в каком классе проходят кубические уравнения

Кубические уравнения в школе

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

Как решать кубические уравнения

3 метода: Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения. Нахождение целых решений при помощи разложения на множители. Использование дискриминанта.

Кубические уравнения имеют вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. Способ решения таких уравнений известен уже несколько столетий (он был открыт в 16 веке итальянскими математиками). Решить некоторые кубические уравнения довольно сложно, но при правильном подходе (и хорошем уровне теоретических знаний) вы сможете решать даже самые сложные кубические уравнения.

Метод 1 из 3: Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения

1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член. Как отмечалось выше, кубические уравнения имеют вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где коэффициенты «b», «с» и «d» могут быть равны 0, то есть кубическое уравнение может состоять только из одного члена (с переменной в третьей степени). Сначала проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член, то есть «d». Если свободного члена нет, вы можете решить данное кубическое уравнение при помощи формулы для решения квадратного уравнения.

Если свободный член есть, используйте другой метод решения (смотрите следующие разделы).

2. Так как в данном уравнении свободного члена нет, то все члены этого уравнения содержат переменную «х», которую можно вынести за скобки: x ( ax 2 + bx + c ).

3. Обратите внимание, что уравнение в скобках – это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c, которое можно решить при помощи формулы ( <-b +/-√ ( b 2 — 4 ac )>/2 a ). Решите квадратное уравнение, и вы решите кубическое уравнение.

4. Помните, что квадратные уравнения имеют два решения, а кубические – три решения. Вы нашли два решения квадратного, а следовательно и кубического уравнения. В случаях, когда вы выносите «х» за скобки, третье решение всегда равно 0.

Это верно, так как любое число или выражение, умноженное на 0, равно 0. Так как вы вынесли «х» за скобки, то вы разложили кубическое уравнение на два множителя («х» и квадратное уравнение), один из которых должен быть равен 0, чтобы все уравнение равнялось 0.

Метод 2 из 3: Нахождение целых решений при помощи разложения на множители

1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член. Описанный в предыдущем разделе метод не годится для решения кубических уравнений, в которых присутствует свободный член. В этом случае вам придется воспользоваться методом, который описан в этом или следующем разделах.

2. Найдите множители коэффициента «а» (коэффициент при x 3 ) и свободного члена «d». Множители числа – это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 6 являются числа 1, 2, 3, 6 (1*6 = 6 и 2*3 = 6).

3. Разделите множители коэффициента «а» на множители свободного члена «d». Вы получите дроби и целые числа. Целым решением данного вам кубического уравнения будет либо одно из этих целых чисел, либо отрицательное значение одного из этих целых чисел.

Деление по схеме Горнера – непростая тема; для получения дополнительной информации по ней перейдите по ссылке, указанной выше. Вот пример того, как найти одно из решений данного вам кубического уравнения при помощи деления по схеме Горнера:

Метод 3 из 3: Использование дискриминанта

1. В этом методе вы будете работать со значениями коэффициентов «а», «b», «с», «d». Поэтому лучше выписать значения этих коэффициентов заранее.

2. Вычислите Δ0 = b 2 — 3 ac . В этом методе потребуется провести несколько сложных вычислений, но если вы уясните его, вы сможете решать самые сложные кубические уравнения.

В нашем примере Δ0 = 0 и Δ1 = 0, поэтому найти Δ не составит труда.

0 = Δ, поэтому данное вам уравнение имеет одно или два решения.

5. Вычислите C = 3 √(√((Δ1 2 — 4Δ0 3 ) + Δ1)/ 2). Эта величина позволит вам найти корни кубического уравнения.

6. Корни (решения) кубического уравнения вычисляются по формуле ( b + u n C + (Δ0/ u n C )) / 3 a , где u = (-1 + √(-3))/2, а n равно либо 1, либо 2, либо 3.

Источник

«Решение уравнений высших степеней». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Оборудование: компьютер, проектор.

1 этап работы. Организационный момент.

