в каком классе проходят метод интервалов

Метод интервалов

Разделы: Математика

I. Немного о изложении метода интервалов в школьном курсе

Анализ учебной литературы, личный опыт, опыт коллег, итоги ГИА и ЕГЭ позволяют судить о недостаточной проработке метода интервалов с точки зрения методики, о неполном понимании некоторыми учителями математики сути метода интервалов и (чего уже стесняться) иногда о не владении методом интервалов отдельно взятыми учителями, о слабом представлении обучащимися об использовании этого метода в дальнейшем.

Приведу наиболее удачный, на мой взгляд, пример изложения метода интервалов:

Алгебра: учеб. Для учащихся 9 кл. с углубл. Изучением математики/[Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев]; под ред. Н. Я. Виленкина. – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2005. – 367 с.

Вывод, который должны сделать обучащиеся: знак частного совпадает со знаком произведения. Это позволит в дальнейшем не переходить от частного к произведению. Обычно при этом переходе и происходит потеря знаменателя вообще.

После данной работы переходим к работе с графиками функций.

Рассматривая рисунок 1, учащиеся должны ответить на вопрос: «Когда происходит смена знака функции?»

Ответ: при переходе функции через нуль.

Это же самое подтверждается и рисунком 2.

Рассмотрим теперь рисунок 3.

Хотя точка x = 0 является нулем функции, но функция при переходе через нуль знак не меняет. Данная функция относится к категории особых случаев и, так как четная степень функции не влияет на знак неравенства, перемены знака нет.

При рассмотрении рисунка 4 обращаем внимание на то, что x = 0 не является нулем функции, но при переходе через нуль знак функции меняется. Это говорит о том, что те точки, которые обращают в нуль знаменатель( точки разрыва) тоже должны быть учтены как точки, при переходе через которые функция меняет свой знак.

После проделанной устной работы записываем алгоритм метода интервалов, который позволяет даже детям с недостаточной математической подготовкой решать достаточно сложные неравенства. Параллельно записи алгоритма разбирается пример, причем при объяснении не обязательно идти от простого к сложному, а наоборот, от сложного безболезненно можно переходить к решению простейших неравенств. Лучше даже для первого введения алгоритма подобрать пример максимально исчерпывающий возможные ситуации по алгоритму.

При записи конспекта в тетрадь с обучающимся рекомендую разделить лист тетради на две колонки: в одной записывать алгоритм, а в другой – пример, но непросто так, а каждому шагу алгоритма в одной колонке ставить в соответствие действие по решению неравенства. Таким образом, мы приступаем к решению задачи № 2.

Цель: ввести алгоритм, формировать представления о применении алгоритма.

После изучения алгоритма полезно рассмотреть следующие примеры:

Задача №3

Цель: закрепление применения алгоритма, рассмотрение контрпримеров на некоторые шаги алгоритма.

1. (ситуация «трудная» или неожиданно «необычная» для многих детей, когда «вдруг» квадратный трехчлен не раскладывается на множители).

Задача №4. Применение метода интервалов при раскрытии модуля

Цель: расширить представления школьников о применении метода интервалов (внутрипредметные связи).

Решим уравнение: | x – 2 | + | x – 1 | – | x – 5 | = 2x + 3

Для того, чтобы раскрыть модуль, необходимо знать, когда выражение под знаком модуля принимает положительные значения, а когда отрицательные. Но мы знаем, что выражение меняет знак, проходя через нуль, поэтому, на основании изложенного выше, каждое выражение под знаком модуля приравниваем к нулю. Тогда точки, которые обращают в нуль каждое выражение, разобьют координатную прямую на несколько интервалов. Для каждого из промежутков мы будем иметь соответствующее уравнение после раскрытия модулей.

Источник

Урок по алгебре Метод интервалов» 9 класс

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

МОУ СОШ им. А.И. Панкова с. Головинщино

Закреплять умение учащихся решать неравенства с одной переменной методом интервалов.

Рассмотреть решение неравенств второй степени методом интервалов.

4. Развивать вычислительные навыки, математическую речь.

Тип урока: закрепление

Оборудование: Интерактивный комплект, карточки, учебник, презентация.

План проведения урока:

1. Организационный этап.

3. Закрепление полученных знаний. (индивидуальные задания)

4. Здоровьесберегающая пауза

5. Исследование, вывод. (Индивидуальные задания)

6. Графический диктант

7. Подведение итогов. Рефлексия.

