в каком классе учат проценты

Математика. 6 класс

Конспект урока

Понятие о проценте

Перечень рассматриваемых вопросов:

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Одну сотую часть числа (величины) называют процентом этого числа (величины).

Процентом называют сотую часть целого, принимаемого за единицу.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Каждый из вас, наверное, слышал такие фразы: «Мне дали премию в размере 30 процентов», «Какие красивые сапоги – и со скидкой 50 процентов», «За второго участника проголосовало 80 процентов наших зрителей». Можно догадаться, что понятие процента как-то связано с частью чего-либо целого. На этом занятии мы познакомимся с определением процента, научимся находить заданное количество процентов от величины и разберём способы решения задач на проценты.

Одну сотую часть числа (величины) называют одним процентом этого числа (величины).

Ещё одно определение:

Найдём 1 % от 400 м.

Воспользуемся определением процента:

Ответ: 1 % от 400 м равен 4 м.

Найдите 25 % от 144 л молока.

Найдём, чему равен один процент от всего молока:

Решим задачу с помощью пропорции.

Большее количество литров соответствует большему количеству процентов, имеем прямо пропорциональную связь.

Икс является средним членом пропорции, для его нахождения нужно найти произведение крайних членов и разделить на известный средний член.

Найти число, 1 % которого равен 11.

Так как 1 % числа равен 11, то само число в 100 раз больше:

Ответ: это число 1100.

Найдите число, 42 % которого равны 147.

Ответ: это число 350.

Разбор заданий тренировочного модуля

Источник

Репетитор по математике о работе с процентами в 5 классе

П роценты застуживают отдельного внимания, несмотря на то, что занимается ими репетитор по математике не часто. В 6 классе изучение этой темы «благополучно» заканчивается и вплоть до 11 класса не возобновляется. После такого вакуума, особенно когда когда подготовка к ЕГЭ по математике принимать пожарный характер, преподавателю бывает очень сложно собрать ученика. Масла в огонь добавляю хитрые условия задач, мешающие вести соответствующую классификацию по ЕГЭ вариантам. Поэтому все внимание репетитора математики приковывается к методике работы с маленькими учениками, о которой и поговорим.

Стоит напомнить, что проценты изучаются по разным учебникам в разное время. В Петерсоне, например, они впервые возникают аж в 4 классе, а в Виленкине только в конце пятого. Разные способности учеников диктуют репетитору по математике разные методы работы с темой, разную скорость движения по типовым задачам, а отличия в программах обязывают еще и придерживаться разной последовательности изложения. Поэтому писать о практических приемах работы репетитора непросто. Я не хотел бы в статье затрагивать все пути, по которым репетитор мог бы пойти. Все зависит от ситуации по каждому конкретному ученику. Опишу один из возможных подходов к работе с темой.

Практика показывает, что детям тяжело дается переключение на новую тему, если она не связана с каким-то прочно усвоенным навыком или зрительным образом. Репетитор по математике, как представляется мне, должен постараться максимально сгладить этот переход и так подстроиться методически, чтобы у ребенка не возникало ощущения этой новизны.

Что такое задачи на проценты? Те же самые задачи на дроби. И если ребенок с последними справляется, то почему бы репетитору не опереться на имеющуюся базу для органичного и относительно незаметного введения нового понятия.

Методика репетитора математики

Обычно я объясняю так: Для того, чтобы точнее измерить часть целого предмета его приходится разрезать на очень большое количество мелких кусочков. Поэтому в знаменателях появляются большие числа и часто там располагается 100.
Математикам надоело выводить одни и те же нули с единицей в записи таких дробей, рисовать черту и прыгать из числителя в знаменатель. Проще вести записи в строчку. Поэтому договорились не писать вообще сотню совсем, а вместо нее указывать знак %.

Что такое знак процента? Та же единичка и два нуля, только переместавленные. Например, запись 35% — ни что иное, как условное обозначение дроби . Поэтому, как только мы увидим в задаче число со знаком %, мы сразу же переведем его в привычную дробь. И всё.

При таком подходе к процентам репетитор по математике уводит их в тему «задачи на части». Можно не находить 1 процент в явном виде, а пользоваться приемами нахождения части от целого (и целого по части) через выполнения двух операций в одну строчку: делим на знаменатель и умножение на числитель (или наоборот: делим на числитель и умножаем на знаменатель). Репетитор проводи несколько занятий на отработку этого правила. Оформление в краткой записи обычно такое:

Если навык нахождения частей имеется – ребенку не составит труда какое-то время поработать с процентами без дополнительных объяснений репетитора. Краткая запись аналогичной задачи не меняется и на новом материале успешно закрепляется старый: В магазин привезли 200кг фруктов, а продали 35% всех фруктов. сколько килограммов фруктов продали.

В 6 классе я рекомендую рядом с колонкой для частей добавлять колонку для процентной записи. В той же задаче это выглядело бы вот так:

Такой вид краткой записи поможет репетитору по математике представить перед учеником полную картину всех измерений величин. Это важно для сложных задач. Если какая-нибудь величина оказывается равной сумме других, то найти ее можно выполняя сложение как в процентах, так и в частях.

Единственная проблема, которая может возникнуть у репетитора математики в 5 классе, связана нахождением количества самих процентов. Например: в магазин завезли 200кг картофеля, а продали 40кг. Сколько процентов привезенного картофеля продали?

Без прямого нахождения веса 1% (или без чертежа с долями) репетитор не сможет объяснить, что = 20%, так как тему «отношения» и «сокращание дробей» проходят только в 6 классе.

В работе со слабым учеником репетитор математики иногда вынужден жертвовать отдельными частями материала и идти на компромисс между программными требованиями и возможностями конкретного ученика. В таком случае уверенное выполнение часто используемых операций более важно, чем полный охват материала. Задач на поиск самих процентов не так много. В 6 классе тема будет изучена более полно и широко – там и развернемся. А в 5 классе (если репетитор по математике занят слабым учеником) я бы советовал убрать тему из программы. Лучше иметь синицу в руках, чем журавля в небе.

Надо сказать, что описанный метод не является панацеей для преподавателя на все случаи обращений к нему, более того, он не является наилучшим и перспективным с точки зрения развития ученика. Все-таки методика с долями и частями на рисунках, схемах, с выделением 1 процента как отдельного персонажа является более предпочтительной, но требуют других временных условий и большего мастерства репетитора по математике в плане аккуратности и точности словесного описания этих рисунков.

Подбор арифметических действий в таком случае оказывается более запутанным и их туманным. Приходится рассчитывать на способность ребенка моделировать математические процессы в уме или на бумаге, выделять общие правила их измерений и применять свойства одних объектов к другим. Определенная вариативность (для некоторых учеников) идет только на пользу, ибо представляет собой весьма эффективное средство для активизации мышления. Ребенок ставится в условия, когда он вынужден думать и каждый раз вспоминить что же такое процент. Если репетитор видит неспособность вести такую деятельность – приходится использовать прием кратких записей.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике 5 класс, Москва

Источник

Класс: 5

Презентация к уроку

Класс: 5

Продолжительность: 45 минут

Тип урока: объяснение и первичное закрепление учебного материала.

Технологии: учебная мультимедийная презентация.

Оборудование: проектор с экраном для демонстрации презентации, компьютер.

План урока:

1. Организационный момент. (2 мин)

2. Актуализация опорных знаний (5 мин)

3. Работа по теме урока (20 мин)

4. Физкультминутка (2 мин)

5. Самостоятельная работа (9 мин)

6. Заключение (5 мин)

7. Подведение итогов урока (2 мин)

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (2 мин.)

Проверка готовности к уроку. Объявление темы и цели урока.

Будь внимательней дружок,
Начинаем мы урок
Посмотрите все ль в порядке:
Книжка, ручка и тетрадка.
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
Каждый хочет получать
Только лишь оценку “5”.

— Здравствуйте, ребята! Сегодняшний урок я хочу начать словами французского философа

Ж. Ж. Руссо (1712-1778): “Вы талантливые дети! Когда-нибудь вы сами приятно поразитесь, какие вы умные, как много и хорошего умеете, если будете постоянно работать над собой, ставить новые цели и стремиться к их достижению…” (СЛАЙД 7)

Я желаю вам сегодня удачи. Вы готовы к работе?

II. Актуализация опорных знаний.

1.Устные упражнения. (СЛАЙД 8)

Чтобы узнать тему нашего урока вы должны правильно выполнить вычисления и вписать в таблицу буквы, соответствующие найденным ответам. Расположите в порядке убывания.

— Итак, ребята, тема сегодняшнего урока – “Проценты”. Это универсальная величина, которая появилась из практической необходимости измерения различных величин. Она очень важная в курсе математики. В этом году мы начнём эту тему. В 6-ом классе мы к ней вернёмся при изучении пропорций.

— Ребята, как вы думаете, где в повседневной жизни встречаются проценты?

