОДНОЙ.
На рассматриваемом отрезке производная всюду отрицательна (лежит ниже оси ОХ ), т.е. функция всюду убывает на этом отрезке, типа вот такого:
Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в левой точке рассматриваемого отрезка.
Ответ: Функция , определенная на отрезке принимает наибольшее значение в точке 
Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников
7. График производной и наименьшее значение функции на отрезке (24.09.2013)
На рисунке изображен график y = f'(x) производной функции f(x), определённой на интервале (-3; 8). В какой точке отрезка [-2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение? 
Отметим отрезок [-2; 3] на оси ох. Как ведёт себя на отрезке производная? Она имеет свои максимумы, минимумы и всевозможные изгибы, но это неважно. 
Важно лишь то, что производная на интервале (-2; 3) отрицательна. Поведение функции зависит от знака производной. Если производная отрицательна, то функция убывает. 
Так как функция на отрезке [-2; 3] монотонно убывает, то своё наименьшее значение она достигает в правом конце отрезка, т.е. в точке 3. Ответ: 3
Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 68116
Комментарии к этой задаче:
Комментарий добавил(а): Олег Александрович
Дата: 2013-09-25
Поведение функции зависит от знака производной
Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-09-25
Хорошо, Олег Александрович, пусть будет так)
Комментарий добавил(а): Маргарита
Дата: 2015-04-01
Комментарий добавил(а): Павел
Дата: 2015-01-11
Комментарий добавил(а): Катя
Дата: 2015-03-24
Комментарий добавил(а): алёна
Дата: 2016-09-24
а если наименьшее значение функции на отрезке [4;7]?
Комментарий добавил(а): Илья
Дата: 2015-09-12
В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение как определить
Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).
Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].
Тем самым, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].
Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума хmin = 3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).
Тем самым, наименьшего значения функция f достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетовряющих условию, приведён на рисунке.
Примечание Б. М. Беккера (Санкт-Петербург).
Непрерывность функции на концах отрезка существенна. Действительно, если бы функция f имела в точке 5 разрыв первого рода (см. рис.), значение f (5) могло оказаться меньше значения f (3), а тогда наименьшим значением функции на отрезке [−5; 5] являлось бы значение функции в точке 5.
Примечание портала РЕШУ ЕГЭ.
Мы были удивлены, обнаружив это задание в экзаменационной работе досрочного ЕГЭ по математике 28.04.2014 г. Это непростое задание отсутствует в Открытых банках заданий, что, несомненно, оказалось неприятным сюрпризом для выпускников.
Примечание Александра Ларина (Москва).
В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу — ответ-то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается 🙂 А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет.
В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение как определить
На рисунке изображен график производной функции 
определенной на интервале 
В какой точке отрезка 
принимает наибольшее значение?
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
На рисунке изображён график 
— производной функции определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция принимает наибольшее значение?
На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.
В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение как определить
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
В какой точке отрезка 
принимает наибольшее значение?
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
На рисунке изображён график — производной функции определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция принимает наибольшее значение?
На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.