в каком классе проходят интегралы и дифференциалы

Урок по теме «Интеграл. Применение интеграла». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, плакаты “Применение интеграла”, карточки с заданиями, переносные доски.

I. Мотивационно-ориентировочный этап

1. Организационный момент.

2. Сообщение темы и целей урока.

II. Актуализация опорных знаний:

1. Фронтальный опрос:

а) что называется интегралом?

б) как вычисляется интеграл?

в) существуют ли формулы для интегрирования произведения и частного функций?

а) среди данных трех функций укажите такую, что две другие являются соответственно производной и первообразной для нее:

1) .

Ответ: f(x)- функция, g(x)-производная, h(x)– первообразная.

б) вычислите интеграл с помощью графика: .

в) вычислите: .

г) В чем ошибка? Как ее исправить?

.

III. Этап обобщения и систематизации изученного

1. Используя вышеупомянутые правила, вычислим интегралы: (слайд 2) (класс вычисляет интегралы письменно в тетрадях, а 2 ученика за доской, после окончания работы уч-ся на местах проверяют правильность выполненного в тетрадях по уже открытым доскам)

а) б) в) г)

2. За первую парту идут работать 2 ученика. Их задача требует найти ошибки в данных примерах:

I. а)

II. а)

б) б)

в) в)

г) г)

Ответ: ошибки в I (a;в), во II (а;в).

3. Ответить на вопросы:

а) в чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

б) что называется криволинейной трапецией?

в) посмотрите на экран и укажите, каким рисункам соответствуют данные способы вычисления площади заштрихованной фигуры:

а) б) в) г) д) ? (слайд 3)

4. Используя вышеупомянутые правила, решите следующие задачи:

а) найдите площадь фигуры ограниченной линиями: (три ученика выполняют у доски, класс в тетрадях), (слайд 4)

1.

2.

3. и касательной к графику в точке с абсциссой и осью у.

б) Обратите внимание, в каких еще заданиях используется интеграл: (два ученика на переносных досках), (слайд 5)

1) Решите уравнение:	2) Решите неравенство:
.	.

Ответы: ; .

в) (два ученика выполняют задания у доски, класс в тетрадях)

1. Найдите пары чисел а и b, при которых функция f (x) удовлетворяет данным условиям:

. Ответ: а=3; в=1.

2. При каком положительном значении параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями

1. Домашнее задание. Раздать карточки с домашним заданием.

а) найти общий вид первообразных для функции .

б) вычислите интеграл: .

в) вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , у = 0,

, .

г) вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Источник

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие « интеграл »

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Свойства определенного интеграла

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №52. Производная и интеграл.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Производной функции в данной точке называется предел разностного отношения:

Уравнение касательной к графику данной функции в данной точке y=f(x)+f ‘(x₀)(x-x₀)

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (a; b), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких, что х₁ у₂. Иными словами, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности этой функции. Слова «функция монотонна на данном промежутке» означают, что функция на этом промежутке возрастает или убывает.

Точка х₁ называется точкой максимума функции f, если для всех х из окрестности точки х₁ выполняется неравенство f(x) f(x₂).

Для точек максимума и минимума принято общее название – точки экстремума.

Значения функции в этих точках называют соответственно максимумами и минимумами. Их общее название – экстремум функции.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x)=F'(x) в каждой точке промежутка (a; b).

Дифференциальные уравнения связывают функцию и ее производные различных порядков. В дифференциальном уравнении в качестве неизвестной выступает не число, а функция.

Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество.

Фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции f(x), заданной на отрезке [a; b], отрезком [a; b] и прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Разность значений первообразной F для функции f точках b и a называется определенным интегралом этой функции от a до b.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни– 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов http://fcior.edu.ru/

Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов http://school-collection.edu.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение производной

Напомним, что производной функции в заданной точке называется предел разностного отношения:

Напомним правила вычисления производных:

Найти производную функции:

Ответ: .

2. Решение задач с помощью производной.

Найдем угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс.

Найдем производную данной функции: .

Так как нам нужно узнать угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс, нам нужно найти эти точки пересечения. Для этого решим уравнение: .

То есть график данной функции пересекает ось абсцисс в трех точках с найденными абсциссами.

, , угол тупой, функция убывает

, , угол острый, функция возрастает

, угол острый, функция возрастает

Вспомним механический смысл производной.

Движение материальной точки описывается данным уравнением:

Найти скорость и ускорение точки в момент времени 3.

Теперь напомним решение задачи на наибольшее и наименьшее значение, которая также решается с помощью производной.

Найти прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность радиуса R.

Исследуем функцию

При

Прямоугольником наибольшей площади, вписанным в круг радиуса R, является квадрат со стороной .

3. Теперь перейдем к повторению первообразной и интеграла.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x)=F'(x) в каждой точке промежутка (a; b).

Все первообразные для данной функции отличаются друг от друга на константу

Покажем, что функция является первообразной для функции .

Найдем производную: .

Преобразуем полученную функцию:

.

Получили функцию f(x).

Найдите первообразную для функции , удовлетворяющую заданным условиям: F(1)=6.

Для функции первообразными является функции вида

Ответ:

Точка движется прямолинейно с ускорением

Найдите закон движения точки, если в момент времени t=1с ее скорость равна 10м/с, а координата равна 12 (единица измерения ускорения 1м/с 2 )

,

,

Ответ:

.

(куб.ед)

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций.

.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найдем производную данной функции, сначала преобразуем функцию, выделив целую часть: .

Теперь найдем производную:

.

Так как на данном отрезке функция имеет единственную точку экстремума (максимум), то наибольшее значение она принимает в этой точке.

2. Вычислите массу участка стержня от x_1 до , если его линейная плотность задается формулой .

Масса участка стержня на заданном участке выражается интегралом: .

Для того чтобы найти массу участка стержня от до x_2, если его линейная плотность задается формулой , вычислим интеграл:

.

Ответ: .

3. Найти путь, пройденный при свободном падении телом за первые 5 секунд (ускорение равно 9,8 м/с 2 )

Скорость в момент времени t равна 9,8t.

Значит, путь, пройденный за промежуток времени [0; 5], выражается определенным интегралом:

м

Источник