в каком классе изучают векторы

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №17. Вектор в пространстве

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

знакомство с правилами действий с векторами в пространстве.

— познакомиться с основными понятиями, используемыми в данной теме;

— сформировать представление о векторных и скалярных величинах;

— научиться выполнять действия с векторами, преобразовывать векторные выражения.

учащиеся научатся различать векторные и скалярные величины, выполнять действия с векторами в пространстве и применять законы действий с векторами для преобразования и упрощения векторных выражений.

Сортировка по категориям скалярных и векторных величин. Отличительные особенности векторных величин. Повторяется определение вектора из курса планиметрии.

Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса2016. С.88-93.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

2)Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Пусть два ненулевых вектора и коллинеарные. Если при этом лучи АВ и СD сонаправлены, то и называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и называются противоположно направленными.
Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором. Запись означает, что векторы и сонаправлены, а запись — что векторы с и d противоположно направлены.

3)Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Интерактивная модель «Равные, противоположные, нулевые, сонаправленные, противоположно направленные векторы «.

4)Действия над векторами. Сложение векторов по правилу треугольника.

Для этого нужно от произвольной точки пространства отложить вектор , равный , затем от точки В отложить вектор , равный . Вектор называется суммой и . Для любых трех точек А, В и С имеет место равенство +=

5)Сложение векторов по правилу параллелограмма:

Для этого векторы откладывают от одной точки. Это правило пояснено на рисунке.

Интерактивная модель «Законы действия с векторами».

Сумма нескольких векторов в пространстве находится так же, как и на плоскости и не зависит от порядка слагаемых.

Интерактивная модель «Правило многоугольника».

6)Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

Источник

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

План-конспект и анализ урока

по алгебре в 9 классе МОУ «СОШ №61» города Магнитогорска

на тему «Сложение векторов», проведенного

Шараповой Дарьей Андреевной,

курсов профессиональной переподготовки

«Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Тип урока: урок изучения новых знаний.

Ввести понятия: сумма векторов, правила сложения векторов.

Уметь находить сумму векторов по правилу треугольника и правилу параллелограмма

Применять правила сложения при решении задач.

Учащиеся должны научиться:

1. Приобретать математические знания и умения.

2. Находить сумму векторов по правилу треугольника, правилу параллелограмма, правилу многоугольника.

3. Уметь решать задачи, опираясь на знание законов физики, применять знания в новой ситуации.

4. Формировать умения работать с задачей.

5. Развивать устную речь, учить анализировать, сравнивать, делать выводы, осуществлять перенос знаний и умений в нестандартной ситуации.

6. Воспитывать умение слушать других и высказывать свою точку зрения.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/

закрепят/др. ученики в ходе урока:

Учащиеся актуализируют знания вектор, нулевой вектор, сонаправленные и противоположно направленные векторы, векторные величины. Приобретут новые знания: сложение векторов по правилу треугольника, параллелограмма, многоугольника.

Приобретут умение решать задачи на сложение векторов.

Приобретут знания правил сложения векторов.

Приобретут общеучебные умения и навыки: анализировать, выделять признаки понятий, делать вывод, грамотно выстраивать речь.

Закрепят знания о векторах, полученные ранее.

Необходимое оборудование и материалы:

Компьютер, интерактивная доска с мультимедиапроектором.

Учебник (Л. С. Атанасян и др.)

Крылов И.А. басня «Лебедь, рак и щука»

Перельман Я. И. «Занимательная физика»

Подробный конспект урока

Высокая познавательная активность обеспечивается мультимедиа компонентом, самостоятельной поисковой деятельностью учеников.

Постановка проблемы (задача).

Актуализация знаний учащихся. (Самостоятельная работа учащихся).

Самостоятельная работа по приобретению новых знаний. (Устная работа).

Исследовательская самостоятельная работа по приобретению новых знаний. (Работа в группах).

Закрепление изученного материала.

Итоги работы (рефлексия деятельности).

Здравствуйте, послушайте басню Крылова Н.А. «Лебедь, рак и щука»

Презентация, слайд № 2. На слайде басня Крылова Н.А. «Лебедь, рак и щука» Постановка проблемы. «А воз и ныне там?»

