в каком классе доказывают теорему пифагора

Теорема Пифагора

Разделы: Математика

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.

Ход урока

1 этап. Организационный момент.

Кто из вас может уговорить медведя не нападать на людей? Заставить птиц изменить направление полёта? Никто?! А этот человек даже беседовал с быком, и тот под влиянием беседы перестал трогать бобы и поселился при храме… И еще очень много легенд о нем, подобно этим, можно прочитать в различных источниках. Я говорю о Пифагоре – древнегреческом ученом, философе.

Но самое интересное, что существует версия будто Пифагор – это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор – «убеждающий речью».) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора.

Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Он первый дал название своему роду деятельности. Слово «философ», как и слово «космос» достались нам от Пифагора. (Демонстрация портрета.)

2 этап. Изучение нового материала.

Решите задачу: В прямоугольном треугольнике один катет равен 3 см, а другой – 4 см. Найдите гипотенузу.

Сейчас вы не можете быстро ответить на вопрос этой задачи. Так как не знакомы с одной из важных теорем геометрии. Давайте оставим этот чертеж на доске, а в конце урока вы дадите мне правильный ответ.

Сегодня мы познакомимся с теоремой, доказательство которой учащиеся средних веков считали очень трудным, но мы-то справимся, и называли его Dons asinorum – ослиный мост, или elefuga – бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему, служившую для них вроде непреодолимого моста. Учащиеся составляли стихи вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

Это знаменитая теорема Пифагора.

Хотя некоторые историки сомневаются в авторстве Пифагора, утверждая, что её использовали самые разные древние народы. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

А вот и другие формулировки теоремы:

Существуют еще формулировки этой теоремы, а вот доказательств насчитывается более 400.

Все доказательства рассмотреть на одном уроке не возможно, а вот попробовать доказать самим, да еще тремя способами мы попробуем. (Учитель заранее рассаживает учащихся по группам, т.к. задания для каждой группы учащихся будут различного уровня сложности.)

Учащиеся, следуя алгоритму указанному в карточке, самостоятельно доказывают теорему Пифагора. Далее доказательства разбираются около доски с использованием медиапроектора.

Задание для 1 группы учащихся.

Доказать теорему Пифагора способом Аннариция, багдадского математика и астронома (чертеж треугольника на бумаге, ножницы заготовлены заранее).

	На гипотенузе с прямоугольного треугольника с катетами a и b постройте квадрат со стороной с.
	Разбейте полученный квадрат на части, проведя через вершины квадрата прямые параллельные катетам.
	Вырежьте получившиеся фигуры с 1 по 5.
Из полученных фигур составьте квадраты на катетах. Сделайте вывод, исходя из того, что a и b – катеты, с – гипотенуза.

Задание для 2 группы учащихся.

Доказать теорему Пифагора древнекитайским способом, используя следующий алгоритм (необходимые чертежи на бумаге, ножницы заготовлены заранее).

	1.Уложите четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой с так, чтобы их внешний контур образовал квадрат со стороной a + b. Какая фигура получилась внутри квадрата со стороной a + b? (Квадрат со стороной с.)
	2. Вырежьте квадрат со стороной с, сохранив треугольники в прежнем положении.
	3. Чему равна площадь образовавшейся пустоты? (с 2 ).

Оставшиеся четыре треугольника уложите в два прямоугольника по пунктирным линиям.4. Чему равна площадь образовавшихся двух пустых квадратов?5. Сравните площади фигур в пунктах 3 и 4. Сделайте вывод, исходя из того, что a и b – катеты, с – гипотенуза.

Задание для 3 группы учащихся.

Доказать теорему Пифагора алгебраическим способом.

	Достройте прямоугольный треугольник с катетами a и b до квадрата так, чтобы сторона квадрата равнялась a + b.
	Какие фигуры входят в состав получившегося квадрата? (4 равновеликих треугольника с катетами a и b и квадрат со стороной с.)
	Выразите площадь получившегося квадрата через площади треугольников и квадрата со стороной с.

3 этап. Закрепление. Решение задач.

№ 483 (г) – разбирается с учителем с использованием медиапроектора.

№ 483 (б) – 1 вариант, № 483 (г) – 2 вариант. У доски решают двое учащихся.

с 2 = а 2 + b 2 = (8) 2 + (8) 2 = 64 + 192 = 256;

с 2 = а 2 + b 2 = (5) 2 + (6) 2 = 25 + 36 = 61;

с = .

с 2 = а 2 + b 2 = () 2 + () 2 = + = ;

с = .

№484(д) – разбирается ход решения задачи с последующей самостоятельной записью в тетрадь. Правильность записи решения проверяется с использованием медиапроектора.

(2) 2 = (3b) 2 + b 2 ;

Дано: ΔАВС – равнобедренный;

АВ = 17 см, ВС = 16 см, AD _┴ ВС.

Солнечные лучи падают под углом 30º к поверхности земли. Определите, чему равна высота дерева (дерево стоит перпендикулярно к поверхности земли), если с помощью рулетки вы определили, что длина тени, бросаемой деревом на землю равна 3 м. (С помощью медиапроектора учитель демонстрирует смоделированную ситуацию.)

