Как убрать корень в неравенстве
Иррациональные неравенства. Часть 1
Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным. Существует два типа таких неравенств:
В первом случае корень меньше функции во втором — больше. константа, неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.
Сегодня научимся решать иррациональные неравенства первого типа — они самые простые и понятные. Знак неравенства может быть строгим или нестрогим. Для них верно следующее утверждение:
Теорема. Всякое иррациональное неравенство вида
Равносильно системе неравенств:
Неслабо? Давайте рассмотрим, откуда берется такая система:
Многие ученики «зацикливаются» на первом неравенстве системы: и напрочь забывают два других. Результат предсказуем: неправильное решение, потерянные баллы.
Поскольку иррациональные неравенства — достаточно сложная тема, разберем сразу 4 примера. От элементарных до действительно сложных. Все задачи взяты из вступительных экзаменов
Примеры решения задач
Перед нами классическое иррациональное неравенство: константа. Имеем:
Из трех неравенств к концу решения осталось только два. Потому что неравенство выполняется всегда. Пересечем оставшиеся неравенства:
Итак, x ∈ [−1,5; 0,5]. Все точки закрашены, поскольку неравенства нестрогие.
Решаем первое неравенство. Для этого раскроем квадрат разности. Имеем:
2 x 2 − 18 x + 16 x − 4) 2 ;
2 x 2 − 18 x + 16 x 2 − 8 x + 16:
x 2 − 10 x x ( x − 10) x ∈ (0; 10).
Теперь решим второе неравенство. Там тоже квадратный трехчлен:
2 x 2 − 18 x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9 x + 8 ≥ 0;
( x − 8)( x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪[8; +∞).
Наконец, решаем третье неравенство. Оно совсем простое:
Осталось пересечь полученные множества. Отметим их на координатных прямых:
Поскольку мы решаем систему неравенств, выбираем отрезки, которые одновременно заштрихованы на всех трех осях.
Сначала немного перепишем исходное неравенство:
Теперь применяем теорему:
Все неравенства нестрогие. Решаем отдельно первое из них:
x 2 − 3 x + 2 ≤ (3 x − 3) 2 ;
.
x ∈ (−∞; 7/8]∪[1; +∞).
x 2 − 3 x + 2 ≥ 0;
( x − 2)( x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪[2; +∞).
Наконец, последнее неравенство. Оно совсем легкое:
3 x − 3 ≥ 0;
x ≥ 1;
x ∈ [1; +∞).
Пересекаем найденные множества и получаем ответ:
Обратите внимание: на пересечении возникает изолированная точка В каждом множестве она является концом отрезка.
Перепишем иррациональное неравенство, а затем работаем по теореме:
Первое неравенство сводится к линейному:
x 2 + x − 2 x 2 ;
x − 2 x x ∈ (−∞; 2).
Второе — классическое квадратное неравенство:
x 2 + x − 2 ≥ 0;
( x + 2)( x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; −2]∪[1; +∞).
Последнее неравенство — тоже линейное:
Отмечаем эти множества на координатных прямых и пересекаем:
Иррациональные неравенства с примерами решения
Неравенства, содержащие переменную под знаком радикала, называются иррациональными неравенствами.
Содержание:
Решение иррациональных неравенств также ищут на множестве действительных чисел и, используя свойства корня и неравенств, сводится к решению системы рациональных неравенств.
Пример: Решите неравенство 
Решение: чтобы найти множество решений данного неравенства на множестве допустимых значений, т. е. при условии 
Каждое неравенство системы решим методом интервалов и найдем пересечение полученных решений:
Пример: Решите неравенство 
Решение: рассмотрим два случая, в зависимости от знака правой части.
1) при 
для всех 
неравенство справедливо для всех 
Значит, надо решить систему
Ее решением является промежуток 
2) при 
обе стороны заданного неравенства можно возвести в квадрат. Тогда получим систему
Ее решением является промежуток 
Решением заданного неравенства является 
Способы решения иррациональных неравенств
С действием возведения в степень связаны разные виды выражений. Будем рассматривать выражения с переменными, при образовании которых используются действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, причем возведение в степень хотя бы один раз применено к выражению с переменной.
Если показатель степени целый, то возникает рациональное выражение, если дробный, то — иррациональное выражение, а если иррациональный, то — трансцендентное выражение.
К трансцендентным выражениям приводят и действия нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса. Рациональные и иррациональные выражения вместе составляют множество алгебраических выражений.
выражения (1) и (2) являются рациональными, выражения (3) и (4) — иррациональными, выражения (5) и (6) — трансцендентными, а выражения (1)—(4) — алгебраическими.
В зависимости от того, из каких выражений составлено уравнение, говорят о рациональных, иррациональных, трансцендентных уравнениях.
уравнения (1) и (2) являются рациональными, уравнения (3) и (4) — иррациональными, а уравнения (5) и (6) — трансцендентными.
Так же говорят о рациональных, иррациональных, трансцендентных неравенствах.
В этом параграфе рассматривается решение иррациональных уравнений и неравенств. При их решении нужно следить за тем, какие преобразования выполняются при этом.
Утверждение 
равносильно утверждению 
, если утверждения 
и 
истинны при одних и тех же значениях переменной 
. Равносильность уравнений означает, что они имеют одни и те же корни, а равносильность неравенств — то, что они имеют одни и те же решения. Равносильность утверждений 
и 
обозначают 
= 
.
Утверждение 
следует из утверждения 
, если утверждение 
истинно при всех значениях переменной 
, при которых истинно утверждение 
. Следование второго уравнения из первого означает, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но второе уравнение может иметь и дополнительные корни. Так же понимается и следование одного неравенства из другого. Следование утверждения 
из утверждения 
обозначают 
.
Отношения равносильности и следования связаны:
При решении иррациональных неравенств нужно учитывать, что проверка подстановкой найденного множества чисел обычно невозможна из-за его бесконечности. Поэтому при решении неравенств нужно следить за равносильностью проводимых преобразований.
Теорема:
Верны следующие равносильности:
Доказательство проводится по схеме, использованной при доказательстве теоремы 9 с применением соответствующих свойств числовых неравенств.
Пример №1
Решим неравенство 
. Это неравенство равносильно совокупности неравенств
Первую систему можно заменить равносильной системой 
, которая равносильна системе 
, которая, в свою очередь, равносильна неравенству 
.
Вторая система совокупности равносильна системе 
, которая равносильна неравенству 
.
Решения данного неравенства получим, когда объединим решения 
и 
первой и второй систем совокупности, в результате получим множество всех действительных чисел.
Ответ. 
.
Пример №2
Решим неравенство 
.
Обратим внимание на то, что на области определения левая и правая части данного неравенства обе неотрицательны, поэтому оно равносильно системе неравенств
решение которой следующее:
Ответ. 
.
Какие неравенства называются иррациональными
В этой лекции мы будем рассматривать неравенства, содержащие переменную (неизвестное) под знаком корня. Такие неравенства называются иррациональными.
При решении иррациональных неравенств часто используют подход, который мы уже применяли, решая иррациональные уравнения. Он состоит в замене исходного неравенства равносильным ему неравенством (системой или совокупностью неравенств).
Пример №3
Решение:
а) Учитывая свойства корня нечетной степени, получаем:
б) По определению корня четной степени значения выражения
неотрицательны при всех значениях 
при которых это
выражение имеет смысл, т. е. когда значения подкоренного выражения неотрицательны. Таким образом, имеем:
Ответ: 
Пример №4
Решение:
а) По определению корня четной степени значения выражения 
отрицательными быть не могут. Поэтому имеем:
б) Поскольку обе части неравенства 
неотрицательны при всех значениях 
при которых его левая часть имеет смысл, то имеем:
Ответ:
При решении иррациональных неравенств часто используется также метод интервалов.
Пример №5
Решить неравенство 
Решение:
Обозначим 
Найдем область определения функции 
Таким образом, 
Найдем нули функции 
т. е. корни уравнения 
Проверка:
Значит, 0,5 — единственный нуль функции 
Отметим нуль функции 
на области определения 
(рис.22). Определим знаки значений функции 
на образовавшихся интервалах, для чего вычислим:
Используя рисунок 22, запишем решение неравенства 
Ответ: 
Пример №6
Решить неравенство 
Решение:
Решение этого примера аналогично решению примера 3.
Используя рисунок 22, записываем решение неравенства
Ответ: 
▲ При решении иррациональных неравенств часто используются следующие утверждения о равносильности неравенств и систем неравенств:
Решим пример 3, используя равносильность (1):
Ответ: 
Решим пример 4, используя равносильность (2):
Ответ: 
Для решения заданий такого типа, как, например, в 1.265, можно использовать следующие утверждения о равносильности:
Аналогичные утверждения можно записать и для неравенств 
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки
Вы умеете решать неравенства? Уверены?
Вспомним для начала, что вообще можно делать с неравенствами и чего с ними делать нельзя.
При решении неравенств мы можем:
1. Умножать обе части неравенства на число или выражение, не равное нулю.
При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.
При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
2. Можем возводить обе части неравенства в квадрат при условии, что они неотрицательны
3. Имея дело с показательным или логарифмическим неравенством, мы можем «отбрасывать» основания или логарифмы. Если основание степени или логарифма больше единицы – знак неравенства будет тот же. Если основание степени или логарифма положительно и меньше единицы – знак неравенства меняется на противоположный.
Конечно, мы не просто «отбрасываем» основания степеней или логарифмы. Мы пользуемся свойствами монотонности соответствующих функций. Если основание степени больше единицы, показательная функция монотонно возрастает. Если основание положительно и меньше единицы – показательная функция монотонно убывает. Аналогично ведет себя и логарифмическая функция.
4. При решении показательных или логарифмических неравенств применяется метод рационализации (замены множителя).
5. Общее правило. Если неравенство можно хоть как-то упростить – это необходимо сделать! Иначе его решение может занять восемь страниц и два часа времени.
Чего нельзя делать при решении неравенств? Вот 7 ловушек, в которые часто попадают абитуриенты.
1. Нельзя умножать (или делить) неравенство на выражение, знака которого мы не знаем.
2. Извлекать из неравенства корень тоже нельзя. Такого действия просто нет.
Как, например, решить неравенство
Перенесем все в левую часть неравенства, чтобы в правой остался ноль.
Разложим левую часть на множители.
Запомним: ответы типа « > » абсурдны.
4. Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.
5. Помним о том, в каких случаях знак показательного или логарифмического неравенства меняется, а в каких – остается тем же. «Отбрасывая» логарифмы, делаем это грамотно.
6. Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.
7. Сложная тем для старшеклассников – задачи с модулем. Проверьте, умеете ли вы их решать.
При решении неравенств большое значение имеет правильное оформление. Рекомендуется оформлять решение как цепочку равносильных переходов: от исходного неравенства к равносильному ему неравенству или системе.
Обратите внимание на приемы, позволяющие решать неравенства легко, быстро и без лишних вычислений.
А теперь – полезный лайфхак для решения дробно-рациональных неравенств.
Продолжаем упрощать левую часть:
Теперь можно и привести дроби к одному знаменателю.
Все, больше ничего не пишем. Решаем неравенство методом интервалов.