Когда в товарищах согласья нет,

На лад их дело не пойдет,

И выйдет из него не дело, только мука.

Однажды Лебедь, Рак да Щука

Везти с поклажей воз взялись,

И вместе трое все в него впряглись;

Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!

Поклажа бы для них казалась и легка:

Да Лебедь рвется в облака,

Рак пятится назад, а Щука тянет в воду.

Да только воз и ныне там.

Тема сегодняшнего урока « Сложение векторов»

Цель работы: Сформировать навыки учащихся по нахождению суммы векторов, используя различные правила сложения. Сегодня на уроке попытаемся выяснить прав ли Крылов Н.А. «А воз и ныне там?»

Актуализация знаний учащихся.

Презентация, слайд № 3. Содержание слайда: Таблица с вопросами, на которые учащиеся должны ответить на листочке, затем взаимопроверка, ответы появляются на слайде

1. Как называются величины, которые имеют не только числовые значения, но и направление в пространстве.

2. Какие физические величины можно представить в виде вектора.

Скорость, сила тяжести, сила инерции. Перемещение материальной точки

4. Какой вектор называется нулевым

Нулевой вектор-это вектор, у которого начало и конец совпадают.

5. Дайте определение коллинеарных векторов.

Векторы называются коллинеарными, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

6. Выпишите векторные величины: масса, температура, длина, площадь, сила, скорость, длина?

Презентация, слайд № 4. Содержание слайда: задачи

Презентация, слайд № 5

Даны два вектора АВ и АС, они выходят из одной точки. Найдите их сумму.

Презентация, слайд № 6

Даны два противоположных вектора, найдите сумму.

Решение задач разбирается на доске, в тетради ученики оформляют чертежи и записывают правила сложения векторов : 1. Правило треугольника, 2. Правило параллелограмма. 3. Сложение противоположных векторов

Презентация, слайд № 7

Содержание слайда: Разминка для глаз. Появляются различные векторы

4 . Исследовательская самостоятельная работа учащихся по приобретению новых знаний. (Работа в группах)

На столах тексты с задачами на сложение векторов.

Из норки выбежали двенадцать мышек и увидели кусочек сыра в виде прямоугольника, они с разных сторон взялись его нести, удастся ли им принести его в норку?

Представьте басню в виде задачи сила тяги лебедя, сила тяги рака, сила тяги щуки и выясните, чему будет равна сумма всех сил, действующих на тело?

Выполняя задания, ученики строят чертеж и представляют результаты работы на доске

Презентация, слайд № 8. Содержание слайда Решение задачи «Мышки и сыр»

Находим сумму противоположных векторов, она равна нулю, затем находим сумму остальных векторов.

Презентация, слайд № 9. Содержание слайда. Рисунок к задаче «Лебедь, рак и щука»

Презентация, слайд № 10. Содержание слайда Решение задачи «Лебедь, рак и щука» История о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись», известна всем. Но едва ли кто пробовал рассматривать эту басню с точки зрения механики. Результат получается вовсе не похожий на вывод баснописца Крылова. Перед нами механическая задача на сложение нескольких сил, действующих под углом одна к другой. Направление сил определено в басне так:

Лебедь рвется в облака,
Рак пятится назад, а щука тянет в воду.

Это значит (см. рис.), что одна сила, тяга лебедя, направлена вверх; другая, тяга щуки (ОВ), – вбок; третья, тяга рака (ОС), – назад. Не забудем, что существует еще четвертая сила – вес воза, которая направлена отвесно вниз. Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех приложенных к возу сил равна нулю.

Задача о крыловских лебеде, раке и щуке, решенная по правилам механики.
Равнодействующая ( OD ) должна увлекать воз в реку. Так ли это? Посмотрим. Лебедь, рвущийся к облакам, не мешает работе рака и щуки, даже помогает им: тяга лебедя, направленная против силы тяжести, уменьшает трение колес о землю и об оси, облегчая тем вес воза, а может быть, даже вполне уравновешивая его, – ведь груз невелик («поклажа бы для них казалась и легка»). Допустив для простоты последний случай, мы видим, что остаются только две силы: тяга рака и тяга щуки. О направлении этих сил говорится, что «рак пятится назад, а щука тянет в воду». Само собой разумеется, что вода находилась не впереди воза, а где-нибудь сбоку (не потопить же воз собрались Крыловские труженики!). Значит, силы рака и щуки направлены под углом одна к другой. Если приложенные силы не лежат на одной прямой, то равнодействующая их никак не может равняться нулю.

Поступая по правилам механики, строим на обеих силах ОВ и ОС параллелограмм, диагональ его OD дает направление и величину равнодействующей. Ясно, что эта равнодействующая сила должна сдвинуть воз с места, тем более, что вес его полностью или частично уравновешивается тягой лебедя. Другой вопрос – в какую сторону сдвинется воз: вперед, назад или вбок? Это зависит уже от соотношения сил и от величины угла между ними.

Читатели, имеющие некоторую практику в сложении и разложении сил, легко разберутся и в том случае, когда сила лебедя не уравновешивает веса воза; они убедятся, что воз и тогда не может оставаться неподвижным. При одном только условии воз может не сдвинуться под действием этих трех сил: если трение у его осей и о полотно дороги больше, чем приложенные усилия. Но это не согласуется с утверждением, что «поклажа бы для них казалась и легка».

Во всяком случае, Крылов не мог с уверенностью утверждать, что «возу все нет ходу», что «воз и ныне там». Это, впрочем, не меняет смысла басни.

5. Закрепление изученного материала.

Презентация, слайд № 10. Содержание слайда: Чертежи по задачам из учебника.

Решение задач из учебника у доски и в тетради

6. Итоги работы (рефлексия деятельности).

1. Какие знания вы приобрели сегодня на уроке?

2. Где можно применить полученные знания?

3. Достигли ли вы поставленной цели?

4. Какие правила сложения векторов вы узнали на уроке?

5. Сможете ли вы самостоятельно построить сумму векторов?

Оценить работу учащихся на уроке.

7. Домашнее задание.

Презентация, слайд № 11. Содержание слайда:

Уметь строить сумму векторов, используя правила сложения: № 753, № 754, № 755, самостоятельно рассмотреть правило многоугольника.

Творческая задача : Подобрать задачи из учебника физики, по теме сложение векторов

Использованные источники и литература:

Перельман Я.И.: Занимательная физика. В 2 томах 1976 г.; М.: Наука.

Геометрия. Сборник рабочих программ 7-9 классы: пособие для учителей общеобразовательных учредений/ составитель Т.А. Бурмистрова. – М. : Просвещение, 2011.

Источник

Векторный метод в школьном курсе геометрии

Разделы: Математика

Традиционно одной из самых сложных тем школьного курса геометрии является тема “Векторный метод в решении задач”. В то же время понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики. Конец XIX и начало XX столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Будучи материалом математическим, векторный аппарат находит широкое применение в первую очередь в физике и других прикладных науках. Векторный метод является одним из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач, особенно в сочетании с координатным методом.

В данной работе рассмотрены основные свойства векторов, которые следует отнести к векторной алгебре. Приведена классификация задач и приемов их решения с использованием векторного метода.

Целью статьи является не столько пересказ учебного материала, отраженного во всех школьных учебниках геометрии, сколько акцентуация внимания на некоторых вопросах, которые вызывают наибольшую методическую трудность, вопросах, активизирующих мыслительную деятельность обучающихся, могущих послужить основой для небольших учебных исследований.

Термин вектор употребляют в геометрии по крайней мере в двух смыслах. С одной стороны, вектором называют направленный отрезок, с другой стороны, вектор понимают так, как понимают в физике “векторные величины”. Различают соответственно “конкретный вектор” – направленный отрезок и “абстрактный (или, как принято говорить, свободный) вектор”.

Направленным отрезком называют отрезок, у которого указан порядок концов, т.е. один конец назван началом, а другой конец – концом этого отрезка. Направленный отрезок называют вектором. Вообще, вместо векторов – направленных отрезков часто рассматривают “векторы” – упорядоченные пары точек: одна точка начало, другая – конец, не исключая их совпадения.

Свободным вектором (или просто вектором) называется абстрактный объект, связанный с равными направленными отрезками тем, что каждый из равных направленных отрезков считается представителем данного свободного вектора, а неравные направленные отрезки представляют собой неравные свободные векторы. Так понимаемый вектор называется свободным потому, что он представляется направленным отрезком независимо от того, от какой точки он отложен. Равные направленные отрезки и представляют один и тот же вектор.

В частности, все нуль–векторы представляют один и тот же нуль–вектор, который обозначается .

Вектор характеризуется направлением и длиной (модулем). Задать вектор, – значит, задать направление и длину. Длина нуль–вектора равна 0, а направления он не имеет. Изображается нуль вектор любой точкой, которая рассматривается, как его начало и конец. Считается, что нулевой вектор параллелен и перпендикулярен любому вектору.

2. ОСНОВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И СВОЙСТВА.

Равные и коллинеарные векторы

Свойства векторов полезно рассматривать в аналогии со свойствами скалярных величин. Например, свойства равных векторов в аналогии со скалярными величинами представлены в следующей таблице:

скаляры а=арефлексивностьa=bb=aсимметричность, a=b, b=c a=cтранзитивность

Общеизвестно следующее свойство равных веторов: если четырехугольник ABCD – параллелограмм, то .

Введя этот признак, можно озадачить учащихся такими вопросами:

1. О равенстве каких еще векторов, можно говорить применительно к параллелограмму ABСD?
2. Можно ли утверждать, что при наличии пары равных векторов можно получить и другую пару также равных векторов?
3. Можно ли найти равные векторы в каких–либо пространственных телах (например, в параллелепипеде, призме)?

И еще одно свойство: от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (сравните со свойствами параллельных прямых).

Задача. Как видно из свойств равных векторов, любые два вектора, равных между собой, но не лежащих на одной прямой, принадлежат некоторому параллелограмму. Что можно сказать о векторах, составляющих основания трапеции? Что можно сказать о векторах, принадлежащих основаниям усеченной призмы?

Учащиеся должны продемонстрировать понимание разницы между равными векторами и коллинеарными. К тому же необходимо “увидеть” не только сонаправленные, но и противоположные векторы.

Сумма векторов. Умножение вектора на число.

Рассмотрим свойства суммы также в аналогии со скалярами:

Весьма полезно после этого разобрать, какие из рассмотренных свойств имеют аналогию со свойствами произведения скалярных величин, а какие – нет.

Координаты вектора. Скалярное произведение.

Проекцией v_x вектора на ось х называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком “+”, если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком “–” в противном случае. Заметим, что проекция вектора на ось равна длине этого вектора умноженной на косинус угла между вектором и осью.

При разложении вектора на составляющие вдоль осей координат в декартовой системе координат вводится понятие координат вектора как коэффициентов разложения: если то вектор имеет координаты . При этом длина вектора равна

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их абсолютных величин на косинус угла между ними: .

В декартовой системе координат скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов: Весьма полезным при изучении данной темы может оказаться рассмотрение аналогичных определений в трехмерной модели пространства:

3. КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОТРАБОТКИ ПОНЯТИЙНОГО АППАРАТА И ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ С ВЕКТОРАМИ.

4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ

Векторный аппарат используется при доказательстве некоторых теорем и решении многих задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить. Хотя следует иметь в виду, что векторный метод не является универсальным и к решению некоторых задач может быть неприменим или малоэффективен.

После изучения основных понятий и фактов, целесообразно провести обобщающий урок, результатом которого должна стать следующая таблица, используемая в дальнейшем при решении задач более высокого уровня.

Ключом к решению задач указанных типов является приведенная выше таблица.

5. КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ ФОРМИРОВАНИЮ УМЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД.

1) Отрезки АВ и СD параллельны. Записать это соотношение в векторной форме.
2) Точка С принадлежит отрезку АВ и АВ:ВС=m:n. Что означает это на векторном языке?

7.8. Докажите.

Задачи указанных типов формируют умения и навыки, являющиеся компонентами векторного метода решения задач. В процессе решения этих задач вырабатываются критерии использования векторов для доказательства различных зависимостей. Приведем несколько примеров задач, при решении которых использован векторный метод.

Источник