— можно услышать, например, что, в выборах приняли участие 45% избирателей;

— при получении кредитов;

— рейтинг победителя хит-парада 78%;

— успеваемость в классе 100%;

— молоко содержит 5 % жира;

— материал содержит 97% хлопка и т.д.

А также в повседневной жизни встречается очень много задач на нахождение процентного отношения чисел. Полученные знания на уроках математики вам помогут в дальнейшем при решении задач по физике, по химии. При сдаче ЕГЭ дают текстовые задачи на проценты. Поэтому наша цель, научиться решать уже сейчас, и в дальнейшем применять полученные знания.

Повторение изученного материала

Правило умножения десятичной дроби на 100;

Правило деления десятичной дроби на 100;

Вопросы: (СЛАЙД 9-10)

1) Сколько килограммов в одном центнере? Какую часть центнера составляет 1 кг?

2) Сколько сантиметров в одном метре? Какую часть метра составляет 1 см?

3) Сколько ар в одном гектаре? Какую часть гектара составляет 1 а?

Учащиеся дают ответы, на экране появляются записи.

1 ц=100 кг;

1 м=100 см;

1 га = 100 а;

Записывают в тетради.

III. Работа по теме урока

1. Объяснение материала

— Ребята, мы рассмотрели соотношения некоторых единиц измерения, которые связаны с одной сотой частью.

Сотая часть любой величины принято называть процентом. (СЛАЙД 11-12)

Предлагается ученикам найти определение процента в учебнике, прочитать и запомнить. В тетради записывается:

История возникновения процента

В Европе проценты появились на 1000 лет позже. Их ввел бельгийский ученый Симон Стевин, который в1584 году впервые опубликовал таблицы процентов.

Первичное закрепление материала

Задание 1. (СЛАЙД 13)

Задание 2. (СЛАЙД 14)

Учитель: Итак, что нужно делать, чтобы десятичную дробь выразить в процентах или проценты представить в виде десятичной дроби?

Выводы: (отвечают ученики)

1) Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо её умножить на 100.

2) Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Находят эти правила в учебнике.

3. Решение примеров по учебнику

Два ученика по очереди на доске показывают решения.

Решаем задачи (условия задач на экране)

Задача 1. (Слайд 15)

За контрольную работу по математике отметку “5” получили 12 учеников, что составляет 30 % всех учеников. Сколько учеников в классе?

Задача 2. (Слайд 16)

Вини-Пух пошел в лес за медом. Он набрал 4.2 кг меда. По дороге домой Вини-Пух съел 30% меда. Сколько кг меда съел Вини-Пух?

Задача 3. (Слайд 17 )

Из 1800 га колхозного поля 558 га засеяно ячменем. Какой процент поля засеян ячменем?

V. Самостоятельная работа учеников

1. Заполнить таблицу (Слайд 19)

2. Решить задачу. (Слайд 20)

Кролик посадил у себя в саду 250 луковиц тюльпанов красного цвета. Но 8% тюльпанов выросло желтыми. Сколько тюльпанов оказалось желтым?

Учащиеся обмениваются тетрадями, проверяют работы, выставляют оценки.

VI. Заключение. Рефлексия

— Оцените свою работу на уроке. Удовлетворены ли вы результатом своей работы?

Итак, ребята, сегодня мы с вами ознакомились с понятием процента. Выяснили, где он применяется. Научились обозначать эту величину, выражать десятичную дробь в процентах и процент представлять в виде десятичной дроби. Рассмотрели, как решаются простейшие задачи на проценты.

Самостоятельная работа показала, как вы усвоили и закрепили этот материал. На следующих уроках мы с вами будем решать более сложные задачи на проценты.

VII. Подведение итогов урока (СЛАЙД 21)

Выставляются оценки за активную работу на уроке, все получают оценку за тест.

Домашнее задание.

— Выучить определение и правила.

Решить № 1598, 1599, 1612(а).

Литература.

1. Попова Л.П, Поурочные разработки по математике: 5 класс. – М.ВАКО: Учителю, 2009.

2. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др. Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2006.

Источник

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Приступив к теме, изучающей проценты, мы осознаем, что они «преследуют» нас не только в школе, но и в обычной жизни, а именно: дома, магазине, больнице, на заправочных станциях, в банках, в интернете и т. д.