2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы

Уравнение одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры.

В школьном курсе изучения математики очень много внимания уделяется решению различного вида уравнений. До девятого класса мы умели решать только линейные и квадратные уравнения. Уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней называются уравнениями высших степеней. В девятом классе мы познакомились с двумя основными приёмами решения некоторых уравнений третьей и четвёртой степеней: разложение многочлена на множители и использование замены переменной.

А можно ли решить уравнения более высоких степеней? На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.

3 этап работы. Повторить ранее изученный материал. Ввести понятие уравнения высших степеней.

1) Решение линейного уравнения.

Линейным называется уравнение вида , где по определению. Такое уравнение имеет единственный корень .

2) Решение квадратного уравнения.

Квадратным называется уравнение вида , где . Количество корней и сами корни определяются дискриминантом уравнения . Для уравнение корней не имеет, для имеет один корень (два одинаковых корня)

, для имеет два различных корня .

Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений видим, что количество корней уравнения не более его степени. В курсе высшей алгебры доказывается, что уравнение -й степени имеет не более n корней. Что касается самих корней, то тут ситуация намного сложнее. Для уравнений третьей и четвёртой степеней известны формулы для нахождения корней. Однако эти формулы очень сложны и громоздки и практического применения не имеют. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул не существует и существовать не может (как было доказано в XIX в. Н. Абелем и Э. Галуа).

Будем называть уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней уравнениями высших степеней. Некоторые уравнения высоких степеней удаётся решить с помощью двух основных приёмов: разложением многочлена на множители или с использованием замены переменной.

3) Решение кубического уравнения.

Решим кубическое уравнение

Сгруппируем члены многочлена, стоящего в левой части уравнения, и разложим на множители. Получим:

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три линейных уравнения:

Итак, данное кубическое уравнение имеет три корня: ; ;.

4) Решение биквадратного уравнения.

Очень распространены биквадратные уравнения, которые имеют вид (т.е. уравнения, квадратные относительно ). Для их решения вводят новую переменную .

Решим биквадратное уравнение .

Введём новую переменную и получим квадратное уравнение , корнями которого являются числа и 4.

Вернёмся к старой переменной и получим два простейших квадратных уравнения:

(корни и )

(корни и )

Итак, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

; ;.

Попробуем решить уравнение используя выше изложенные приёмы.

4 этап работы. Привести некоторые утверждения о корнях многочлена вида , где многочлен n-й степени

Приведём некоторые утверждения о корнях многочлена вида :

1) Многочлен -й степени имеет не более корней (с учётом их кратностей). Например, многочлен третьей степени не может иметь четыре корня.

2) Многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень. Например, многочлены первой, третьей, пятой и т.д. степени имеют хотя бы один корень. Многочлены чётной степени корней могут и не иметь.

4) Если число является корнем многочлена вида , то этот многочлен можно представить в виде произведения , где многочлен (-й степени. Другими словами, многочлена вида можно разделить без остатка на двучлен . Это позволяет уравнение -й степени сводить к уравнению (-й степени (понижать степень уравнения).

5) Если уравнение со всеми целыми коэффициентами (причём свободный член ) имеет целый корень , то этот корень является делителем свободного члена . Такое утверждение позволяет подобрать целый корень многочлена (если он есть).

Пример 1. Решим уравнение .

Таким образом, мы фактически разложили левую часть уравнения на множители:

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

Итак, данное уравнение имеет три корня:

Пример 2. Решим уравнение .

Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9),т.е. равняется одному из чисел: ;. Проверим:

Значит, многочлен можно представить в виде произведения , т.е. многочлен можно без остатка разделить на двучлен . Выполним такое деление “уголком”:

Таким образом, мы разложили левую часть уравнения на множители:

Аналогичным образом поступим и с многочленом .

Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9), т.е. равняется одному из чисел: ;. Проверим:

Значит, многочлен можно представить в виде

произведения , т.е. многочлен можно без остатка разделить на двучлен . Выполним такое деление “уголком”:

Таким образом, мы разложили левую часть исходного уравнения на множители:

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:

Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

6 этап работы. Закрепление изученного материала.

Решите уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

7 этап работы. Вывод урока.

8 этап работы. Домашнее задание.

Дома решить уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком” (раздать листы с заданиями).

Источник

Кубические уравнения. Метод перебора при решении кубических уравнений.

Метод перебора при решении кубических уравнений получил самую широкую известность. Алгоритм его выполнения сводится к нижеследующему.

Первоначально подберем один из корней уравнения использовав то свойство, что у кубического уравнения неизменно присутствует, по крайней мере, один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами будет делителем свободного члена d.

Коэффициенты этих уравнений, как правило, подобраны так, что требуемый корень есть небольшое целое число, такое как: 0, ± 1, ± 2, ± 3.

И, соответственно, требуется обнаружить корень среди этих чисел и проверить его путём подстановки в уравнение.

Примем данный корень за x ₁.

На следующем этапе разделим многочлен ax 3 + b x 2 + cx + d на двучлен x – x ₁.

Применим теореме Безу (деление многочлена на линейный двучлен), согласно которой это деление без остатка возможно, и по итогу вычислений получаем многочлен второй степени, который равен нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет!) два других корня.

Проанализируем ход решения уравнения: x 3 – 3x 2 – 13x + 15 = 0.

Найдем первый корень, подставляя в уравнение цифры: 0, ± 1, ± 2, ± 3 получаем, что 1 является корнем. Далее разделим левую часть этого уравнения на двучлен x- 1, и получим:

Источник

Конспект урока на тему «Решение кубических уравнений».

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Конспект урока на тему

«Решение кубических уравнений».

Учитель высшей квалификационной категории МБОУ «Лицей №145» Авиастроительного района города Казани Вересова Надежда Николаевна

Цель: 1) Повторить основные методы решения уравнений высших степеней, тригонометрических уравнений.

2) Сформировать умение и навыки решения неполных кубических уравнений.

Указать методы решения следующих уравнений.

(Уравнения записаны на доске)

если возможно, то решить

— указать не менее 4-х методов решения

Резюме: Какие основные методы решения вы использовали?

(Разложение на множители, замена переменных, метод перебора крайних коэффициентов, метод промежутков, решение симметричных уравнений)

Сложно устно решить уравнения №3 и №7. Будем решать их вместе.

В тетрадях запишите число, классная работа.

У доски работает тот, кто указал метод решения уравнения.

По теореме, обратной к теореме Виета

Возвращаясь к переменной х, имеем:

Какие есть вопросы? Оценка за решение.

Изучение нового материала.

Случается, что общие методы решения уравнений, не приводят к результату. Нужно знать частные методы. Наша задача сегодня рассмотреть один из частных методов решения неполных кубических уравнений.

Запишите тему урока «Решение неполных кубических уравнений».

Одним из методов решения является метод тригонометрических подстановок.

Нельзя ли заменить х одной из тригонометрических функций и увидеть формулу?

. Какую формулу увидели?

Т.к. уравнение третей степени имеет не более 3-х корней, то все корни найдены.

— А если коэффициенты уравнения не будут 4 и -3 , тогда ведь этот способ не подойдёт?

А вот для других случаев докажем теорему.

Теорема: Любое неполное кубическое уравнение можно привести к виду

При помощи этой подстановки любое уравнение вида можно решить ранее рассмотренным способом.

Домашнее задание конспект

(выделить полный куб).

любым известным методом

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДБ-819155

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

«Спутник» объявили словом года в России

Время чтения: 2 минуты

МГУ с 8 ноября переходит на смешанный формат обучения

Время чтения: 1 минута

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ

Время чтения: 1 минута

Новый ГОСТ на окна с защитой для детей вступает в силу 1 ноября

Время чтения: 1 минута

В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник