что такое вариационный ряд в математике

Вариационные ряды

Главная > Учебные материалы > Математика: Вариационные ряды

1.Вариационный ряд. 2.Числовые характеристики вариационного ряда.

1.Вариационный ряд.

Многие явления, в том числе и экономические, имеют большой объем числовой информации. Для того, чтобы обработатать и изучить такой большой объем данных, необходимо сначала каким-то образом его сгруппировать. От того как сгруппировать ряд, зависит какую информацию можно получить в конечном итоге и какими свойствами обладают те или иные признаки (варианты). Вариационный ряд представляет собой сгруппированный ряд числовых данных, ранжированный в порядке возрастания или убывания, каждая группа которого имеет определенный вес (или частоту). Например объем продаж магазином товара за определенный промежуток времени (например за день) можно сгруппировать по наименованию товара.

Таб.1

По данным таблицы построим полигон распределения частот (рис.1)

В приведенной выше таблице проданные товары сгруппированы по наименованию бренда товара (например телевизоры разных марок). Т.е. в данном случае признаком является наименование марки (бренда) товара. Во второй колонке дано количество проданного товара, т.е. частота данного признака. Данный ряд является дискретным. Из графика видно, что наибольшей частотой обладают товары С, D и E. Соответственно 21, 22 и 20 шт.

Таб. 2

По данным таблицы построим гистограмму распределения частот (рис.2)

Таблица 2 сгруппирована по ценовым категориям. Каждая группа имеет свой интервал цен. Данный ряд называется интервальный. Из таблицы можно увидеть, что наибольшее значение частоты имеет группа 3 в интервале цен 40-60 соответственно 43шт. Вариационные ряды на порядок меньше всего объема данных и это существенно облегчает их обработку и анализ. Полигон распределения или гистограмма вариационного ряда является аналогом распределения случайной величины. Несмотря на то, что вариационный ряд имеет существенное преимущество перед полными данными, т.к. он меньше по объему и дает полную информацию об изменении признака и свойствах ряда, на практике бывает достаточно знать лишь некоторые его характеристики.

2.Числовые характеристики вариационного ряда.

Одной из основных числовых характеристик вариационных рядов является средняя арифметическая. Данная величина показывает центральное значение признака, вокруг которого сосредоточенны все наблюдения. Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений признаков (вариантов) ряда на соответствующие им частости.

Средним линейным отклонением вариационного ряда называется средняя арифметическая модуля отклонения признаков от их средней арифметической.

Дисперсией s 2 вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений признаков от их средней арифметической.

Среднее квадратическое отклонение вариационного ряда равно квадратному корню из дисперсии.

Важным показателем вариационного ряда является также коэффициент вариации, который показывает однородность исследуемого признака.

Пример.

В компании по продаже бытовой техники, случайная величина Х (цена за единицу товара (техники) в ден.ед.) сгруппирована по интервалам цен и общий объем продаж составил 400 шт. Необходимо построить полигон распределения случайной величины Х, кумуляту и эмпирическую функцию ряда. Необходимо также найти: среднюю арифметическую, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, начальный (центральный) моменты k-го порядка, коэффициент асиметрии и эксцесс данной случайной величины.

Решение. Построим таблицу для рассчета средней арифметической и рассчитаем частость для каждого интервала цен.

Как видно из таблицы сумма произведений x i n i = 14610, разделим эту сумму на n и получим среднюю арифметическую вариационного ряда.

По данным таблицы построим гистограмму распределения частот.

Построим и эмпирическую функцию распределения случайной величины (кумуляту).

Из данных таблицы найдем дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и эксцесс по следующим формулам:

Источник

Вариационный ряд и методика его составления

Средние величины рассчитываются на основе вариационных рядов.

Вариационный ряд — это однородная в качественном отношении статистическая совокупность, отдельные единицы которой характеризуют количественные различия изучаемого признака или явления.