, т.к х > 0.

4 этап. Подведение итогов урока.

Вернемся теперь к задаче, которую мы не решили в начале урока, так чему равна гипотенуза в прямоугольном треугольнике, если один из катетов равен 3 см, а другой – 4 см?

Домашнее задание: № 483(а), № 484(г), № 485.

Источник

Урок геометрии в 8-м классе по теме: «Теорема Пифагора» (интегрированный урок)

Разделы: Математика

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение пройденного материала

(Подготовка к восприятию нового материала).

По готовым рисункам заданы классу вопросы:

Какой треугольник изображен на рисунке 1? (Прямоугольный).

1. Назовите катеты и гипотенузу (ВС и АС – катеты, АВ – гипотенуза).

Рисунок 1 Рисунок 2

2. Какой треугольник на рисунке 2? (Равнобедренный, прямоугольный, углы при основании 45 0 )

3. По данным рисунка 3 докажите, что KMNP – квадрат. Как выразить его площадь?

Рисунок 3 Рисунок 4

По рисунку 4 сравните сумму квадратов катетов с квадратом гипотенузы.

III. Объяснение нового материала.

“Соедини предлог с игрою,
И чудо вдруг произойдет.
Цветок Египта знаменитый
Перед тобою расцветет”. (Лотос)

А теперь послушайте задачу, предложенную древними индусами:

1) “Над озером тихим с полфута размером высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом отнес его в сторону. Нет более цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней весной в двух футах от места, где он рос. Итак, предложу я вопрос: как озера вода здесь глубока?”

Показываю рисунок 5 и объясняю, что означает 1 фут. 1 фут = 0,3048 м. Единица длины системы мер, принятой в англоязычных странах.

Как найти отрезок CD? Кто как думает? Достаточно ли у вас знаний для решения этой задачи?

Предлагается еще одна задача индийского математика XII в. Бхаскары:

Показываю рисунок к задаче. Перед учениками ставится проблема: Что надо знать, чтобы решить эту задачу.

Ребята! Знаете ли вы что-нибудь, связанное с именем Пифагора?

Ученики могут сформулировать теорему или рассказать о головоломке-игре “Пифагор”.

В каком из европейских городов есть улица Пифагора?

Сегодня вы познакомитесь с одной из основных теорем геометрии, которую помнят все учащиеся. О математике, именем которого названа теорема, рассказывает ученик. Показываю его портрет.

В древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н.э., а умер в 500 г. до н.э.). С его именем связано много легенд. Он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. На юге Италии возникла Пифагорейская школа. Ими было сделано много в арифметике и геометрии. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

В чем суть теории Пифагора? Ваши предложения.

После этого объявляется тема урока и цель.

“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”.

Изобразите прямоугольный треугольник (рисунок 6) и запишите эту формулировку в обозначениях.

Во времена Пифагора эта теорема звучала так: “Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равен сумме квадратов, построенных на катетах”. Или “Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах”.

2-й ученик рассказывает историческую справку об этой теореме.

Теорема была известна задолго до Пифагора египтянам, вавилонянам, китайцам, индийцам. За несколько веков до н.э. эта теорема была хорошо известна и использовалась для построения алтарей.

Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время известно более ста способов доказательства теоремы Пифагора.

Показываю рисунок 7.

Смотрите, а вот и Пифагоровы штаны на все стороны равны. Такие стишки придумывали учащиеся, рисовали шаржи к теореме Пифагора. Показываю красочные рисунки.

Теперь докажем теорему и запишем ее доказательства в обозначениях (рисунок 8). Используя наводящие вопросы, ведет запись на доске сильный ученик, а остальные ученики у себя в тетрадях.

АВ 2 = АС 2 + ВС 2 (с 2 = а 2 + в 2 ).

1) Достроим АВС до квадрата EFLD со стороной а + в (рисунок 9).

2) Из каких фигур состоит квадрат EFLD?

S_EFLD = S_PKMN + 4SD _ABC = c 2 + 4ав = с 2 + 2ав

а 2 + 2ав + в 2 = с 2 + 2ав

А для чего нужна теорема Пифагора?

Задача 1. Вычислить, чему равна гипотенуза треугольника, изображенного на рисунке 10. (ответ: 5)

Обратите внимание на эти три числа: 3, 4, 5 (треугольник с такими сторонами называется египетским). О нем вы прочитает дома на стр. 127.

Найдите d по рисунку 11.

d 2 = 6 2 + 8 2 (треугольник прямоугольный)

Итак, ребята, сделаем вывод, когда можно использовать теорему Пифагора?

Ответ: только для прямоугольного треугольника.

А теперь вернемся к задаче о лотосе.

x 2 + x + — x 2 = 4

x = 3.

Ответ: 3 фута.

Задача 2. Вычислите длину неизвестного отрезка по рисунку 12.

