в каком классе проходят вектор
Векторы в школьном курсе математики
ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»
Учитель Математики Высшей категории
Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?
А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».
Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.
Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:
Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или
До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.
Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.
А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:
Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле
Для сложения векторов есть два способа.
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.
При сложении векторов и получаем:
Умножение вектора на число
Скалярное произведение векторов
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче С2 нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача С2 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе вуза. )))
Программа курса по выбору по геометрии 11 класс » Векторы и координаты. Тела вращения»(11 класс)
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Векторы и координаты. Тела вращения.
Данная программа разработана для учащихся 11 класса и предназначена для использования в базисном учебном плане, как курсы по выбору.
Основное содержание материала соответствует ФГОС среднего образования. По некоторым темам материал расширяется и дополняется за счёт материала для углублённого изучения математики. Материал программы может быть использовать при подготовке обучающихся к успешному выполнению задания повышенного и высокого уровня на ЕГЭ.
· Усвоение, углубление и расширение математических знаний;
· Интеллектуальное, творческое развитие обучающихся; закрепление устойчивого интереса к предмету;
· Приобщение к истории математики как части общечеловеческой культуры;
· Развитие информационной культуры.
· Обеспечение достаточно прочной базовой математической подготовки, необходимой для продуктивной деятельности в современном информационном мире;
· Овладение определенным уровнем математической и информационной культуры.
Курс рассчитан на 34 часа, один урок в неделю.
1. знакомство с фактами, иллюстрирующими важные этапы развития математики
2. способность к эмоциональному восприятию математических объектов, рассуждений, решений задач, рассматриваемых проблем;
3. умение строить речевые конструкции (устные и письменные) с использованием изученной терминологии и символики, понимать смысл поставленной задачи. Осуществлять перевод с естественного языка на математический и наоборот.
1. умение планировать свою деятельность при решении учебных математических задач, видеть различные стратегии решения задач, осознанно выбирать способ решения;
2. умение работать с учебным математическим текстом (находить ответы на поставленные вопросы, выделять смысловые фрагменты);
3. умение проводить несложные доказательные рассуждения, опираясь на изученные определения, свойства, признаки; распознавать верные и неверные утверждения; иллюстрировать примерами изученные понятия и факты; опровергать с помощью контрпримеров неверные утверждения;
4. умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, составлять несложные алгоритмы вычислений и построений;
5. применение приёмов самоконтроля при решении учебных задач;
6. умение видеть математическую задачу в несложных практических ситуациях.
— Владеть геометрическими понятиями при решении задач и проведении математических рассуждений;
— самостоятельно формулировать определения геометрических фигур, выдвигать гипотезы о новых свойствах и признаках геометрических фигур и обосновывать или опровергать их, обобщать или конкретизировать результаты на новых классах фигур, проводить в несложных случаях классификацию фигур по различным основаниям;
— исследовать чертежи, включая комбинации фигур, извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную на чертежах;
— решать задачи геометрического содержания, в том числе в ситуациях, когда алгоритм решения не следует явно из условия, выполнять необходимые для решения задачи дополнительные построения, исследовать возможность применения теорем и формул для решения задач;
— уметь формулировать и доказывать геометрические утверждения;
— владеть понятиями стереометрии: призма, параллелепипед, пирамида, тетраэдр;
— иметь представления об аксиомах стереометрии и следствиях из них и уметь применять их при решении задач;
— уметь строить сечения многогранников с использованием различных методов, в том числе и метода следов;
— иметь представление о скрещивающихся прямых в пространстве и уметь находить угол и расстояние между ними;
— применять теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве при решении задач;
— уметь применять параллельное проектирование для изображения фигур;
— уметь применять перпендикулярности прямой и плоскости при решении задач;
— владеть понятиями ортогональное проектирование, наклонные и их проекции, уметь применять теорему о трех перпендикулярах при решении задач;
— владеть понятиями расстояние между фигурами в пространстве, общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых и уметь применять их при решении задач;
— владеть понятием угол между прямой и плоскостью и уметь применять его при решении задач;
— владеть понятиями двугранный угол, угол между плоскостями, перпендикулярные плоскости и уметь применять их при решении задач;
— владеть понятиями призма, параллелепипед и применять свойства параллелепипеда при решении задач;
— владеть понятием прямоугольный параллелепипед и применять его при решении задач;
— владеть понятиями пирамида, виды пирамид, элементы правильной пирамиды и уметь применять их при решении задач;
— иметь представление о теореме Эйлера, правильных многогранниках;
— владеть понятием площади поверхностей многогранников и уметь применять его при решении задач;
— владеть понятиями тела вращения (цилиндр, конус, шар и сфера), их сечения и уметь применять их при решении задач;
— владеть понятиями касательные прямые и плоскости и уметь применять из при решении задач;
— иметь представления о вписанных и описанных сферах и уметь применять их при решении задач;
— владеть понятиями объем, объемы многогранников, тел вращения и применять их при решении задач;
— иметь представление о развертке цилиндра и конуса, площади поверхности цилиндра и конуса, уметь применять их при решении задач;
— иметь представление о площади сферы и уметь применять его при решении задач;
— уметь решать задачи на комбинации многогранников и тел вращения;
— иметь представление о подобии в пространстве и уметь решать задачи на отношение объемов и площадей поверхностей подобных фигур. Владеть понятиями векторы и их координаты;
— уметь выполнять операции над векторами;
— использовать скалярное произведение векторов при решении задач;
— применять уравнение плоскости, формулу расстояния между точками, уравнение сферы при решении задач;
— применять векторы и метод координат в пространстве при решении задач
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
Направленные отрезки. Векторы и их изображения направленными отрезками. Длина вектора. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. Признак коллинеарности. Составляющие вектора. Компланарные векторы. Признак компланарности. Базис. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Прямоугольные координаты в пространстве. Формула расстояния между точками. Координаты вектора. Радиус-вектор точки. Вычисление скалярного произведения. Вычисление угла между прямыми, между прямой и плоскостью.