Цифровое значение, каждого отдельного признака или явления, входящего в вариационный ряд, называется вариантой и обозначается буквой V. Числа, показывающие, как часто встречается та или иная варианта в составе данного ряда, носят названия частот и обозначаются буквой — р. Общее число случаев наблюдений, из которых вариационный ряд состоит, обозначают буквой n.

Варианты, расположенные в порядке возрастания или убывания количественной характеристики признака, составляют ранжированный вариационный ряд.

Вариационный ряд
I Виды вари­а­ционных рядов	Простой	Сгруппирован­ный
II Характеристика вари­ационного ряда	Варианта V	Частота p	Общее число наблюдений n
III Этапы составления сгруппированного ряда	Опреде­ле­ние числа групп	Опреде­ление интервала	Определение границ и середины группы	Распределение наблюдений по группам	Графическое изображение
IV Практи­ческое применение	Для характеристики типа распределения признака в совокупности	Для вычисления среднего уровня (средней величины)

Различают два вида вариационных рядов:

— простой вариационный ряд;

— сгруппированный вариационный ряд,

Простым вариационным рядом называется такой ряд, где каждая варианта встречается лишь один раз. Вариационный ряд, где указано сколько раз встречается каждая варианта называется сгруппированным вариационным рядом.

Если исследователь имеет не более 30 наблюдений, то достаточно все значения признака расположить в нарастающем или в убывающем порядке (от минимальной варианты до максимальной или наоборот) и указать частоту каждой варианты. При большом числе наблюдений (более 30) рекомендуется варианты объединить в группы с указанием частоты встречаемости всех вариант, входящих в данную группу.

Основные требования к составлению вариационного ряда:

1. Расположить все варианты по порядку

2. Суммировать единицы, имеющие одинаковый признак, т.е. найти частоту каждой единицы

3. Определить количество групп

4. Определить интервал между группами

5. Определить начало, середину и конец группы

6. Распределить данные наблюдений по группам

7. Графические изобразить вариационный ряд

Методику построения сгруппированного вариационного ряда рассмотрим на следующем примере:

Даны данные о частоте пульса (число ударов в минуту) у 54 студентов перед экзаменом: 60, 70, 70, 68, 70, 72, 64, 66, 66, 70, 76, 76, 80, 64, 6.2, 78, 78, 76, 70, 68, 64, 62, 70, 68, 72, 70, 72, 72, 70, 70, 76, 76, 76 74, 74, 74, 80, 80, 66, 72, 76, 76, 74, 74, 74, 72, 78, 78, 76, 74, 76, 76, 80, 78.

1. Строим вариационный ряд, последовательно располагая варианты в порядке возрастания: 60, 62, 62, 64, 64, 64, 66, 66, 66, 68, 68, 68, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 72, 72, 72, 72, 72, 72,74, 74, 74, 74, 74, 74, 74,76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 76, 78, 78, 78, 78, 78, 80, 80, 80, 80.

2. Распределение студентов в зависимости от частоты пульса перед экзаменом

частота пульса (V)

число студентов (p)

Всего студентов n =54

3. Определение количества групп.

Количество групп в вариационном ряду находим в специально разработанной таблице.

Число вариант (n)	31–45	46–101	101–200	201–500
Число групп (р)	6–7	8–10	11–12	13–17

В нашем примере число наблюдений — 54, поэтому в вариационном ряду следует иметь 8 групп.

3. Определение величины интервала (i) между группами. Интервал между группами определяют по формуле:

i=	Vmax–Vmin	=	80–60	=	=2,5
r (число групп)

Полученный интервал 2,5 рекомендуется округлять до целого числа — 3.

6. Разбиваем весь ряд на группы используя выбранный интервал и строго соблюдая непрерывность сгруппированного ряда

частота пульса (V)	середина группы вариант	число студентов
60–62
63–65
66–68
69–71
72–74
75–77
78–80
n = 54

7. Строим графическое изображение вариационного ряда (по серединам групп)

Распределение студентов по частоте пульса перед экзаменом

Полученный ряд распределения (вариационный ряд) и графическое его изображение делают статистические данные обозримыми, доступными для анализа и дальнейшего изучения.