Исходя из истории, слово процент происходит от латинского слова procentum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Еще в древности у вавиловян появилась идея, вызванная практическими соображениями, выражения частей целого в одних и тех же долях. Множество задач изображенных на клинописных табличках, отображают исчисление процентов. Наиболее распространенное использование проценты получили в Древнем Риме. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Тема проценты – является одной из самых трудных тем для пятиклассников. Это объясняется тем, что понятие процента не является только математическим, а относится к терминам экономики. Например, в учебнике Виленкина Н.Я., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.И. и Жохова В.И. дается следующее определение процента: «Процентом называют одну сотую часть числа».

Проценты встречаются ученикам не только на уроках математики, они так же тесно связаны с такими дисциплинами как: физика, химия, география, биология и т. д.. В связи с этим знание и изучение темы «Проценты» является неотъемлемой частью математики, именно в 5 классе.

Рассмотрим подборку типовых задач на проценты.

Тип 1: Находим процент от числа.

Задача. За месяц на металлургическом предприятии изготовили 200 автомобильных пружин. 40% изготовленных пружин не смогли пройти контроль качества. Сколько автомобильных пружин не прошло контроль качества?

Решение. Нужно найти 40% от общего количества изготовленных пружин, 200 * 40% =200 * 0,4 =80.

Ответ: 80 пружин из общего количества изготовленных контроль не прошли.

Тип 2: Находим число по его проценту.

Задача. Готовясь к уроку, школьник решил 13 задач из учебника. Что составляет 13% числа всех задач в учебнике. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?

Решение. Мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но зато нам известно, что 13 задач составляют 13% от общего их количества. Запишем 13% в виде дроби: 0,13. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого:

13 / 0,13 = 13 * 100 / 13 = 100 задач составляет 13% от всех задач учебника.

Далее, найдем, сколько задач составят 100%.

100 задач – 13%, следовательно:

Х = 769 задач всего, собрано в учебнике

Ответ: Именно 769 задач собрано в учебнике.

Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).

Задача. В классе 40 учеников. 16 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?

Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%.

Решение: 16 / 40*100% = 40%

Ответ: 40 % в классе составляют девочки.

Тип 4: Увеличиваем число на процент.

Задача. На экзамене по математике 120 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 17%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?

Решение. Если некое число, а увеличено на Х %, то оно увеличилось в

(1 + Х /100) раз. Откуда а * (1 + Х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ:

120 * (1 + 17/100) = 140

Ответ: 140 человек в этом году получили пятерки

Тип 5: Уменьшаем число на процент.

Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?

Решение: Если число а уменьшено на Х % и при этом 0 ≤ Х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – Х / 100) раз. И нужное нам число находим по формуле

Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ:

100 * (1 – 25 / 100) = 75.

Ответ: 75 выпускников в этом году

Тип 6: Задачи на простые проценты.

Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?

Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как Х % и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * Х / 100).

Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.

Ответ: 14000 рублей родители заплатят банку через год

Тип 7: Задачи на сложные проценты.

Задача. Сумма кредита составляет 25000 рублей, взятых под 15% сроком на 3 месяца. Узнайте, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.

В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + Х / 100) у.

Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100) * 3 = 38021,875 – искомая сумма.

В заключении можно сказать, что тема изучения задач на проценты не так сложна, как кажется. Что бы быстрее понять и освоить эту тему, нужно приложить не много усилия, трудолюбия, а так же внимательно послушать учителя. Удачи!

Источник

Изучение процентов в школьном курсе математики

«Изучение процентов в школьном курсе математики»

учитель школы № 436 Петродворцового района

Сивацкая Ирина Михайловна

Практикум: «Изучение процентов в школьном курсе математики»

1. Понятие процента

2. Решение простейших задач на проценты. Три типа задач и три способа их решения

3. Решение более сложных задач на проценты:

— задача, решаемая с помощью линейного уравнения

— задача, решаемая с помощью квадратного уравнения

— задачи, решаемые с помощью системы уравнений

— задача, решаемая с помощью алгебраических выражений

— задача с комбинированным решением

— задача, решаемая логическими рассуждениями

Проценты – это одна из основных тем курса математики 5 и 6 классов, поэтому нужно довести у каждого ученика до навыка решение трех типовых задач:

1) нахождение процентов от числа

2) нахождение числа по его процентам

3) нахождение процентного отношения.

Вводить понятие проценты необходимо с опорой на имеющийся опыт учащихся. Прежде всего, нужно вызвать интерес у учащихся к теме. Для этого можно, например, взять на урок газету или журнал и прочесть и прочесть несколько фраз со словом проценты, т. е. показать, что проценты часто встречаются в нашей жизни.

После этого можно начать подведение под понятие:

1) Найти от 5м; 200кг; 40дм; 3ц.

Найти от 5м; 200кг; 40дм; 3ц.

2) Уменьшить число 300 на его.

Уменьшить число 300 на его.

Эти задачи не только подведут под понятие, но подготовят к решению задач на проценты.

В этих задачах мы искали сотые доли, Сотые доли часто встречаются в жизни, например, 1см = м, 1кг = ц. Для сотых долей ввели особое обозначение: =1%, = 23%.

После введения понятия дать детям задание, прочитать задачи, решаемые устно, со словом процент и пояснить как они его искали.

В определение процента целесообразно добавить слова: «Процентом называется сотая доля числа, записанная особым образом».

Затем дать учащимся предложения со словом процент, чтобы они объяснили смысл этих предложений. Например:

— огурец содержит 95% воды

— зарплата повысилась на 20%

— цены повысились на 100%

2. Решение простейших задач на проценты

Первоначально сводить все задачи к нахождению 1%, чтобы добиться понимания, а не механического запоминания.

Задача 1. (Нахождение процентов от числа)

Из молока получается 24% сливок. Сколько получится сливок из 120 кг молока?

Проанализировать задачу, чтобы дети понимали, что сливки – это часть молока, значит, все молоко – 100%.

Сделать краткую запись задачи, которая в дальнейшем пригодится для пропорций:

1) 120 : 100 = 1,2 (кг) – 1% молока

2) 1,2 · 24 = 38,8 (кг) – получится сливок

Задача 2. (Нахождение числа по его процентам)

Из пшеницы получили 80% муки. Сколько взяли пшеницы, если муки получили 640 кг?

1) 640 : 80 = 80 (кг) – 1% муки

2) 80 · 100 = 800 (кг) – взяли пшеницы

Задача 3. (Нахождение процентного отношения)

В 200 кг сливочного мороженого содержится 30 кг сахара. Какого процентное содержание сахара в мороженом?

Мороженое: 200 кг – 100%

1) 200 : 100 = 2 (кг) – 1% мороженого

(т. е. смотрим сколько раз 1% содержится в 30 кг)

После изучения всех трех типов задач просить учащихся после решения составить обратные задачи. Это помогает им лучше разобраться, где все число, а где его часть.

Свести задачу на проценты к нахождению дроби от числа, числа по заданной дроби или отношения. При этом достаточно перевести проценты в дробь или наоборот.

Решение задачи 1 (задачу см. выше):

2) 120 · 0,24 = 38,8 (кг)

Решение задачи 2 (задачу см. выше):

Решение задачи 3 (задачу см. выше):

Использовать пропорцию. При решении задач I способом мы учили детей правильно составлять краткое условие, по нему легко составить пропорцию, заменив знак вопроса неизвестным, обозначенным буквой, а дальше только умение работы с пропорцией.

Таким образом, тема проценты в курсе 5-6 класса прокручивается 3 раза. При решении задач необходимо все время подчеркивать число, которое мы принимаем за 100%.

Необходимо обратить внимание детей, что если мы число уменьшили на n%, а потом увеличили результат на n%, то мы не получим первоначального числа, т. к. 1% в этих случаях будет неодинаков (мы его ищем от разных чисел). Аналогично, если число увеличили на n%, а потом еще на m%, то это не значит что оно увеличено на (n +m)%.

Так же разные ответы имеют вопросы : «На сколько процентов число a больше числа b?» и «На сколько процентов число b меньше числа a?», т. к. 100% будет то число, с которым мы сравниваем. Например, число 20 меньше числа 40 на 50%, а число 40 больше числа 20 на 100%.

3. Решение более сложных задач на проценты

В курсе 7-11 класса практически отсутствуют задачи на проценты, а на ЕГЭ и ГИА они встречаются. Так как более сложные задачи можно решать с помощью уравнений и систем уравнений, то их необходимо включать в курс алгебры при изучении данных тем.

Задача 1. (решаемая с помощью уравнения, сводимого к линейному)

В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

Пусть x г весь первоначальный раствор, тогда

0.4x г – соли в первоначальном растворе,

(x + 120) г – стало раствора,

(0,4x + 120) г – стало соли в растворе, которая теперь составляет 70% раствора, т. е. 0,7 от всего раствора, составляем уравнение:

0,4x +120 = 0,7(x + 120), решив которое получим

Задача 2. (решаемая с помощью уравнения, сводимого к квадратному)

В сплаве золота с серебром содержится 80 г золота. К сплаву добавили 100 г чистого золота. Содержание золота в сплаве повысилось на 20%. Сколько серебра было в сплаве?

Источник