в каком классе проходят синусы и косинусы по геометрии

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Источник

Геометрия. 8 класс

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС

Размеры катетов и гипотенузы следующие
AC = 12
BC = 9
AB = 15
Разделим длину катета АС на длину гипотенузы АВ
AC/AB = 12/15 = 4/5 = 0,8
Возьмем точку С₁ на отрезке АС, проведем к нему перпендикуляр С₁В₁

Измерим отрезки АС₂ и АВ₂. AC₂ = 15; AB₂ = 18,75.
(AC₂)/(AB₂) = 15/18,75 = 0,8
Заметим, что катет АС является прилежащим к углу А треугольника АВС. Катет АС₁ является прилежащим к углу А в треугольнике АС₁В₁. Катет АС₂ также является прилежащим к углу А, но уже в треугольнике АС₂В₂. Получилось, что отношение прилежащего катета к гипотенузе во всех трех случаях равно 0,8. Очевидно, что это отношение зависит только от угла А.
AC/AB = (AC₁)/(AB₁) = (AC₂)/(AB₂) = 0,8
Определение: Отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника

cosA = AC/AB
Отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом острого угла прямоугольного треугольника
sinA = BC/AB
Отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника
tgA = BC/AC
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это числа. Подумайте, какими числами могут быть синус, косинус и тангенс.
tgA = sinA/cosA
Докажем утверждение:
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, а также косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Источник

Конспект урока на тему » Определение синуса, косинуса»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение

«Вечерняя (сменная) Общеобразовательная школа №3»

Методическая разработка урока по алгебре и началам анализа

Тема: «Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса»

Огородник Валентина Анатольевна

Тема: «Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса»

Цель: Сформировать понятия о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе одного и того же аргумента.

Научить находить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса по окружности, по таблице, научить решать простейшие уравнения

Развивать алгоритмическое, логическое и абстрактное мышление

Воспитывать у студентов самостоятельность, ответственность, умение работать в коллективе

Создать условия для реализации творческой активности студентов

Развитие интереса к решению задач нестандартного вида, к активной творческой деятельности, сформировать навыки самостоятельной работы

Развитие познавательного интереса к математике, творческой активности обучающихся

Тип урока – урок ознакомления с новым материалом

Форма организации образовательной деятельности – коллективная

Методы обучения: словесный, наглядный, частично-поисковый, практический

Формы контроля: устный опрос, индивидуальная самостоятельная работа

Эффективность урока оценивается по формуле

Организационный момент. Постановка целей учебного занятия

Вопрос к ученикам: «Мозговой штурм»

1. Дайте определение прямоугольного треугольника

2. Сформулируйте определение синуса угла в прямоугольном треугольнике?

2. Определение косинуса и тангенса углов в прямоугольном треугольнике?

1.В прямоугольном треугольнике синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

3. Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

3. Объяснение нового материала

В курсе алгебры и началах анализа синус и косинус, а так же тангенс и котангенс будем определять следующим образом:

1. Рассмотрим единичную окружность, построенную на координатной плоскости с центром в начале координат, и радиусом равным единице.

Р ₁

Поворачиваем т.Р по окружности вокруг начала координат против часовой стрелки на положительный угол α.

Получили т Р ₁ ( х;у)

Проведем ОР ₁ – радиус окружности

Получим  ОР ₁ М, он прямоугольный, т.к Р ₁ М перпендикуляр на ось Ох,

ОР ₁ = R =1, т.к окружность единичная

Угол α – угол в полученном треугольнике

Отрезок ОМ обозначим через Х, т.к он лежит на координатной оси ОХ.

Отрезок Р ₁ М – это проекция оси У, обозначим его через ОУ.

Отрезок ОР ₁ = R =1, т.к окружность единичная.

Как вы уже сказали, синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе, т.е.

→ sin α = y

Тогда cos α = → cos α = x

Определение 1 Синусом угла α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α. Обозначается sin α.

Определение 2 Косинусом угла α называется абсцисса точки полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α. Обозначается cos α.

(В этих определениях угол α может выражаться как в градусах, так и в радианах)

Например: sin 30 о = =

Задание 1. Найти sin 270 o и cos 270 o

Задание 2. Решить уравнение с помощью единичной окружности

Записывается это так:

Задание 3. Решить уравнение cos x = 0

Продолжение нового материала.

tg α = → tg α =

Задание 4. Самостоятельно сформулировать определение котангенса угла

с tg α = с tg α =

Приведем таблицу часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса (учебник, стр. 127)

Вопрос к студентам:

Задание 5. Используя таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса вычислить значение выражения

= 4·+·-1 = 2,5

4. Закрепление нового материала. Решение упражнений.

1). Учебник «Алгебра и начала анализа 10-11» стр. 128, №№ 430, 432(1,2), 433, 434,435.

5. Закрепление теоретического материала.

Источник

Открытый урок по геометрии 9 класс»Определение синуса,косинуса,тангенса.»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Открытый урок по геометрии в 9-м классе по теме «Синус, косинус и тангенс угла»

Губарева Ирина Петровна учитель математики 17.11.2020

Формировать умения оперативно принимать решения, развивать гибкость, экономичность мышления; способствовать развитию активного познавательного интереса к предмету, создать ситуацию успеха, радости от самостоятельного преодоления трудностей.