Задание фигур уравнениями и неравенствами. Геометрическая интерпретация уравнений и неравенств из алгебры и анализа. Применение векторов и метода координат к решению задач.
3. Преобразования. Движения, подобие
Отображения. Движения пространства. Механическое и геометрическое движение. Общие свойства движений.
Векторы и параллельные переносы.
Зеркальная симметрия (отображение в плоскости).
Поворот вокруг оси. Фигуры вращения. Осевая симметрия. Подобие. Гомотетия.
Шар и сфера. Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере.
Цилиндр и конус. Осевые сечения цилиндра и конуса. Усечённый конус.
Конические сечения и их виды.
Определение объёма тела и площади поверхности в пространстве. Объём прямого цилиндра, конуса, шара.
Объём других тел вращения.
Объём и площадь поверхности параллелепипеда, призмы, пирамиды. Площадь поверхности шара, шарового сектора, шарового сегмента.
Площадь поверхности цилиндра, конуса.
6. Комбинации многогранников и тел вращения.
Комбинации с вписанными и описанными шарами: шар и призма, шар и пирамида, шар и тела вращения (цилиндр, конус, усечённый конус).
Другие комбинации многогранников и тел вращения.
Задачи на наибольшее и наименьшее значения, связанные с вписанными и описанными телами.
Направленные отрезки. Векторы и их изображения направленными отрезками. Длина вектора. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. Признак коллинеарности. Составляющие вектора. Компланарные векторы. Признак компланарности. Базис. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Прямоугольные координаты в пространстве. Формула расстояния между точками. Координаты вектора. Радиус-вектор точки. Вычисление скалярного произведения. Вычисление угла между прямыми, между прямой и плоскостью.
Задание фигур уравнениями и неравенствами. Геометрическая интерпретация уравнений и неравенств из алгебры и анализа. Применение векторов и метода координат к решению задач.
3. Преобразования. Движения, подобие
Отображения. Движения пространства. Механическое и геометрическое движение. Общие свойства движений.
Векторы и параллельные переносы.
Зеркальная симметрия (отображение в плоскости).
Поворот вокруг оси. Фигуры вращения. Осевая симметрия. Подобие. Гомотетия.
Шар и сфера. Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере.
Цилиндр и конус. Осевые сечения цилиндра и конуса. Усечённый конус.
Конические сечения и их виды.
5. Объёмы тел, площади поверхностей.
Определение объёма тела и площади поверхности в пространстве. Объём прямого цилиндра, конуса, шара.
Объём других тел вращения.
Объём и площадь поверхности параллелепипеда, призмы, пирамиды. Площадь поверхности шара, шарового сектора, шарового сегмента.
Площадь поверхности цилиндра, конуса.
6. Комбинации многогранников и тел вращения.
Комбинации с вписанными и описанными шарами: шар и призма, шар и пирамида, шар и тела вращения (цилиндр, конус, усечённый конус).
Другие комбинации многогранников и тел вращения.
Задачи на наибольшее и наименьшее значения, связанные с вписанными и описанными телами
1. Направленные отрезки. Векторы и их изображения направленными отрезками. Длина вектора. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
2. Коллинеарные векторы. Признак коллинеарности. Составляющие вектора. Компланарные векторы. Признак компланарности.
3. Базис. Разложение вектора по базису.
4. Скалярное произведение векторов и его свойства
5. Прямоугольные координаты в пространстве. Формула расстояния между точками. Координаты вектора. Радиус-вектор точки.