8. Домашнее задание

Организация начала урока. (3мин)

Здравствуйте, ребята! Я рада видеть вас на уроке! Давайте все вместе улыбкой поприветствуем друг друга, пожелаем хорошего настроения и отличной работоспособности!

Французская пословица гласит «Знания, которые не

пополняются ежедневно, убывают с каждым днем».

— Чем же мы сегодня с вами будем пополнять знания, как вы думаете? (метод интервалов).

— Какие знания нам необходимы, чтобы решать неравенства методом интервалов? (Разложение многочлена на множители).

— Скажите алгоритм решения неравенств методом интервалов.

1)

2)используя график решить неравенство:(слайд )

2)для каждой функции указать её график(слайд).Задание из ОГЭ

3)Работа по графику: (слайд)

а) найти область определения, область значений, промежутки, когда функция принимает положительные значения, промежутки, когда функция принимает отрицательные значения, минимальное значение функции, нули функции.

б) определить область определения, область значений, неотрицательные значения, нули функции, наибольшее значение функции.

Закрепление полученных знаний..

Решить методом интервалов:

а) (х+4)(х-2)(х-3) 0 (слайд 9)

в)

Здоровьесберегающая пауза.(1 мин)

Расслабимся, не отходя от математики:

2. Покажите главное направление оси абсцисс левой рукой, а оси ординат правой рукой. Теперь покажите это быстро.

Ребята, кто такие исследователи? Вот и мы с вами попытаемся сделать вывод о том, всегда ли меняется знак на интервале при переходе через точку, если данный множитель стоит в четной или нечётной степени.

— Какие новые знания вы сегодня приобрели, какие выводы сделали?

— Ребята, кто доволен своей работой, поднимите руки вверх и похлопайте в ладоши!

— Ребята, а кому не всё понятно, потрите ладошки, показывая тем самым что скоро и вам метод интервалов будет понятен!

8. Домашнее задание: № 333, №336

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Урок систематизации и обобщения знаний. Позволяет:

Номер материала: ДБ-1299009

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Туве предложили ввести антиковидные паспорта для школьников

Время чтения: 2 минуты

«Спутник» объявили словом года в России

Время чтения: 2 минуты

Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки утвердило перечень вступительных экзаменов в вузы

Время чтения: 1 минута

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Метод интервалов 8 класс

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Для начала — немного лирики, чтобы почувствовать проблему, которую решает метод интервалов. Допустим, нам надо решить вот такое неравенство:

Какие есть варианты? Первое, что приходит в голову большинству учеников — это правила «плюс на плюс дает плюс» и «минус на минус дает плюс». Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе скобки положительны: x − 5 > 0 и x + 3 > 0. Затем также рассмотрим случай, когда обе скобки отрицательны: x − 5 x + 3

Более продвинутые ученики вспомнят (может быть), что слева стоит квадратичная функция, график которой — парабола. Причем эта парабола пересекает ось OX в точках x = 5 и x = −3. Для дальнейшей работы надо раскрыть скобки. Имеем:

Теперь понятно, что ветви параболы направлены вверх, т.к. коэффициент a = 1 > 0. Попробуем нарисовать схему этой параболы:

Почему эти методы неэффективны?

Итак, мы рассмотрели два решения одного и того же неравенства. Оба они оказались весьма громоздкими. В первом решении возникает — вы только вдумайтесь! — совокупность систем неравенств. Второе решение тоже не особо легкое: нужно помнить график параболы и еще кучу мелких фактов.

Это было очень простое неравенство. В нем всего 2 множителя. А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4. Например:

Как решать такое неравенство? Перебирать все возможные комбинации плюсов и минусов? Да мы уснем быстрее, чем найдем решение. Рисовать график — тоже не вариант, поскольку непонятно, как ведет себя такая функция на координатной плоскости.

Для таких неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.

Что такое метод интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f ( x ) > 0 и f ( x )

Решить уравнение f ( x ) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;

Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;

Выяснить знак (плюс или минус) функции f ( x ) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f ( x ) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;

Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.

Вот и все! После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f ( x ) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f ( x )

На первый взгляд может показаться, что метод интервалов — это какая-тожесть. Но на практике все будет очень просто. Стоит чуть-чутьпотренироваться — и все станет понятно. Взгляните на примеры — и убедитесь в этом сами:

Задача. Решите неравенство:

Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:

Получаем, что f (3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.

Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

Задача. Решите неравенство:

Шаг 1: приравниваем левую часть к нулю:

Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.

Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:

Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x = 1. Например, можно взять x = 10. Имеем:

f ( x ) = ( x + 9)( x − 3)(1 − x );
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197

Шаг 4: расставляем остальные знаки. Помним, что при переходе через каждый корень знак меняется. В итоге наша картинка будет выглядеть следующим образом:

Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:

Это неравенство вида f ( x )

Замечание по поводу знаков функции

Практика показывает, что наибольшие трудности в методе интервалов возникают на последних двух шагах, т.е. при расстановке знаков. Многие ученики начинают путаться: какие надо брать числа и где ставить знаки.

Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим два замечания, на которых он построен:

Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала. Например, для интервала (−5; 6) мы вправе брать x = −4, x = 0, x = 4 и даже x = 1,29374, если нам захочется. Почему это важно? Да потому что многих учеников начинают грызть сомнения. Мол, что если для x = −4мы получим плюс, а для x = 0 — минус? А ничего — такого никогда не будет. Все точки на одном интервале дают один и тот же знак. Помните об этом.

Вот и все, что нужно знать про метод интервалов. Конечно, мы разобрали его в самом простом варианте. Существуют более сложные неравенства — нестрогие, дробные и с повторяющимися корнями. Для них тоже можно применять метод интервалов, но это тема для отдельного большого урока.

Теперь хотел бы разобрать продвинутый прием, который резко упрощает метод интервалов. Точнее, упрощение затрагивает только третий шаг — вычисление знака на самом правом куске прямой. По каким-то причинам этот прием не проходят в школах (по крайней мере, мне никто такого не объяснял). А зря — ведь на самом деле этот алгоритм очень прост.

Мы получили 3 корня. Перечислим их в порядке возрастания: x = −2, x = 1и x = 7. Очевидно, что наибольший корень — это x = 7.

Для тех, кому легче рассуждать графически, я отмечу эти корни на координатной прямой. Посмотрим, что получится:

«Ты че, обкурился? Как можно подставить в функцию бесконечность?» — возможно, спросите вы. Но задумайтесь: нам ведь не нужно само значение функции, нам нужен только знак. Поэтому, например, значения f ( x ) = −1 и f ( x ) = −938 740 576 215 значат одно и то же: функция на данном интервале отрицательна. Поэтому все, что от вас требуется — найти знак, который возникает на бесконечности, а не значение функции.

На самом деле, подставлять бесконечность очень просто. Вернемся к нашей функции:

Представьте, что x — это очень большое число. Миллиард или даже триллион. Теперь посмотрим, что будет происходить в каждой скобке.

Первая скобка: ( x − 1). Что будет, если из миллиарда вычесть единицу? Получится число, не особо отличающееся от миллиарда, и это число будет положительным. Аналогично со второй скобкой: (2 + x ). Если к двойке прибавить миллиард, по получим миллиард с копейками — это положительное число. Наконец, третья скобка: (7 − x ). Здесь будет минус миллиард, от которого «отгрызли» жалкий кусочек в виде семерки.Т.е. полученное число мало чем будет отличаться от минус миллиарда — оно будет отрицательным.

Осталось найти знак всего произведения. Поскольку в первых скобках у нас был плюс, а в последней — минус, получаем следующую конструкцию:

Итоговый знак — минус! И неважно, чему равно значение самой функции. Главное, что это значение — отрицательное, т.е. на самом правом интервале стоит знак минус. Осталось выполнить четвертый шаг метода интервалов: расставить все знаки. Имеем:

Исходное неравенство имело вид:

Следовательно, нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. Выписываем ответ:

Вот и весь прием, который я хотел рассказать. В заключение — еще одно неравенство, которое решается методом интервалов с привлечением бесконечности. Чтобы визуально сократить решение, я не буду писать номера шагов и развернутые комментарии. Напишу только то, что действительно надо писать при решении реальных задач:

Задача. Решите неравенство:

Заменяем неравенство уравнением и решаем его:

Отмечаем все три корня на координатной прямой (сразу со знаками):

Справа на координатной оси стоит плюс, т.к. функция имеет вид:

