в каком классе изучается теорема фалеса
Геометрия. 8 класс
Возьмем лист бумаги с параллельными краями, отложим не нем произвольный отрезок AB и проведем прямые, перпендикулярные AB. Согнем лист по этим перпендикулярам, повторим сгибы несколько раз и раскроем лист. Измерим отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1.
Повторим такие же действия с листом бумаги, у которого края не параллельны. Измерим отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1.
И в первом и во втором случае отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1 равны. Их равенство доказывается теоремой, которую нызывают по имени греческого математика Фалеса Милетского.
Формулировка теоремы Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных).
Дано: А1А2 = А2А3
c || d || e
Доказать: В1В2 = B2В3
Доказательство:
А) пусть a || b
А1А2 = В1В2
А2А3 = B2В3
Как противоположные стороны параллелограммов. По условию А1А2 = А2А3, следовательно В1В2 = B2В3
Б) пусть a ≠ b
Проведем прямую k, параллельную прямой a, она пересечет прямую с в точке F, прямую d в точке В2, прямую e в точке Е.
A1FB2A2 – параллелограмм, значит А1А2 = FB2
Аналогично доказывается, что А2А3 = B2E, по условию А1А2 = А2А3, значит FB2 = B2E. Треугольники B1FB2 и B2B3E равны по стороне и двум углам.
Следовательно, В1В2 = B2В3
В общем виде теорема Фалеса формулируется так: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.
Есть и более короткая формулировка: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.
Доказанная выше теорема является частным случаем общей теоремы Фалеса, так как равные отрезки пропорциональны с коэффициентом, равным единице.
Для теоремы Фалеса верно обратное утверждение:
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.
В этой теореме важно, что равные отрезки начинаются от вершины.
С помощью теоремы Фалеса можно разделить данный отрезок на n равных частей.
Пусть дан отрезок AB длиной 8 см. Требуется разделить его на 7 равных частей.
Решение:
Проведем луч с началом в точке А, отличный от отрезка АВ, и отложим на нем с помощью циркуля последовательно семь равных отрезков, начиная от точки А.
Конец последнего отрезка соединим с точкой B и проведем параллельные прямые через каждую из точек до пересечения с отрезком АВ.
Отрезок АВ разделится на 7 частей, они равны между собой по теореме Фалеса.
Фалес Милетский – родился приблизительно в 625 г. умер в середине VI в. до н.э. – родоначальник европейской науки и философии математик, астроном и политический деятель. Фалес происходил из знатного финикийского рода, был современником Солона и Креза, среди сограждан пользовался большим уважением.
В геометрии Фалесу приписывают открытие и доказательство ряда теорем: о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о равенстве вертикальных углов, один из признаков равенства прямоугольных треугольников и другие.
Фалес впервые ввел в науку, и в частности в математику, доказательство.
Теорема Фалеса используется не только в геометрии, но и в морской навигации. Она выступает в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.
Урок геометрии 8 класс. Теорема Фалеса
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
ЦЕЛИ УРОКА Предметные: формировать умение доказывать и применять теорему Фалеса и её обобщение, теорему о пропорциональных отрезках, свойства медиан треугольника и биссектрисы треугольника. Личностные: формировать ответственное отношение к обучению. Метапредметные: формировать умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы.
Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет. Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”. Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.
Актуализация опорных знаний Задания для учащихся Разделите отрезок на две, четыре, три равные части с помощью циркуля. Ясно, что встаёт проблема деления отрезка на равные части. С этой проблемой столкнулись учёные не сейчас, не в этом столетии, а на много веков ранее. И чтобы нам сегодня справиться с возникшей задачей докажем одну из важнейших теорем геометрии. Доказать теорему нам поможет следующая задача
А В С D Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC. Эта задача поможет нам доказать теорему Фалеса
Фалес Милетский Древнегреческий ученый (ок. 625 – 547 гг. до н. э.) Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. 1 случай l1 II l2
1) А1В1В2А2 – параллелограмм по определению 1 случай l1 II l2 Докажем, что В1В2 = В2В3 2) А2В2В3А3 – параллелограмм по определению определение свойства
2 случай l1 l F l1 II l 2) Допустим: B3F II l2 помощь
БЛИЦ-ОПРОС Вы на урок пришли учиться, Не лениться, а трудиться. Решайте старательно, Слушайте внимательно.
Е М М1 М2 М3 М4 МК II М1К1 II М2К2 II М3К3 II М4К4 ЕМ = ММ1 = М1М2 = М2М3 = М3М4 КК4 = 16 см Найти: ЕК4
A B C F E Дано: АС II EF Найти: PАВС 12 5 5 4 4
A B C E Дано: АВСD – трапеция, МК II ВE II СD, АD = 16 cм Найти: АК 10 D K 10
ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА Вот и подошел к концу наш урок. Давайте подведем итоги. Продолжите предложение: 1) на уроке я узнал… 2) на уроке я научился…
Домашнее задание Решить задачи № 369, 371, 376, 378, 380, 382 Выучить доказательство теоремы Фалеса (см. запись в тетради) § 11, с. 78, вопросы 1–4
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-1161775
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Жириновский предложил ввести в школах уроки полового воспитания
Время чтения: 1 минута
В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов
Время чтения: 0 минут
МГПУ вводит QR-коды для посещения очных занятий
Время чтения: 1 минута
Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ
Время чтения: 1 минута
День преподавателя высшей школы будет отмечаться 19 ноября
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Урок геометрии в 8 классе «Теорема Фалеса»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Теорема Фалеса Урок геометрии 8 класс
Прием «Яркое пятно» Греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и фараон, собравшиеся у подножия пирамиды, озадачено смотрели на Фалеса, отгадывающего по тени высоту сооружения. Фалес выбрал день и час, когда его собственная тень была равна его росту, в этот момент высота пирамиды была равна ее тени, говорит предание..
Задача№ 1 Разделите данный отрезок АВ на 8 равных частей. Проверь решение
Задача № 2 Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-040779
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
В Минобрнауки разрешили вузам продолжить удаленную работу после 7 ноября
Время чтения: 1 минута
В Туве предложили ввести антиковидные паспорта для школьников
Время чтения: 2 минуты
Новый ГОСТ на окна с защитой для детей вступает в силу 1 ноября
Время чтения: 1 минута
В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов
Время чтения: 0 минут
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Урок геометрии в 8 классе:»Теорема Фалеса»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Выбранный для просмотра документ pril.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
Великий учёный Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук- геометрию. Известно, что Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, что он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции. Короче: он был то же для Греции, что Ломоносов для России. 624-547г.г. до н.э. Карьеру он начинал как купец и ещё в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привёз он. Фалес- математик. Он измерил по тени высоту пирамиды; установил, что окружность диаметром делится пополам, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Ему же принадлежит теорема, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности- прямой Фалес Милетский
Теорема: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. А1 А3 Дано: угол, параллельные прямые пересекают стороны угла, А1А2=А2А3 Доказать: В1В2=В2В3 Доказательство. Проведём через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. По свойству параллелограмма А1А2=FВ2, А2А3=В2Е. Так как А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е Треугольники В2В1F и В2В3Е равны по второму признаку ( у них В2F=В2Е по доказанному. Углы при вершине В2 равны как вертикальные, а углы В2FВ3равны как внутренние накрест лежащие при параллельных А1В1 и А3В3 и секущей ЕF.) Из равенства треугольников следует равенство сторон: В1В2=В2В3 А2 В1 В2 В3 F E
ЗАДАЧА: РАЗДЕЛИТЕ ДАННЫЙ ОТРЕЗОК НА n РАВНЫХ ЧАСТЕЙ А В 1.Проведём из точки А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ. 2.Отложим на полупрямой а равные отрезки:АА1, А1А2, А2А3, …, Аn-1Аn. 3.Соединим отрезком точку Аn с точкой В. 4.Через точки А1,А2, … Аn-1проведём прямые, параллельные АnВ. 5.По теореме Фалеса отрезки АВ1, В1В2, …,Вn-1В равны. А1 А3 Аn-1 Аn В1 В2 В3 Вn-1 А2 а
Выбранный для просмотра документ Интегрированный урок.doc
Интегрированный урок (математика + информатика)
по теме: «Теорема Фалеса»
Цели урока:
Образовательная : доказать теорему Фалеса, научить применять её при решении задач по математике и информатике.
Развивающая : развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.
Воспитательная : воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.
Оборудование и материалы :
Компьютер, экран, проектор.
Проектная работа “Теорема Фалеса”.
Программа “Живая геометрия”.
Плакат с рисунками 1,2,3.
Показать практическое применение теоретических знаний учащихся при решении задач по геометрии и информатике.
Выявить глубокие связи между математикой и информатикой.
Урок начинает учитель математики. Приветствие и вступительное слово о целях урока.
1. Какие отрезки называются равными?
2. Какие прямые называются параллельными? На рис. 1 покажите параллельные прямые.
3. Какие углы называются вертикальными, внутренними накрест лежащими? Покажите их на рис.2
4. Сформулируйте теорему о свойстве параллельных прямых, пересечённых третьей прямой.
5. Сформулируйте признаки равенства треугольников. По каким признакам равны треугольники на рис 3?
Объяснение нового материала
Учитель математики объясняет новую тему с помощью просмотра проектной работы “Теорема Фалеса”.
Сегодня мы докажем теорему, носящую имя древнегреческого учёного Фалеса, который жил в 624-547г.г. до н.э.
Карьеру он начинал как купец и ещё в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привёз он.
Фалес — математик. Он измерил по тени высоту пирамиды; установил, что окружность диаметром делится пополам, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Ему же принадлежит теорема, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности- прямой.
Фалес доказал теорему: “ Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне ”.
При активном участии учащихся разбирается доказательство теоремы с последовательным показом на экране каждого этапа построения чертежа и доказательства теоремы.
Из условия теоремы Фалеса делается вывод, что вместо сторон угла можно взять любые две прямые.
Затем ученики выполняют в тетрадях практическую задачу на деление отрезка длиной в 7см. на 6 равных частей.
Греческие ученые открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. В ее основу они положили простейшие геометрические свойства, подсказанные опытом. Остальные свойства выводились из простейших с помощью рассуждений.
Все этапы решения задачи учащиеся видят на экране. Это способствует зрительному запоминанию алгоритма решения данной задачи.
Показ проектной работы сопровождается музыкой- игрой на гитаре, что создаёт спокойную рабочую обстановку.
Вторую часть урока ведёт учитель информатики. С помощью программы “Живая геометрия” ученики вместе с учителем на компьютерах делят отрезок на три равные части.
Выполнение практического задания
Разделить данный отрезок на 3-равные части на компьютере с помощью программы “Живая геометрия”.
Используемые ИНСТРУМЕНТЫ “Живой геометрии”:
• линейка (отрезок, луч).
Используемые КОМАНДЫ “Живой геометрии”:
2.Проведем из т. А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ.
3.Отложим на полупрямой а 3 равных отрезка.
Они отсекают на полупрямой а ра в ные отрезки АЕ=ЕР=РО.
4.Соединим точки В и О.
5. Проведем через точки Е и Р прямые, параллельные прямой ВО.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Задача: Разделить отрезок длиной 5 см. на 7 равных частей. Выучить теорему Фалеса.
Урок геометрии в 8 классе по теме «Теорема Фалеса»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Самаркина И.С. МБОУ «Школа №130», г.Казань Теорема Фалеса Геометрия 8 класс
Решите задачи Ответ: 1160, 640, 1160
Решите задачи Ответ: 730, 1350 Ответ: 1480, 1060
Решите задачи Ответ: 1330, 1330, 470 Ответ: 1010, 790, 790
Решите задачи Ответ: 80 см Ответ: 80 см (8 дм)
Определения Трапеция Равнобедренная трапеция Прямоугольная трапеция Средняя линяя трапеции Свойства углов и диагоналей равнобедренной трапеции
Дано: ABCD – трапеция, EF – средняя линия. BC = 10см, АD = 27см. Найти: EF Решите задачи Ответ : 18,5см.
Разделите отрезок на две, четыре, три равные части с помощью циркуля
Фалес Милетский «Отец философии», 624 до н.э – 548 до н.э. Считается, что именно Фалес «привез» геометрию из Египта и познакомил с ней греков. Его деятельность привлекла последователей и учеников, которые образовали милетскую школу. Считается, что с милетской школы начинается история европейской науки.
Легенда рассказывает о том, что Фалес, будучи в Египте, поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды, дождавшись момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.
Считается, что Фалес «открыл» для греков созвездие Малой Медведицы как путеводный инструмент; ранее этим созвездием пользовались финикийцы.
Но одна из важнейших заслуг Фалеса в том, что ему приписываются многие геометрические теоремы круг делится диаметром пополам; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны; при пересечении двух прямых образуемые ими вертикальные углы равны; два треугольника равны, если два угла и сторона одного из них равны двум углам и соответствующей стороне другого.
№ 384 А В С D Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC. Эта задача поможет нам доказать теорему Фалеса М N
l1 l и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков А1 А2 А3 В2 В3 В1
Е М М1 М2 М3 М4 МК II М1К1 II М2К2 II М3К3 II М4К4 ЕМ = ММ1 = М1М2 = М2М3 = М3М4 КК4 – К1К2 = 15 см Найти: ЕК4 К К1 К2 К3 К4 Алтынов П.И. Тесты. 7-9 кл.
Е М М1 М2 М3 М4 МК II М1К1 II М2К2 II М3К3 II М4К4 ЕМ = ММ1 = М1М2 = М2М3 = М3М4 КК4 – К1К2 = 15 см ЕК4 = 25 см К К1 К2 К3 К4 Алтынов П.И. Тесты. 7-9 кл.
A B C E Дано: АВСD – трапеция, МК II ВE II СD, АD = 16 cм Найти: АК 10 D K 10 M 16 Гаврилова Н.Ф. «Поурочные разработки по геометрии: 8 класс»
Домашнее задание Решить задачу № 391 Выучить доказательство теоремы Фалеса (см. запись в тетради или задачи № 384, 385) Выполнить практическую работу: Разделить отрезок на 11 равных частей.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-715760
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки утвердило перечень вступительных экзаменов в вузы
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения планирует прекратить прием в колледжи по 43 профессиям
Время чтения: 1 минута
«Спутник» объявили словом года в России
Время чтения: 2 минуты
В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов
Время чтения: 0 минут
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.