6. Вычисление скалярного произведения. Вычисление угла между прямыми, между прямой и плоскостью.
7. Задание фигур уравнениями и неравенствами. Геометрическая интерпретация уравнений и неравенств из алгебры и анализа.
8. Применение векторов и метода координат к решению задач.
9. Применение векторов и метода координат к решению задач.
10. Применение векторов и метода координат к решению задач.
11. Применение векторов и метода координат к решению задач.
12. Применение векторов и метода координат к решению задач.
13. Отображения. Движения пространства. Механическое и геометрическое движение. Общие свойства движений.
14. Параллельный перенос. Векторы и параллельные переносы.
15. Центральная симметрия. Зеркальная симметрия (отображение в плоскости).
16. Поворот вокруг оси. Фигуры вращения. Осевая симметрия. Подобие. Гомотетия.
17. Шар и сфера. Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере.
18. Цилиндр и конус. Осевые сечения цилиндра и конуса. Усечённый конус.
19. Конические сечения и их виды.
20. Определение объёма тела и площади поверхности в пространстве. Объём прямого цилиндра, конуса, шара.
21. Объём других тел вращения.
22. Объём и площадь поверхности параллелепипеда, призмы, пирамиды.
23. Площадь поверхности шара, шарового сектора, шарового сегмента.
24. Площадь поверхности цилиндра, конуса.
25. Комбинации с вписанными и описанными шарами: шар и призма
26. Комбинации с вписанными и описанными шарами: шар и призма
27. Комбинации с вписанными и описанными шарами: шар и пирамида
28. Комбинации с вписанными и описанными шарами: шар и пирамида
29. Комбинации с вписанными и описанными шарами: шар и тела вращения (цилиндр, конус, усечённый конус).
30. Комбинации с вписанными и описанными шарами: шар и тела вращения (цилиндр, конус, усечённый конус).
31. Другие комбинации многогранников и тел вращения.
32. Другие комбинации многогранников и тел вращения
33. Задачи на наибольшее и наименьшее значения, связанные с вписанными и описанными телами
34. Задачи на наибольшее и наименьшее значения, связанные с вписанными и описанными телами
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Геометрия. 9 класс
Некоторые физические величины, например, сила или скорость характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными: F ⃗ – сила, v ⃗ – скорость.
Дадим геометрическое определение вектора.
Вектором называется отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.
На чертежах вектор изображается отрезком со стрелкой, указывающей конец вектора. Вектор обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними. Первая буква обозначает начало вектора, вторая – конец.
Вектор можно обозначить и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней.
Длиной вектора называется длина отрезка, который изображает этот вектор. Для обозначения длины вектора используют вертикальные скобки.
Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется нулевым вектором. Нулевой вектор изображается точкой и обозначается двумя одинаковыми буквами или нулём со стрелкой над ним. Длина нулевого вектора равна нулю: |0 ⃗|= 0.
Введём понятие коллинеарных векторов. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.
Докажем, что от любой точки О можно отложить вектор, равный данному вектору р ⃗, и притом только один.
Доказательство:
1) Если р ⃗ – нулевой вектор, то ОО ⃗ = р ⃗.
2) Если вектор р ⃗ ненулевой, точка Р – начало этого вектора, а точка Т – конец.
Проведём через точку О прямую, параллельную РТ. На построенной прямой отложим отрезки ОА1 и ОА2, равные отрезку РТ.
Выберем из векторов ОА1 и ОА2 вектор, который сонаправлен с вектором р ⃗. На нашем чертеже это вектор ОА1. Этот вектор будет равен вектору р ⃗. Из построения следует, что такой вектор единственный.
Векторный метод в школьном курсе геометрии
Разделы: Математика
Традиционно одной из самых сложных тем школьного курса геометрии является тема “Векторный метод в решении задач”. В то же время понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики. Конец XIX и начало XX столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Будучи материалом математическим, векторный аппарат находит широкое применение в первую очередь в физике и других прикладных науках. Векторный метод является одним из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач, особенно в сочетании с координатным методом.
В данной работе рассмотрены основные свойства векторов, которые следует отнести к векторной алгебре. Приведена классификация задач и приемов их решения с использованием векторного метода.
Целью статьи является не столько пересказ учебного материала, отраженного во всех школьных учебниках геометрии, сколько акцентуация внимания на некоторых вопросах, которые вызывают наибольшую методическую трудность, вопросах, активизирующих мыслительную деятельность обучающихся, могущих послужить основой для небольших учебных исследований.
Термин вектор употребляют в геометрии по крайней мере в двух смыслах. С одной стороны, вектором называют направленный отрезок, с другой стороны, вектор понимают так, как понимают в физике “векторные величины”. Различают соответственно “конкретный вектор” – направленный отрезок и “абстрактный (или, как принято говорить, свободный) вектор”.
Направленным отрезком называют отрезок, у которого указан порядок концов, т.е. один конец назван началом, а другой конец – концом этого отрезка. Направленный отрезок называют вектором. Вообще, вместо векторов – направленных отрезков часто рассматривают “векторы” – упорядоченные пары точек: одна точка начало, другая – конец, не исключая их совпадения.
Свободным вектором (или просто вектором) называется абстрактный объект, связанный с равными направленными отрезками тем, что каждый из равных направленных отрезков считается представителем данного свободного вектора, а неравные направленные отрезки представляют собой неравные свободные векторы. Так понимаемый вектор называется свободным потому, что он представляется направленным отрезком независимо от того, от какой точки он отложен. Равные направленные отрезки 
и 
представляют один и тот же вектор.
В частности, все нуль–векторы представляют один и тот же нуль–вектор, который обозначается 
.
Вектор характеризуется направлением и длиной (модулем). Задать вектор, – значит, задать направление и длину. Длина нуль–вектора равна 0, а направления он не имеет. Изображается нуль вектор любой точкой, которая рассматривается, как его начало и конец. Считается, что нулевой вектор параллелен и перпендикулярен любому вектору.
2. ОСНОВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И СВОЙСТВА.
Равные и коллинеарные векторы
Свойства векторов полезно рассматривать в аналогии со свойствами скалярных величин. Например, свойства равных векторов в аналогии со скалярными величинами представлены в следующей таблице:
скаляры
а=а
b=a
, 
a=cОбщеизвестно следующее свойство равных веторов: если четырехугольник ABCD – параллелограмм, то 
.
Введя этот признак, можно озадачить учащихся такими вопросами:
1. О равенстве каких еще векторов, можно говорить применительно к параллелограмму ABСD?
2. Можно ли утверждать, что при наличии пары равных векторов можно получить и другую пару также равных векторов?
3. Можно ли найти равные векторы в каких–либо пространственных телах (например, в параллелепипеде, призме)?
И еще одно свойство: от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (сравните со свойствами параллельных прямых).
Задача. Как видно из свойств равных векторов, любые два вектора, равных между собой, но не лежащих на одной прямой, принадлежат некоторому параллелограмму. Что можно сказать о векторах, составляющих основания трапеции? Что можно сказать о векторах, принадлежащих основаниям усеченной призмы?
Учащиеся должны продемонстрировать понимание разницы между равными векторами и коллинеарными. К тому же необходимо “увидеть” не только сонаправленные, но и противоположные векторы.
Сумма векторов. Умножение вектора на число.
Рассмотрим свойства суммы также в аналогии со скалярами:
Весьма полезно после этого разобрать, какие из рассмотренных свойств имеют аналогию со свойствами произведения скалярных величин, а какие – нет.
Координаты вектора. Скалярное произведение.
Проекцией vx вектора 
на ось х называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком “+”, если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком “–” в противном случае. Заметим, что проекция вектора на ось равна длине этого вектора умноженной на косинус угла между вектором и осью.
При разложении вектора на составляющие вдоль осей координат в декартовой системе координат вводится понятие координат вектора как коэффициентов разложения: если 
то вектор имеет координаты 
. При этом длина вектора равна 
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их абсолютных величин на косинус угла между ними: 
.
В декартовой системе координат скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов: 
Весьма полезным при изучении данной темы может оказаться рассмотрение аналогичных определений в трехмерной модели пространства: 
3. КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОТРАБОТКИ ПОНЯТИЙНОГО АППАРАТА И ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ С ВЕКТОРАМИ.
4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ
Векторный аппарат используется при доказательстве некоторых теорем и решении многих задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить. Хотя следует иметь в виду, что векторный метод не является универсальным и к решению некоторых задач может быть неприменим или малоэффективен.
После изучения основных понятий и фактов, целесообразно провести обобщающий урок, результатом которого должна стать следующая таблица, используемая в дальнейшем при решении задач более высокого уровня.
Ключом к решению задач указанных типов является приведенная выше таблица.
5. КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ ФОРМИРОВАНИЮ УМЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД.
1) Отрезки АВ и СD параллельны. Записать это соотношение в векторной форме.
2) Точка С принадлежит отрезку АВ и АВ:ВС=m:n. Что означает это на векторном языке?
7.8. Докажите.
Задачи указанных типов формируют умения и навыки, являющиеся компонентами векторного метода решения задач. В процессе решения этих задач вырабатываются критерии использования векторов для доказательства различных зависимостей. Приведем несколько примеров задач, при решении которых использован векторный метод.