Источник

2. Дискретный вариационный ряд.
Полигон частот и эмпирическая функция распределения

На вводном уроке по математической статистике мы узнали, что такое математическая статистика, и теперь обо всём подробнее. Далее для удобства я буду нумеровать статьи и постараюсь делать их не слишком длинными. Потому что всё действительно просто, и главное, здесь научиться рациональной технике вычислений, на которую и будет сделан особый упор.

Интервальные и дискретные вариационные ряды почти сразу же встретились в предыдущей статье, и мы начинаем с дискретного случая, когда количественная эмпирическая величина может принимать лишь отдельные изолированные значения.

…что-то не понятно по терминам? Срочно изучать первый урок! (ссылка выше)

Дискретный вариационный ряд – это упорядоченное по возрастанию (как правило) множество вариант (значений величины ) и соответствующих им частот либо относительных частот.

Частоты выборочной совокупности обозначают через , частоты генеральной совокупности – через . И сразу разбираемся с новым термином. Относительные частоты рассчитываются по формулам:

, где – объем выборки, при этом, сумма всех относительных частот: .

Аналогично для совокупности генеральной:
, где – её объем, и, очевидно:

И тут вспоминается Пример 2 об оценках по матанализу в группе из студентов:

– пожалуйста, пример дискретного вариационного ряда, где варианты – это оценки, а частоты – количество студентов, получивших ту или иную оценку.

Для разминки найдём относительные частоты:

и непременно проконтролируем, что: .

Все вычисления обычно проводят на калькуляторе либо в Экселе, а результаты заносят в таблицу, при этом, в статистике данные чаще располагают не в строках, а в столбцах:

Такое расположение обусловлено тем, что количество вариант может быть достаточно велико, и они просто не вместятся в строчку. Не редкость, когда их 10-20, а бывает, и 100-200, что тоже и неоднократно встречалось в моей практике. И это не какие-то супер-пупер расчёты, а учебные задачи!

После сей позитивной новости продолжаем 🙂

Откуда берутся дискретные вариационные ряды? Такие ряды появляются в результате учёта дискретной характеристики статистической совокупности, причём, варианты ряда не отличаются большим разнообразием. Например, оценки (коих не так много) в примере выше.

И сейчас мы примем непосредственное участие в этом процессе:

По результатам выборочного исследования рабочих цеха были установлены их квалификационные разряды: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3. Требуется:

– составить вариационный ряд и построить полигон частот;
– найти относительные частоты и построить эмпирическую функцию распределения.

Чего томиться? – вся тема урока в одной задаче!

Решение: в условии прямо сказано о том, что перед нами выборка из генеральной совокупности (всех рабочих цеха), и первое, что логично сделать – подсчитать её объем, т.е. количество рабочих. В данном случае это легко сделать устно: .

Квалификационные разряды – есть величина дискретная, и поэтому нам предстоит составить дискретный вариационный ряд (обратите внимание, что в условии ничего не сказано о характере ряда).

Если у вас под рукой нет вычислительных программ, то вручную (Эксель разберём ниже). При этом оптимальным может быть следующий алгоритм: сначала окидываем взглядом все числа и определяем среди них минимальное (примерно) и максимальное (примерно). В данном случае ориентировочный диапазон – от 1 до 7. Записываем их в столбец на черновике и обводим в кружочки. Далее начинаем вычёркивать карандашом числа из исходного списка:

и делать около соответствующих кружков засечки:

После того, как все числа будут вычеркнуты, подсчитываем количество засечек в каждой строке:

И обязательно проверяем, получается ли у нас в сумме объём выборки :
, отлично, искомый ряд составлен, заносим полученные значения в таблицу на чистовик:

…ну что же, вполне и вполне логично – рабочих средней квалификации много, а учеников и мастеров – мало. Полученные результаты позволяют достаточно точно судить об уровне квалификации всего цеха (если, конечно, выборка представительна)

Построенный вариационный ряд также называют статистическим распределением выборки, причём, этот термин применИм не только для дискретного, но и для интервального ряда, который мы рассмотрим на следующем уроке.

Построим полигон частот. Это статистический аналог многоугольника распределения дискретной случайной величины (кто изучал). Полигон частот – это ломаная, соединяющая соседние точки :

…эх, ностальгия. Но, пятилетку-другую, думается, так решать ещё будут.

Теперь современный способ:

Решаем! – исходные данные с пошаговой инструкцией прилагаются.

Вторая часть задачи. Найдём относительные частоты , для этого каждую частоту делим на и результат заносим в дополнительный столбец, далее я перехожу к электронной версии:

– обязательно проверяем, что сумма относительных частот равна единице!

Иногда требуется построить полигон относительных частот. Как вы правильно догадываетесь – это ломаная, соединяющая соседние точки . Но такое задание больше характерно для интервального вариационного ряда.

А теперь посмотрим на относительные частоты и задумаемся, на что они похожи? …Правильно, на вероятности. Так, например, можно сказать, что – есть примерная вероятность того, что наугад выбранный рабочий цеха будет иметь 4-й разряд. «Примерная» – по той причине, что перед нами выборка.

А вот если учесть ВСЕХ рабочих цеха (всю генеральную совокупность), то рассчитанные относительные частоты – и есть в точности эти вероятности.

Построим эмпирическую функцию распределения . Это статистический аналог функции распределения из тервера. Данная функция определяется, как отношение:

, где – количество вариант СТРОГО МЕНЬШИХ, чем ,
при этом «икс» «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности.

Очевидно, что на интервале , и, кроме того, функция равна нулю ещё и в точке . Почему? Потому, что значение определяет количество вариант, которые СТРОГО меньше двух, а это количество равно нулю.

На промежутке – и опять обратите внимание, что значение не учитывает рабочих 3-го разряда, т.к. речь идёт о вариантах, которые СТРОГО меньше трёх.

На промежутке и далее процесс продолжается по принципу накопления частот:

– если , то ;

– если , то ;

– и, наконец, если , то – и в самом деле, для ЛЮБОГО «икс» из интервала ВСЕ частоты расположены СТРОГО левее этого «икс».

Накопленные относительные частоты удобно записывать в отдельный столбец таблицы, при этом алгоритм вычислений очень прост: сначала сносим слева 1-е значение (красная стрелка), а каждое следующее получаем как сумму предыдущего и относительной частоты из текущего левого столбца (зелёные обозначения):

Вот, кстати, ещё один довод за вертикальную ориентацию данных – справа по надобности можно приписывать дополнительные столбцы.

Саму функцию принято записывать в кусочном виде:

а её график представляет собой ступенчатую фигуру:

Эмпирическая функция распределения не убывает и принимает значения из промежутка , и если у вас вдруг получится не так, то ищите ошибку.

И сейчас мы автоматизируем процесс; видео, к сожалению, не вписалось по ширине, посему смотрим его на Ютубе:

Как построить эмпирическую функцию распределения?

Эмпирическая функция распределения строится по выборке и приближает теоретическую функцию распределения . Легко догадаться, что последняя образуется на основании исследования всей генеральной совокупности, но если рабочих в цехе ещё пересчитать можно, то звёзды на небе – уже вряд ли. Вот поэтому и важнА именно эмпирическая функция, и ещё важнее, чтобы выборка была репрезентативна, дабы приближение было хорошим.

Миниатюрная задача для закрепления материала:

Дано статистическое распределение выборки

Составить эмпирическую функцию распределения, выполнить чертёж

Самостоятельно решить Пример 5 в Экселе, все числа и обозначения уже там.

Свериться с образцом можно ниже. По поводу красоты чертежа сильно не запаривайтесь, главное, чтобы было правильно – этого обычно достаточно для зачёта.

И я жду вас на третьем уроке, где речь пойдёт об интервальном вариационном ряде.

Пример 5. Решение: заполним расчётную таблицу:

Составим эмпирическую функцию распределения:

Выполним чертёж:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник