в каком классе проходят квадратные корни
Алгебра. 8 класс
Квадратным корнем из числа b называют такое число, квадрат которого равен b.
Арифметическим квадратным корнем из числа b называют неотрицательное число, квадрат которого равен b.
Обозначение арифметического квадратного корня: 
.
– знак корня, или знак радикала.
Выражение под знаком корня называют подкоренным выражением.
b – подкоренное выражение.
, если:
1) а ≥ 0,
2) a 2 = b.
, так как
1) 9 ≥ 0,
2) 9 2 = 81.
, так как
1) 0 ≥ 0,
2) 0 2 = 0.
Из определения арифметического квадратного корня следует равенство 
.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Урок алгебры в 8-м классе по теме «Квадратный корень из произведения и дроби»
Разделы: Математика
Ход урока
I. Организационный момент
Сегодня у нас не совсем обычный урок, к нам пришли гости. Посмотрите на наших гостей, улыбнитесь им, посмотрите друг на друга и тоже улыбнитесь, ведь от улыбки станет всем теплей, поднимется настроение. Ребята, я вас попрошу поставить на полях своих тетрадей ту оценку, которую вы хотели бы получить за урок.
Предлагаю вам выполнить письменную работу “Математический словарь”
Взаимопроверка. Как вы считаете, какая тема объединяет эти математические термины?
( Квадратные корни.) А какую тему мы изучали на прошлом уроке? (Квадратный корень из произведения и дроби.)
Постановка целей урока.
Для того чтобы урок прошел успешно, необходимо повторить теорию.
II. Устная работа
Учитель задает учащимся те вопросы, которые не прозвучали в ходе опроса.
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
Даются подробные объяснения.
3. Сравните: 
и 
.
III. Работа на доске и в тетрадях со всеми учащимися
1. Учитель: А как вы нашли произведение и частное корней?
Ученик: Поменяв в тождествах 
=
и 
= 
местами их левые и правые части, получим:
| = и = |
Вопрос. В каком случае пользуются этими тождествами? (При умножении и делении квадратных корней).
2. Разобрать решение примеров 4 и 5 на с. 86 учебника.
3. Решить № 385 (а, б, в, ж) на доске и в тетрадях.
4. Решить № 386 самостоятельно с проверкой. Один ученик решает самостоятельно у доски, остальные учащиеся решают в тетрадях. Если возникают затруднения, можно обратиться за помощью к соседу по парте или к учителю. Затем проверяется решение.
IV. Задания по выбору.
1. Используя свойства квадратного корня, найдите с помощью таблицы квадратов, значение выражения:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Самопроверка с помощью микрокалькулятора.
Ответы: 15; 18; 22; 270; 1,1; 4,1; 0,36; 70.
1) Вычислите 
.
1) 3 
2) 1,4
3) 1 
4) 1,5
2) Решите уравнение 0,5у 2 = 8.
4)Применив свойства арифметического квадратного корня, вычислите 
.
5) Вычислите 
без помощи микрокалькулятора.
6) Даны числа: 0, (7); 1
; 
; 
. Сколько среди них рациональных?
Самопроверка. Работа над ошибками. Итог.
V. Творческое задание “Смотри, не ошибись!”
Определить неизвестный множитель:
? = а;
( + 
) (?) = а – в;
? = в;
( 
— 1) (?) = 1.
VI. Задание “Проверь, не пользуясь микрокалькулятором ”
= 
= 60.
VII. Резервное задание для обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся.
= 3.
VIII. Домашнее задание: по выбору п.16, № 387 (1 стр.), 383 или составить задание для учащихся по данной теме. Для желающих № 381.
IX. Подведение итогов.
Выставление оценок самими учащимися.
Квадратные корни. Арифметический квадратный корень
Урок 11. Алгебра 8 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень»
На этом уроке мы познакомимся с новыми для вас понятиями такими, как квадратные корни и арифметический квадратный корень. А также научимся находить значения корней.
Числа 10 и минус 10 называют квадратными корнями уравнения 
.
Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.
Вернёмся к задаче. Мы знаем, что длина – это положительная величина. А значит, корень второго уравнения – минус 10, не подходит. И тогда длина стороны Машиной клумбы равна 10 метрам.
Решая данную задачу, мы с вами столкнулись с неоднозначностью: получили два корня, но к решению задачи подошел только один. И чтобы не было проблем с выбором корня вводят понятие арифметического квадратного корня.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Обратите внимание, в определении прозвучала фраза «неотрицательное число». Почему нельзя сказать просто … «положительное число»? … Потому что квадрат нуля, есть само число нуль. А оно, как вы знаете, не является ни положительным числом, ни отрицательным. Поэтому и используют термин «неотрицательное число».
Арифметический квадратный корень из числа а обозначают так:
Знак 
называют знаком арифметического квадратного корня или знаком радикала (от латинского слова «радикс» – корень).
Выражение, стоящее под знаком корня называют подкоренным выражением.
При чтении записи, слово «арифметический» не произносят, а читают просто «квадратный корень из а».
Операцию нахождения арифметического квадратного корня из числа, называют извлечением корня.
Рассмотрим несколько примеров извлечения корня из числа. Итак, найдём значения корней.
Запомните, квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел.
При 
выражение 
не имеет смысла. Т.к. нет такого числа квадрат, которого бы был отрицательным числом.
Из определения арифметического квадратного корня следует, что при любом а, при котором выражение имеет смысл, верно равенство 
.
Задание 1: найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен: 1; 4; 0,3.
Задание 2: найдите значение выражения.
Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Операцию нахождения арифметического квадратного корня из числа, называют извлечением корня.
Равенство 
верно, когда выполняются два условия:
1) 
и 2) 
При выражение не имеет смысла.
Из определения арифметического квадратного корня следует, что при любом а, при котором выражение имеет смысл, верно равенство
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №16 Название темы: Арифметический корень натуральной степени.
Перечень тем, рассматриваемых на уроке:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»
Площадь квадрата S=16 м².
Обозначим сторону квадрата а, м.
Решим данное уравнение:
Ответ: длина стороны квадрата равна 4 м.
Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Обозначение: 
.
Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
Обозначение: 
.
.
.
.
На основании определений квадратного и кубического корней, можно сформулировать определения корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени.
Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
Обозначение: 
– корень n-й степени, где
n–степень арифметического корня;
а– подкоренное выражение.
Давайте рассмотрим такой пример: 
.
Мы знаем, что (–4)³ = –64, следовательно, 
.
Еще один пример: 
.
Мы знаем, что (–3) 5 = –243, следовательно, 
.
На основании этих примеров, можно сделать вывод:
, при условии, что n –нечетное число.
Свойства арифметического корня натуральной степени:
Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:
.
.
.
.
.
.
Найдите значение выражения 
, при 3 3;
Содержание курса математики в 7-9 классах
Содержание курса математики в 7-9 классах
(углубленный уровень)
Алгебра
Сравнение рациональных чисел. Действия с рациональными числами. Конечные и бесконечные десятичные дроби. Представление рационального числа в виде десятичной дроби.
Изучается до 7 класса, закрепляется при использовании в следующих классах.
Понятие иррационального числа. Распознавание иррациональных чисел. Действия с иррациональными числами. Свойства действий с иррациональными числами. Сравнение иррациональных чисел. Множество действительных чисел.
Представления о расширениях числовых множеств.
Изучается в 8 классе в связи с введением квадратных корней, затем используется в следующих классах.
Числовые и буквенные выражения
Выражение с переменной. Значение выражения. Подстановка выражений вместо переменных. Законы арифметических действий.
Изучается до 7 класса, закрепляется при использовании в следующих классах
Преобразования числовых выражений, содержащих степени с натуральным и целым показателем.
Степень с целым показателем изучается в 8 классе в делении на одночлен и стандартном виде числа, затем используется в следующих классах.
Одночлен, степень одночлена. Действия с одночленами. Многочлен, степень многочлена. Значения многочлена. Действия с многочленами: сложение, вычитание, умножение, деление. Преобразование целого выражения в многочлен. Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы и разности. Формулы преобразования суммы и разности кубов, куб суммы и разности. Разложение многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения. Многочлены с одной переменной. Стандартный вид многочлена с одной переменной.
Начинается изучение в 7-8 классах, используется в следующих классах.
Квадратный трехчлен. Корни квадратного трехчлена. Разложение на множители квадратного трехчлена. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Выделение полного квадрата. Разложение на множители способом выделения полного квадрата.
Тождественное преобразование. Представление о тождестве на множестве.
Абсолютные тождества изучаются в 7 классе, тождества на множестве в 8.
Алгебраическая дробь. Преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем. Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях. Сокращение алгебраических дробей. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Действия с алгебраическими дробями: сложение, умножение, деление.
Преобразование выражений, содержащих знак модуля.
Изучается 8-9 классах.
Арифметический квадратный корень. Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.
Изучается 8-9 классах
Корни n-х степеней. Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих корни n-ых степеней. Преобразование выражений, содержащих корни n-х степеней.
Степень с рациональным показателем. Преобразование выражений, содержащих степень с рациональным показателем.
Изучается в 8 классе.
Числовое равенство. Свойства числовых равенств. Равенство с переменной.
Изучается в 3-6 классах, в 7 класса повторяется и далее закрепляется при использовании.
Понятие уравнения и корня уравнения.
Изучается в 3-6 классах, в 7 классе повторяется и закрепляется при использовании.
Представление о равносильности уравнений и уравнениях-следствиях.
Изучается в 7 класса, с 8 класса закрепляется при использовании.
Представление о равносильности на множестве. Равносильные преобразования уравнений.
Изучается в 8-9 классах
Методы решения уравнений
Методы равносильных преобразований, метод замены переменной, графический метод.
Изучается в 7-9 классах
Использование свойств функций при решении уравнений.
В основном изучается в старшей школе, в основной школе встречается в отдельных заданиях.
Использование теоремы Виета для уравнений степени выше 2.
В 9 классе рассматривается формулировка для уравнений 3 и 4 степени, но в решении не используется.
Линейное уравнение и его корни
Решение линейных уравнений. Количество корней линейного уравнения. Линейное уравнение с параметром.
Изучается в 6-7 классах, с 8 класса закрепляется при использовании.
Квадратное уравнение и его корни
Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Количество действительных корней квадратного уравнения. Решение квадратных уравнений: графический метод решения, использование формулы для нахождения корней, разложение на множители, подбор корней с использованием теоремы Виета. Биквадратные уравнения. Уравнения, сводимые к линейным и квадратным. Квадратное уравнение с параметром. Решение простейших квадратных уравнений с параметрами. Решение некоторых типов уравнений 3 и 4 степени.
Изучается в 9 классе
Решение дробно-рациональных уравнений.
Изучается в 8-9 классах
Простейшие иррациональные уравнения вида: 
; 
,
и их решение. Решение иррациональных уравнений вида 
.
Изучается в 8-9 классах
Уравнение с двумя переменными. Решение уравнений в целых числах. Линейное уравнение с двумя переменными. Графическая интерпретация линейного уравнения с двумя переменными.
Изучается в 7-8 классах, а в 9 классе закрепляется при использовании
Представление о графической интерпретации произвольного уравнения с двумя переменными: линии на плоскости.
Изучается в 7-9 классах
Понятие системы уравнений. Решение систем уравнений.
Представление о равносильности систем уравнений.
Изучается в 7-9 классах
Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными графический метод, метод сложения, метод подстановки. Количество решений системы линейных уравнений. Система линейных уравнений с параметром.
Изучается в 7-9 классах
Системы нелинейных уравнений. Методы решения систем нелинейных уравнений. Метод деления, метод замены переменных. Однородные системы.
Изучается в 8-9 классах
Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств. Проверка справедливости неравенств при заданных значениях переменных.
Неравенство с переменной. Строгие и нестрогие неравенства. Доказательство неравенств. Неравенства о средних для двух чисел.
Понятие о решении неравенства. Множество решений неравенства.
Представление о равносильности неравенств.
Линейное неравенство и множества его решений. Решение линейных неравенств. Линейное неравенство с параметром.
Изучается в 7-8 классах, закрепляется в 9 классе при использовании
Квадратное неравенство и его решения. Решение квадратных неравенств: использование свойств и графика квадратичной функции, метод интервалов. Запись решения квадратного неравенства. Квадратное неравенство с параметром и его решение.
Изучается в 9 классе
Простейшие иррациональные неравенства вида: 
; 
; 
.
Изучается в 9 классе
Обобщенный метод интервалов для решения неравенств.
Изучается в 9 классе
Системы неравенств с одной переменной. Решение систем неравенств с одной переменной: линейных, квадратных, дробно-рациональных, иррациональных. Изображение решения системы неравенств на числовой прямой. Запись решения системы неравенств.
Изучается в 8-9 классах
Неравенство с двумя переменными. Представление о решении линейного неравенства с двумя переменными. Графическая интерпретация неравенства с двумя переменными. Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными.
В основном материал рассматривается в старшей школе. В 8-9 классах встречается в задачах.
Прямоугольная система координат. Формирование представлений о метапредметном понятии «координаты».
Изучается в 6 классе, с 7 класса закрепляется при использовании
Изучается в 7 классе
Способы задания функций: аналитический, графический, табличный. График функции. Примеры функций, получаемых в процессе исследования различных процессов и решения задач. Значение функции в точке. Свойства функций: область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, четность/нечетность, возрастание и убывание, промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значение, периодичность. Исследование функции по ее графику.
Изучается в 7-9 классах (периодичность отнесена в старшую школу к тригонометрическим функциям)
Свойства, график. Угловой коэффициент прямой. Расположение графика линейной функции в зависимости от ее коэффициентов.
Изучается в 7 классе
Свойства. Парабола. Построение графика квадратичной функции. Положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов. Использование свойств квадратичной функции для решения задач.
Изучается в 8-9 классах
Свойства функции 
. Гипербола. Представление об асимптотах.
Изучается в 8 классе
Степенная функция с показателем 3
Свойства. Кубическая парабола.
Функции
, 
, 
.Их свойства и графики. Степенная функция с показателем степени больше 3.
Преобразование графиков функций: параллельный перенос, симметрия, растяжение/сжатие, отражение.
Изучается в 9 классе
Представление о взаимно обратных функциях.
Изучается в 8-9 классах
Непрерывность функции и точки разрыва функций. Кусочно заданные функции.
Изучается в 9 классе, хотя в основном материал рассматривается в старшей школе
Последовательности и прогрессии
Числовая последовательность. Примеры. Бесконечные последовательности. Арифметическая прогрессия и ее свойства. Геометрическая прогрессия. Суммирование первых членов арифметической и геометрической прогрессий. Сходящаяся геометрическая прогрессия. Сумма сходящейся геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Расходимость гармонического ряда.
Метод математической индукции, его применение для вывода формул, доказательства равенств и неравенств, решения задач на делимость.
Изучается в 9 классе
Решение текстовых задач
Задачи на все арифметические действия
Решение текстовых задач арифметическим способом. Использование таблиц, схем, чертежей, других средств представления данных при решении задачи.
Решение задач на движение, работу, покупки
Анализ возможных ситуаций взаимного расположения объектов при их движении, соотношения объемов выполняемых работ при совместной работе.
Решение задач на нахождение части числа и числа по его части
Решение задач на проценты, доли, применение пропорций при решении задач.
Изучается в 5-9 классах
Решение логических задач. Решение логических задач с помощью графов, таблиц.
Изучается во 2-6 классах, с 7 класса закрепляется при использовании
Основные методы решения задач
Арифметический, алгебраический, перебор вариантов. Первичные представления о других методах решения задач (геометрические и графические методы).
Изучается в 5-9 классах
Статистика и теория вероятностей
Табличное и графическое представление данных, столбчатые и круговые диаграммы,
извлечение нужной информации.
Изучается в 6 классе
Диаграммы рассеивания. Описательные статистические показатели: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения числового набора. Отклонение. Случайные выбросы. Меры рассеивания: размах, дисперсия и стандартное отклонение. Свойства среднего арифметического и дисперсии. Случайная изменчивость. Изменчивость при измерениях. Решающие правила. Закономерности в изменчивых величинах.
Изучается в 7-9 классах
Случайные опыты и случайные события
Случайные опыты (эксперименты), элементарные случайные события (исходы). Вероятности элементарных событий. События в случайных экспериментах и благоприятствующие элементарные события. Вероятности случайных событий. Опыты с равновозможными элементарными событиями. Классические вероятностные опыты с использованием монет, кубиков. Представление событий с помощью диаграмм Эйлера. Противоположные события, объединение и пересечение событий. Правило сложения вероятностей. Случайный выбор. Независимые события. Последовательные независимые испытания. Представление эксперимента в виде дерева, умножение вероятностей. Испытания до первого успеха. Условная вероятность. Формула полной вероятности.
Изучается в 9 классе
Элементы комбинаторики и испытания Бернулли
Правило умножения, перестановки, факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник Паскаля и бином Ньютона. Опыты с большим числом равновозможных элементарных событий. Вычисление вероятностей в опытах с применением элементов комбинаторики. Испытания Бернулли. Успех и неудача. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
Изучается в 7-9 классах
Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, отрезка и дуги окружности. Случайный выбор числа из числового отрезка.
Изучается в 8 классе
Дискретная случайная величина и распределение вероятностей. Равномерное дискретное распределение. Геометрическое распределение вероятностей. Распределение Бернулли. Биномиальное распределение. Независимые случайные величины. Сложение, умножение случайных величин. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины; свойства дисперсии. Дисперсия числа успехов в серии испытаний Бернулли. Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей и точность измерения. Применение закона больших чисел в социологии, страховании, в здравоохранении, обеспечении безопасности населения в чрезвычайных ситуациях.
Выделенные темы изучаются в 9 классе
История математики
Возникновение математики как науки, этапы ее развития. Основные разделы математики. Выдающиеся математики и их вклад в развитие науки.
Бесконечность множества простых чисел. Числа и длины отрезков. Рациональные числа. Потребность в иррациональных числах. Школа Пифагора
Появление метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык алгебры. Появление графиков функций. Р. Декарт, П. Ферма. Примеры различных координат.
Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) о кроликах, числа Фибоначчи. Задача о шахматной доске. Сходимость геометрической прогрессии.
Изучается в 5-9 классах за исключением истории вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений степеней, больших четырех рассматривается в старшей школе в связи с открытием комплексных чисел, а также Петра I.