в каком квадранте находится комплексное число z a ib
Элементы теории функций комплексного переменного
Дата добавления: 2014-04-22 ; просмотров: 1422 ; Нарушение авторских прав
Третья форма записи комплексного числа – тригонометрическая, так как e ± i j = cosj ± isinj, z = Mcosj ± iMsinj.
Cоставляющие комплексного числа связаны между собой следующими соотношениями 
; a=Mcosj; b=Msinj.
При вычислении фазы (аргумента) числа необходимо учитывать, в каком квадранте находится точка z (рис. 6.3).
Рис. 6.3 Определение фазы в зависимости от расположения
I квадрант: 
;
II квадрант: 
;
III квадрант: 
;
IV квадрант: 
.
Над комплексными числами проводят те же алгебраические операции, что и над действительными. Сложение и вычитание удобнее проводить над комплексными числами, записанными в алгебраической форме:
а умножение и деление над числами показательной форме
;
.
Если аргумент функции – комплексное число, то функция является функцией комплексного переменного. Функцией комплексного переменного называется некоторый оператор (правило), согласно которому точке одной плоскости комплексного переменного ставится в соответствие точка другой плоскости комплексного переменного.
Комплексные числа
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
Аналогично выполним вычитание чисел:
Выполнить умножение и деление комплексных чисел:
Так, теперь разделим первое число на второе:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:
Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Вычисляем значение модуля:
Найдем чем равен аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$
Записываем в тригонометрическом виде:
Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:
Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:
Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:
Помощь в дистанционном обучении
Решение тестов, помощь в закрытии сессии студентам МОИ, Синергии, ГТЕП, Витте, Педкампус, Росдистант
Теория автоматического управления тест Синергии и МОИ
Тест Синергии и Московского Открытого Института «Теория автоматического управления» Цена 250р.
Особенности спектральных свойств периодических сигналов:
Выберите один или несколько ответов:
с уменьшением длительности импульсов τ при T=const амплитуды гармоник увеличиваются
спектры всегда непрерывны
с уменьшением длительности импульсов τ при T=const амплитуды гармоник уменьшаются
спектры всегда дискретны
Математическое представление сигналов, когда выходной сигнал квантован, как по времени, так и по уровню, относится к
Выберите один ответ:
Между периодом и угловой скоростью гармонического сигнала справедливо соотношение:
Выберите один ответ:
Функцией Хевисайда 1(t) называется функция x(t), отвечающая следующим условиям:
Выберите один или несколько ответов:
x(t) = 1(t) = 1, при t ≥ 0
x(t) = 1(t) = 0, при t Запись опубликована 19.06.2021 автором reshenie-testov-mti в рубрике Тесты МТИ(МОИ).
Теория автоматического управления тест Синергии и МОИ : 4 комментария
Сдавал 2 раза, осталась последняя попытка. Ответы точно совпадут?
В каком квадранте находится комплексное число z a ib
Формула
Примеры решения
Комплексное число состоит из действительной и мнимой части:
Поэтому применяя основную формулу имеем:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Решение задач от 20 руб
подробное написание Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю:
Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике,предназначенный прежде всего для учеников старших классов с углубленнымизучением математики, интересующихся точными науками. Он также будетполезен преподавателям математики и студентам, изучающим математикув высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в вузы. Основу сборника составляют задачи к курсу алгебры, который в 1995-2000 годах читался в школе-интернате им. А.Н. Колмогорова.
Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
Решение тестов, помощь в закрытии сессии студентам МОИ, Синергии, ГТЕП, Витте, Педкампус, Росдистант
Особенности спектральных свойств периодических сигналов:
с уменьшением длительности импульсов τ при T=const амплитуды гармоник увеличиваются
спектры всегда непрерывны
с уменьшением длительности импульсов τ при T=const амплитуды гармоник уменьшаются
спектры всегда дискретны
Математическое представление сигналов, когда выходной сигнал квантован, как по времени, так и по уровню, относится к
Выберите один ответ:
Между периодом и угловой скоростью гармонического сигнала справедливо соотношение:
Выберите один ответ:
Функцией Хевисайда 1(t) называется функция x(t), отвечающая следующим условиям:
x(t) = 1(t) = 1, при t ≥ 0
Записываем в тригонометрическом виде:
Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:
Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:
Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:
Решение задач от 20 руб
подробное написание Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
В каком квадранте находится комплексное число z a ib
где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Числа z = x + iy и 
называются комплексно сопряженными.
Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.
Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора 
, изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем
Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле
Аргумент определяется из формул:
Используя формулу Эйлера
комплексное число 
можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме
где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол 
( k =0;–1;1;–2;2…).
Пример 7.1. Записать комплексные числа 
в тригонометрической и показательной формах.
На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.
Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,
Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:
(7.13) называется первой формулой Муавра.
Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби 
на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.
Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:
Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.
Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение
На основании формулы (7.14) вычислим их частное
Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:
Аналогично, для z 2 можно записать:
По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:
Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:
в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).
(7.18) называется второй формулой Муавра.
Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.
Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами
Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.