Повторить теоретические знания по теме “Синус, косинус и тангенс угла”.

Ввести понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180°, основное тригонометрическое тождество.

Рассмотреть формулы приведения.

Способствовать развитию внимания.

Способствовать развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях.

Развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умения работать в группах, элементы ораторского искусства).

I. Организационный момент

Все ребята дружно встали (Выпрямиться.)
И на месте зашагали. (Ходьба на месте.)
На носочках потянулись, (Руки поднять вверх.)
А теперь назад прогнулись. (Прогнуться назад, руки положить за голову.)
Наконец то мы проснулись.
Как пружинки, мы присели (Присесть.)
И тихонько разом сели. (Выпрямиться и сесть.)

Ребята, посмотрите на меня, друг на друга, улыбнитесь, пожелайте друг другу успеха на уроке, отметьте свое настроение на начало урока.

2. Вступительное слово учителя

Ребята, вам необходимо выслушать следующие высказывания и выяснить о чём пойдёт речь на уроке, свой ответ надо обосновать:

Фигура представляет собой выпуклый многоугольник.

Сумма её внутренних углов равна 180°.

Между сторонами и углами существует зависимость, которая выражается через тригонометрию.

Другое слово называли “котиджава”.

После обсуждения учитель объявляет тему урока ( (Учащиеся записывают в тетрадях дату и тему урока)

Тема урока: Синус, косинус и тангенс угла.

Сегодня на уроке мы должны повторить теорию по теме “Синус, косинус и тангенс угла”, ввести понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180°, основное тригонометрическое тождество.. Эпиграф к уроку – “Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит”. Эти слова принадлежат русскому учёному М.В.Ломоносову. Много открытий он сделал в области физики, химии, астрономии, географии, геологии, писал стихи и литературную прозу. Ваша задача узнать к следующему уроку, что же он открыл в области математики.

1.Определение прямоугольного треугольника, название сторон.

6. Работа в группах

Подготовка к ОГЭ выборка вариантов

1 группа: Каждое утверждение доказывается или опровергается.

Какие из следующих утверждений верны?

1) Любые два прямоугольных треугольника подобны.

2) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

3) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

1.Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

2.В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

3.Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

1.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

2.Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

3.Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

2) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.

3)Любые два прямоугольных треугольника подобны.

III. Новый материал 1. Ввести понятия синуса, косинуса, тангенса для углов от 0° до 180°, используя единичную полуокружность.

IX. Закрепление

Решить самостоятельно задачи №1012, №1013.

V. Домашнее задание

Скоро кончится урок
Прозвенит сейчас звонок.
Все ребята дружно встали
Всем успеха пожелали
Распрямились, потянулись.
И друг другу улыбнулись.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Цель урока: Формировать умения оперативно принимать решения, развивать гибкость, экономичность мышления; способствовать развитию активного познавательного интереса к предмету, создать ситуацию успеха, радости от самостоятельного преодоления трудностей

Номер материала: ДБ-1582097

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

МГПУ вводит QR-коды для посещения очных занятий

Время чтения: 1 минута

В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов

Время чтения: 0 минут

Около половины детей болеют коронавирусом в бессимптомной форме

Время чтения: 1 минута

Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ

Время чтения: 1 минута

Жириновский предложил ввести в школах уроки полового воспитания

Время чтения: 1 минута

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

В каком классе изучают синусы и косинусы?

В девятом классе, на геометрии проходят эту тему (но не углубленно), решают задачи, изучают две теоремы. Синусов и косинусов. Но опять же все зависит от программы, по которой учиться класс. Возможно и в 8 классе пойдут

Во первых есть какие-то определенные обычаи в школах,как переход из начальных классов в старшие классы.Поэтому принято делать выпускной в четвертом классе.Но это вопрос родителей.Если родители считают нужным,они организуют выпускной для своих детей и учителей,а если не считают,то можно и без выпускного обойтись.

Известны случаи,когда одни родители старались сделать выпускной дороже,устраивали его в кафе и даже в ресторанах и было скучно,а другие в школе с участием тамады и сладкого стола и было весело и не дорого.

Скорей всего, Вы имеете в виду не исторические, а политические взгляды Л.Н. Толстого. В рассказе «После бала» автор резко противопоставляет добродушие полковника на балу, где он выступает в роли отца, и его жестокость в сцене с солдатом, где отец возлюбленной героя становится олицетворением системы. Стоит напомнить, где действия рассказа происходит во времена царствования императора Николая I, известного своей жестокостью.

Последний звонок обычно бывает в последних числах мая.

В походы, наверное, ходят, но намного реже, не так как раньше. И скорее всего ходят те, кто живёт и учиться не в столице и больших городах, кто живёт в маленьком городе, где относительно близко лес и горы. И ещё очень многое в этом вопросе зависит от классного руководителя и активности хотя бы некоторых родителей, которым не безразлично, то как растёт,учится, развивается и отдыхает их ребенок.

Источник