AC 2 = 0,5 2 + 1 2 = 0,25 + 1 = 1,25

х 2 = AC 2 + CD 2 = 1,25 + 1 = 2,25

Задача 3. Является ли треугольник прямоугольным, если его сторона выражается числами 5, 6, 7? (самостоятельно)

Задача 4. Вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Определите скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально равна 3 м/с (рисунок 13).

IV. Значение теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Издавна она применялась в разных областях науки, техники, практической жизни (для определения прямых углов при построении зданий).

Значение ее состоит в том, что с помощью ее можно доказать большинство теорем геометрии. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или сто быков, как рассказывали другие, послужила поводом для рассказов писателей и стихов поэтов. Вот одно из стихотворений:

“Требует вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теореме Пифагора
Верна и как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношение
Богам от Пифагора сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За свет луча, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор”.

Вывод.

Пытаясь доказать теорему Пифагора и решать задачи, находя для себя новые пути, вы научитесь решать задачи, не только математики, но и все, которые ставит жизнь.

Домашнее задание.

П. 54, № 483 (а, б), 486 (а, б), стр. 128.

Сильным ученикам найти другой способ доказательства теоремы.

V. Итог урока.

Вопросы к учащимся:

Источник

Класс: 8

Презентация к уроку

Цели урока:

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Прогнозируемый результат:

1-й уровень: каждый ученик должен знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

2-й уровень: каждый ученик должен знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, уметь доказывать теорему Пифагора, уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

3-й уровень: каждый ученик должен знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, уметь доказывать теорему Пифагора, уметь применять теорему Пифагора для решения нестандартных задач.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Основные этапы урока:

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашней работы.

III. Вступительное слово учителя.

Ребята, я рада видеть вас на нашем уроке и предлагаю вам перенестись в Древнюю Грецию и стать учениками пифагорейской школы, которая расположена на острове Самос в Эгейском море. Мы узнаем, чем интересен этот остров, и какие «математические события» там происходили. Путешествовать будем на сверхскоростном самолете, ведь время у нас ограничено – 45 минут. Итак, мы в самолете.

А вот уже мы «ступили» на остров (слайд 2)

Нас встречает житель этого острова. (слайд 3)

– Какой геометрической фигурой он представлен?

– Какой треугольник называется прямоугольным?

– Как называются его стороны?

– Укажите название каждой стороны треугольника.

– Перечислите некоторые свойства прямоугольных треугольников.

– Как найти площадь прямоугольного треугольника?

IV. Устная работа.

Чтобы попасть в самое «сердце» острова решите несколько задач.

а) По данным рисунка 1 найдите угол β.
б) По данным рисунка 2 определите вид четырехугольника KMNP.

V. Создание проблемной ситуации.

Решите задачу: «Найдите длину лестницы, приставленной к дому, если один ее конец находится на расстоянии 2 м от стены, а другой на стыке стены. Высота дома 4 м». (слайд 5)

Итак, из рисунка видно, что нужно найти гипотенузу АВ, зная катеты АС и ВС. Но мы пока не умеем решать такие задачи, поэтому цель урока – установить связь между сторонами прямоугольного треугольника, научиться находить гипотенузу, зная катеты и, наоборот, зная гипотенузу и один из катетов, находить другой катет. Зависимость между гипотенузой и катетами установил древнегреческий ученый Пифагор, доказав теорему, которая называется теоремой Пифагора.

Тема урока «Теорема Пифагора» (слайд 6)

VI. Прежде чем, доказывать теорему Пифагора, проведем практическую работу по вариантам.

(слайд 7 этапы практической работы)

(один ученик выполняет у доски)

Что вы можете сказать о полученных площадях?

Вывод: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

То, к чему мы пришли опытным путем, доказал Пифагор. (Слайд 8)

VII. Мы с вами на о. Самос, нас встречают экскурсоводы.

б) 2-й экскурсовод. В 530 г. до н.э. Пифагор основал так называемую пифагорейскую школу. Около сорока лет учёный посвятил себя, созданной им школе. Учеников школы называли пифагорейцами. Они занимались не только математикой, но и философией, естественными науками.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

VIII. Интересна и история теоремы Пифагора.

Об этом вы узнаете из учебника геометрии 7-9 автор Л. С. Атанасян и др. стр. 130. Известно более 100 способов доказательства теоремы, докажем один из них.

Доказательство теоремы (один ученик у доски). (слайд 9)

IX. Решение задач.

1) Решите задачу о нахождении длины лестницы. (вернуться к слайду 5)

2) Решение задач по готовым чертежам. (слайд 10)

3) Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика XII Бхаскары: (слайд 11)

(один из учащихся решает у доски, если возникнут трудности, воспользоваться подсказками (слайды 15-16))

X. Мы возвращаемся домой. Подведем итог путешествия.

Аргументировано оценивается деятельность учащихся на уроке, замечания и предложения по уроку.

Домашнее задание п. 37 №№ 1492 (б), 1489 (в), 1488. (слайд 12)

XI. А сейчас веселая минутка

(С вопросом для внимательных и наблюдательных – где ошибка?)

(слайд 13 видео-ролик из детского юмористического киножурнала «Ералаш»)

Источник