А если подставить бесконечность (например, миллиард), получим три положительных скобки. Поскольку исходное выражение должно быть больше нуля, нас интересуют только плюсы. Осталось выписать ответ:

Источник

Электронный конспект урока алгебры в 8 классе «Решение неравенств. Метод интервалов»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Выбранный для просмотра документ Решение неравенств.Метод интервалов.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок алгебры в 8 классе с углубленным изучением математики Автор разработки: учитель математики МБОУ СШ №10 г. Павлово Леонтьева Светлана Ивановна Ни одна наука так не укрепляет веру в силу человеческого разума, как математика. Гуго Штейнгауз Урок вывешен на сайте: http://pavls1954.wixsite.com/1712

Приветствую вас на уроке алгебры в 8 классе Уроки №127-128 14.04.17г.

Девиз урока Успешного усвоения учебного материала Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять. Рене Декарт

Отчёт по выполнению ДР в группе

1.Теория. Разобрать задачи, решенные в классе. 2.Практика. № 676(2,3); 677(2,3); 678(2,4,6) ДР№58 на 14.04.17

№676(2) Решение: Ответ: х 9 или и

Оцените своё выполнение ДР

КР 14.04.17 Решение квадратных неравенств методом интервалов

1. Найдите корни уравнения. Ответы запишите в тетрадь

2. При каких значениях х имеет смысл выражение. Ответ запишите в тетрадь

2. При каких значениях х имеет смысл выражение. Ответ запишите в тетрадь при любых х

Стр.185. №679(1) Решите методом интервалов неравенство Решение Предложите план решения

№679(1) Решите методом интервалов неравенство Решение Какие значения х нужно отметить на числовой прямой и какими точками?

№679(1) Решите методом интервалов неравенство Решение Определите знаки выражения на каждом интервале

Решите самостоятельно по плану, проверяя решение в парах №679(2) Проверка:

Стр.185, №679(3) Решите методом интервалов неравенство Решение Расставьте знаки дроби на числовых промежутках

Стр.185, №679(3) Решите методом интервалов неравенство Решение Запишите ответ /////////////

Стр.185, №679(5) Решите методом интервалов неравенство Решение Какие значения х будут определять знак дроби?

Стр.185, №679(5) Решите методом интервалов неравенство Решение 2х+1=0 х+2=0 х – 3=0

Стр.185, №679(5) Решите методом интервалов неравенство Решение 2х+1=0 х+2=0 х – 3=0 2х=–1 х=–2 х= 3

Стр.185, №679(5) Решите методом интервалов неравенство Решение Найдите знак дроби на каждом из интервалов. Выберите те, на которых знак совпадает со знаком неравенства.

№680(3) Решение: Как найти значения х, которые нужно отметить на числовой прямой?

№680(3) Решение: Найдите корни каждого уравнения

№680(3) Решение: Какие значения и какими точками нужно отметить на числовой прямой?

№680(3) Решение: Найдите знак дроби на каждом из интервалов. Выберите те, на которых знак совпадает со знаком неравенства.

№680(2) Решение: Как найти те значения х, которые нужно отметить на числовой прямой?

№680(2) Решение: Решите уравнение а)

№680(2) Решение: Решите уравнение б)

№680(2) Решение: Какие значения и какими точками нужно отметить на числовой прямой?

№680(2) Решение: Найдите знак дроби на каждом из интервалов. Выберите те, на которых знак совпадает со знаком неравенства.

№682(1) Решение: Что нужно сделать?

№682(1) Решение: Перенесем все дроби в левую часть неравенства

Что нового узнали на уроке?

1.Теория. Разобрать задачи, решенные в классе. 2.Практика. № 679(2,4,6); 680(4); 682(3,5) ДР№59 на 18.04.17 Самостоятельная работа

Самостоятельная работа Работа состоит из 10 заданий, а которые включено 19 неравенств с различным числом баллов от 4 до 9. Всего можно получить 107 баллов. Критерии оценивания: «3»- от 30 до 45 б. «4»- от 46 до 70 б. «5»- более 71 б.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДБ-1471897

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов

Время чтения: 0 минут

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

В Туве предложили ввести антиковидные паспорта для школьников

Время чтения: 2 минуты

В Тюменской области студенты и школьники перейдут на дистанционное обучение

Время чтения: 2 минуты

Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ

Время чтения: 1 минута

«Спутник» объявили словом года в России

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник