в каком классе проходят факториал

Класс: 5

Презентация к уроку

Тип урока – изучение нового материала с элементами закрепления.

Оборудование – презентация к уроку.

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся1. Организационый моментПроверяется готовность учеников к уроку.2. Объяснение (слайды 1-4).Сегодня у нас с вами очень интересная тема «Факториал числа».

Быль: «Однажды на экзамене…»

Преподаватель: Прочитайте выражение:

Студент: Единица, деленная на два-а-а. Плюс единица, деленная на три-и-и. Плюс единица, деленная на четы-ы-ыре.

Преподаватель: Постойте, постойте…Почему вы кричите?

Студент: Но там же написаны восклицательные знаки.

Давайте узнаем, что обозначает символ восклицательного знака в математике.
Факториалом числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n:

(n! читается: «эн факториал»).Записывают тему урока в тетрадь.

Записывают определение в тетрадь.3. Закрепление (слайды 5-9).Давайте решим следующие примеры:

, , .

3. Приведи к несократимому виду дроби:

, , , , , .

4. Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю:

, , , .

5. Найди значение разностей:

, , , .

Запиши следующие две разности и найди их значение. Чему равна разность ?

Решают примеры, опираясь на введенное определение.4. ИтогИтак, что такое факториал числа?Отвечают на поставленный вопрос.5. Постановка домашнего задания.Придумайте 5 примеров
с использованием факториала числа.Записывают домашнее задание.

Использованная литература:

Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Математика. 5 класс. Часть 2.- М.: Издательство «Ювента», 2007.

Источник

Презентация по математике на тему «Факториал»(5 класс)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Описание презентации по отдельным слайдам:

ЦЕЛЬ : решать задачи из раздела «Комбинаторика». Объект исследования: раздел математики – «Комбинаторика».

задачи исследования: 1) определить одну из областей применения формул комбинаторики; 2) провести перебор вариантов ; 3) посмотреть методы решения задач комбинаторики.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучают вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям можно составить из данных объёктов. Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходиться заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности. Комбинаторика нужна для изучения раздела математики «Теория вероятностей», который будет являться обязательным при изучении школьного курса математики.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. В Китае увлекались составлением магических квадратов, в Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов стихотворных размеров. Комбинаторные задачи возникли в связи с такими играми, как шашки, шахматы, карты, кости и др. Чтобы их решить, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям.

С помощью таблицы 12 вариантов! Плюшка Бутерброд Пряник Кекс Кофе Сок Кефир

Дерево возможных вариантов * БББ, ББК, БКБ, КБК, ККБ, ККК

В данных примерах был осуществлен способ перебора возможных вариантов (возможных комбинаций). Решения данных задач основывается на общем правиле умножения.

«Правило умножения» Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В

С помощью графов По окончанию деловой встречи 4 специалиста обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько визитных карточек было роздано? Решение. Ответ. 12 визиток 1 2 4 3 1

Посчитаем число перестановок для 4 элементов: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.

Для числа перестановок n элементов есть обозначение: n! Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4= 24

Свойство факториала (n + 1)! = (n + 1) * n!. п = 3, (3 + 1)!=(3 + 1) * 3!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДБ-179092

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Новый ГОСТ на окна с защитой для детей вступает в силу 1 ноября

Время чтения: 1 минута

Российские педагоги чаще всего жалуются на излишнюю отчетность и низкую зарплату

Время чтения: 2 минуты

В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов

Время чтения: 0 минут

«Спутник» объявили словом года в России

Время чтения: 2 минуты

Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Факториал

Факториал: определение

Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал».

Факториал определен для целых неотрицательных чисел. Это значит, что вот так нельзя:

Число должно быть целое и положительное:

Вычисляется факториал по формуле: путем умножения всех чисел от одного до значения самого числа под факториалом. Факторизация — это разложение функции на множители.

Мы видим, что 4! — это 3!*4
5! — это 4!*5
6! — это 5!*6

Формулы и свойства факториала

Чтобы узнать, как вычислять факториалы быстро — воспользуемся табличкой. Сохраняйте себе и решайте раньше остальных.

Факториалов в математике 9 класса — полно. Чтобы всегда быть готовым решить пример, запомните основные формулы:

С помощью формулы Стирлинга можно вычислить факториал многоразрядных чисел.

Такая формула дает результат с небольшой погрешностью.

Рекуррентная формула

Для решения примеров обращайтесь к таблице.

Примеры умножения факториалов:

Примеры решений

Давайте поупражняемся и решим пару примеров.

1. Сократите дробь:

Далее сокращаем по принципу сокращения обыкновенных дробей.

2. Вычислите значение выражения с факториалом: 8! + 5!

Можно для решения факториалов воспользоваться таблицей и вычислить быстрее.

А можно потренироваться и разложить их:

8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 7!*8 = 5040 * 8 = 40320
5! = 1*2*3*4*5 = 4!*5 = 120
40320 + 120 = 40440
8! + 5! = 40440

3. Вычислите значение выражения:

7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5! * 6 *7

Далее сокращаем все, что можем сократить (3*2=6, сокращаем числа 6) и получаем ответ.

4. Вычислите значение выражение:

Вы уже знаете, как найти факториал — раскладываем 70 и 49:
70! = 1*2*3*. *69 = 69! * 70
49! = 1*2*3*. 49! * 48

Далее сокращаем все одинаковые множители.

5. Сократите дробь:

Проводим разложение на множители при помощи формул сокращенного умножения (x+1)x(x-1) и сокращаем все одинаковые множители (x-1)!.

Если вы все еще считаете, что факториал бесполезен и не может помочь вам в жизни, то это не так. Он помогает легко вычислять вероятности (а это бывает нужно чаще, чем кажется). К тому же, комбинаторика необходима тем, кто собирается работать в IT. Поэтому решайте побольше задачек на факториалы, в мире будущего без них — никуда.

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

Конспект урока «Перестановки и размещения. Факториал.» (8класс)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Тема: Перестановки и размещения. Факториал.

Форма занятия: лекция с решением задач.

— научить решать задачи с использованием формул факториала, перестановок и размещений;

— проверить понимание материала, изученного на уроках

— ввести понятия перестановок и размещений, факториала;

— ввести формулы для их вычисления;

— создать условия для развития логического мышления и памяти;

— расширять математический кругозор

— воспитывать культуру письма, речи

— формировать чувство ответственности за принятое решение

ТСО Используется мультимедийная презентация, в которой сохранена структура занятия, изложенная в данной разработке (презентация к уроку №2 )

2. Актуализация знаний учащихся (вопросы по материалу лекции)

— дайте определение комбинаторики;

— сформулируйте правило умножения;

— сформулируйте обобщённое правило умножения.

3. Проверка усвоения правила умножения.

Решение задач (совместно с учителем) с фронтальным опросом.

а) Сколько имеется трехзначных чисел, составленных только из четных цифр? (слайд 4)

Первой цифрой может быть 2,4, 6 или 8, всего 4 варианта. Второй и третьей цифрой, независимо от выбора первой, может быть любая из цифр 0, 2,4, 6, 8, всего 5 вариантов. По правилу умножения получаем ответ: 4·5· 5 = 100.

б) Сколько имеется трехзначных чисел, кратных 5? (слайд 6)

Объяснение нового материала.

В комбинаторике принято каждому виду комбинаций давать специальное название.

При решении конкретных задач на подсчет количества способов или вариантов выбора элементов из заданного множества необходимо четко понимать, о каком способе или варианте выбора идет речь. Поэтому различные выборки получили в комбинаторике специальные названия.

Сейчас мы познакомимся с двумя такими видами — перестановками и размещениями.

Перестановкой из п элементов называется комбинация, в которой все эти п элементов расположены в определенном порядке. Таким образом, перестановки отличаются друг от друга только порядком расположения элементов. (слайд 8)

Пример 1. (слайд 9)Вот все перестановки из букв А, В, С, выписанные в лексикографическом порядке:

Размещением из п элементов по k называется комбинация, в которой какие-то k из этих п элементов расположены в определенном порядке. Таким образом, размещения отличаются друг от друга не только порядком расположения элементов, но и тем, какие именно k элементов выбраны в комбинацию. (слайд 11)

Пример 2. Вот все размещения из букв А, В, С по 2:

АВ, ВА, АС, СА, ВС, СА. (слайд 12)

С помощью правила умножения легко вычисляются количества перестановок и размещений. Найдем эти количества.

При формировании перестановки из п элементов первый элемент можно выбрать п способами, после чего второй элемент — (п — 1) способами (так как один элемент уже выбран), после чего третий элемент — (п — 2) способами и так далее. Всего получаем

(таблицу можно дать под запись и использовать при решении задач)

Отметим также, что для удобства полагают 0!=1.

размещений (в этом произведении как раз k сомножителей). Это произведение можно «свернуть» в дробь с использованием факториалов:

Найденные нами количества перестановок и размещений имеют в комбинаторике специальные обозначения и (читаются как «пэ из эн» и «а из эн по ка»). С использованием этих обозначений выведенные формулы для числа перестановок и размещений запишутся так:

(слайд 13)
А теперь решим с помощью этих формул несколько задач.

Решение. (слайд 15) Каждый такой способ это перестановка из 10 элементов. Всего таких перестановок будет

Задача 2. (слайд 16) Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Решение. (слайд 17) Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет . Если цифры не повторяются, то .

Задача 3. (слайд 18) Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно
.

Задача4. (слайд 20) В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики (алгебра и геометрия) стояли рядом?

Решение: (слайд 21)Рассмотрим алгебру и геометрию как один урок. Тогда расписание надо составить не из 6, а из 5 уроков – Р₅ способов. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р₂ перестановки алгебры и геометрии. Значит, искомое число способов составления расписания:

Задача 5. (слайд 22)Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных?

Решение. (слайд 23) Если мальчики и девочки сядут в один ряд в произвольном порядке, то это можно сделать Р₁₀=10!=3628800 способами. Если мальчики сядут на нечетные места, то существуют Р₅ способов их расположения. Столькими же способами могут расположиться девочки на четных местах. Каждому способу расположения мальчиков соответствует Р₅ способов расположения девочек.

Значит, расположиться так, что мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных, можно Р ₅ ·Р ₅ =5! ·5!=120·120=14400 способами. Задача 6. (слайд 24) Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Найдите значение выражения:

а) б) в) г)

Решение: (слайд 27)а) б)

в) г)

Попробуем сделать некоторые выводы: (слайд 28)

Типичная задача, решаемая с помощью размещений: Сколькими способами можно выбрать из n различных предметов k предметов и разместить их на k различных местах?

Типичная задача решаемая с помощью перестановок: Сколькими способами можно n различных предметов расставить на n различных местах?

Повторим ещё раз как можно вычислить перестановки и размещения?

Размещение =

Выучить лекцию и решить задачи. (слайд 29)

Задача 1. (слайд 30) 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет . А три книги можно переставлять между собой способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно: * =3!*28!

Задача 2. (слайд 30) На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4×100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

Решение. В этом задании идет речь о размещениях из 12 элементов по 4. Таким образом, искомое число выбора спортсменок равно = 12·11·10·9 = 11880 способов.

Делится ли число 30! на:

Решение. а) 90=2·5·9. Среди множителей числа 30! есть числа 2, 5 и 9. значит, число 30! делится на 90.

б) 92=4∙23. Среди множителей 30! есть числа 4, 23. Значит, число 30! делится на 92.

в) 94=2·47. Число 47 простое и больше, чем 30. Так как среди множителей числа 30! нет числа 47, то число 30! не делится на 94.

Источник