что такое симметрическая группа

Симметрическая группа

Имеются следующие позиции шести матриц:
Как видно, таблица не симметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.

Симметрической группой множества X называется группа всех перестановок X (то есть биекций X →X) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества X обычно обозначается S(X). Если X = <1, 2,…, n>, то S(X) также обозначается через S_n.

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка , определяемая как тождественное отображение:

для всех x из X.

Содержание

Связанные определения

Свойства

См. также

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Симметрическая группа» в других словарях:

симметрическая группа — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN symmetric group … Справочник технического переводчика

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа всех подстановок (биекций) нек рого множества Xс операцией суперпозиции (см. Подстановок группа). С. г. подстановок множества Xобозначается S(X). Для равномощных Xи X группы S(X).и S (X ).подобны. В случае конечного множества X=<1,2 … Математическая энциклопедия

Симметрическая группа — n й степени, Группа, состоящая из всех перестановок n объектов. В С. г. n! элементов. Перестановки С. г. с чётным числом инверсии (См. Инверсия) образуют знакопеременную, или полусимметрическую, подгруппу С. г., имеющую n!/2 элементов … Большая советская энциклопедия

Группа (математика) — Теория групп … Википедия

Группа перестановок — Множество всех перестановок множества X (то есть биекций X →X) с операцией композиции образуют группу, которая называется симметрической группой или группой перестановок X. Обычно обозначается S(X). Если X = <1, 2,…, n>, то S(X) обозначается… … Википедия

Группа подстановок — Множество всех перестановок множества X (то есть биекций X →X) с операцией композиции образуют группу, которая называется симметрической группой или группой перестановок X. Обычно обозначается S(X). Если X = <1, 2,…, n>, то S(X) обозначается… … Википедия

Группа (алгебра) — Группа в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп. Всем знакомые вещественные числа наделены… … Википедия

КОКСТЕРА ГРУППА — группа с отмеченной системой образующих допускающая определяющую систему соотношений где nii=1 (так что при любом i) и nij =nji при целое число или (в последнем случае соотношения между ri и rj нет). При этих условиях nij совпадает с порядком… … Математическая энциклопедия

Конечная группа — Симметрия снежинки связана с группой поворотов на угол, кратный 60° Конечная группа алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в… … Википедия

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Определение и первые свойства

Приложения

Элементы

Умножение

Применение f после g переводит 1 сначала в 2, а затем 2 в себя; От 2 до 5, а затем до 4; От 3 до 4, затем до 5 и так далее. Таким образом, составление f и g дает

6).>

Проверка групповых аксиом

Транспозиции, знак и переменная группа

Представление перестановки как продукта транспозиций не уникально; однако количество транспозиций, необходимых для представления данной перестановки, всегда либо четное, либо всегда нечетное. Есть несколько коротких доказательств инвариантности этой четности перестановки.

Произведение двух четных перестановок четное, произведение двух нечетных перестановок четное, а все остальные произведения нечетные. Таким образом, мы можем определить знак перестановки:

С этим определением

Циклы

Специальные элементы

В перестановка с изменением порядка определяется следующим образом:

так что у него есть знак:

Классы сопряженности

В классах сопряженности из S _п соответствует структурам цикла перестановок; то есть два элемента S _n сопряжены в S _n тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа непересекающихся циклов одинаковой длины. Например, в S ₅ (1 2 3) (4 5) и (1 4 3) (2 5) сопряжены; (1 2 3) (4 5) и (1 2) (4 5) не являются. Сопрягающий элемент S _n может быть построен в «двухстрочной записи», помещая «обозначения цикла» двух сопряженных перестановок друг на друга. Продолжая предыдущий пример:

которое можно записать как произведение циклов, а именно: (2 4).

Эта перестановка затем связывает (1 2 3) (4 5) и (1 4 3) (2 5) через сопряжение, то есть

5).>

Понятно, что такая перестановка не уникальна.

Группы низкой степени

Симметрические группы низкой степени имеют более простую и исключительную структуру и часто требуют отдельного рассмотрения.

Карты между симметричными группами

Отношения с чередующейся группой

Генераторы и отношения

где 1 представляет собой тождественную перестановку. Это представление наделяет симметрическую группу структурой группы Кокстера (а значит, и группы отражений ).

Структура подгруппы

Нормальные подгруппы

Максимальные подгруппы

Силовские подгруппы

Транзитивные подгруппы

Теорема Кэли

Группа автоморфизмов

Гомология

Группа гомология из S _п вполне регулярная и стабилизирует: первый гомологии (конкретно, абелианизация ) является:

Вторая гомология (конкретно, множитель Шура ):

Теория представлений

Каждое такое неприводимое представление может быть реализовано над целыми числами (каждая перестановка действует матрицей с целыми коэффициентами); его можно явно построить, вычислив симметризаторы Юнга, действующие в пространстве, порожденном таблицами Юнга формы, заданной диаграммой Юнга.

Определение неприводимых модулей для симметрической группы над произвольным полем считается одной из важнейших открытых проблем теории представлений.

Источник

Это позиции шести матриц:

Некоторые матрицы не расположены симметрично относительно главной диагонали, поэтому симметричная группа не является абелевой.

Хотя симметрические группы могут быть определены на бесконечные множества, в этой статье рассматриваются конечные симметрические группы: их приложения, их элементы, их классы сопряженности, а конечное представление, их подгруппы, их группы автоморфизмов, и их представление теория. В оставшейся части этой статьи «симметрическая группа» будет означать симметрическую группу на конечном множестве.

Содержание

Определение и первые свойства

Симметричные группы на бесконечных множествах ведут себя совершенно иначе, чем симметрические группы на конечных множествах, и обсуждаются в (Скотт 1987, Гл. 11), (Диксон и Мортимер 1996, Гл. 8) и (Кэмерон 1999).

Приложения

Элементы

Элементы симметрической группы на множестве Икс являются перестановки из Икс.

Умножение

Групповая операция в симметричной группе есть функциональная композиция, обозначается символом ∘ или просто сопоставлением перестановок. Сочинение ж ∘ грамм перестановок ж и грамм, произносится «ж из грамм«, отображает любой элемент Икс из Икс к ж(грамм(Икс)). Конкретно пусть (см. перестановка для пояснения обозначений):

Применение ж после грамм отображает 1 сначала в 2, а затем 2 в себя; От 2 до 5, а затем до 4; От 3 до 4, затем до 5 и так далее. Так сочиняя ж и грамм дает

6).>

Проверка групповых аксиом

Чтобы проверить, что симметрическая группа на множестве Икс действительно группа, необходимо проверить групповые аксиомы замыкания, ассоциативности, тождества и обратного. [4]

Транспозиции

Представление перестановки как продукта транспозиций не уникально; однако количество транспозиций, необходимых для представления данной перестановки, всегда либо четное, либо всегда нечетное. Есть несколько коротких доказательств инвариантности этой четности перестановки.

Произведение двух четных перестановок четное, произведение двух нечетных перестановок четное, а все остальные произведения нечетные. Таким образом, мы можем определить знак перестановки:

С этим определением

Циклы

Специальные элементы

В перестановка с изменением порядка это тот, который дается:

поэтому он имеет знак:

который является 4-периодическим по п.

Обратите внимание, что обратное на п элементы и идеальное перемешивание на 2п элементы имеют одинаковый знак; они важны для классификации Алгебры Клиффорда, которые 8-периодичны.

Классы сопряженности

В классы сопряженности из S_п соответствуют циклическим структурам перестановок; то есть два элемента S_п сопряжены в S_п тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа непересекающихся циклов одинаковой длины. Например, в S₅, (1 2 3) (4 5) и (1 4 3) (2 5) сопряжены; (1 2 3) (4 5) и (1 2) (4 5) не являются. Сопрягающий элемент S_п могут быть построены в «двухстрочной записи», помещая «обозначения цикла» двух сопряженных перестановок друг на друга. Продолжая предыдущий пример:

которое можно записать как произведение циклов, а именно: (2 4).

Эта перестановка затем связывает (1 2 3) (4 5) и (1 4 3) (2 5) через сопряжение, то есть

5).>

Понятно, что такая перестановка не уникальна.

Группы низкой степени

Симметрические группы низкой степени имеют более простую и исключительную структуру, и их часто приходится рассматривать отдельно.

Карты между симметричными группами

Отношения с переменной группой

Генераторы и отношения

где 1 представляет собой тождественную перестановку. Это представление наделяет симметрическую группу структурой Группа Коксетера (а также группа отражения).

Структура подгруппы

А подгруппа симметрической группы называется группа перестановок.

Нормальные подгруппы

Симметрическая группа на бесконечном множестве не имеет подгруппы индекса 2, так как Виталий (1915 [9] ) доказал, что каждую перестановку можно записать как произведение трех квадратов. Однако он содержит нормальную подгруппу S перестановок, которые фиксируют все элементы, кроме конечного числа, порождаемые транспозициями. Эти элементы S которые являются продуктами четного числа транспозиций, образуют подгруппу индекса 2 в S, называемая знакопеременной подгруппой А. С А это даже характеристическая подгруппа из S, это также нормальная подгруппа полной симметрической группы бесконечного множества. Группы А и S являются единственными неединичными собственными нормальными подгруппами симметрической группы на счетно бесконечном множестве. Впервые это было доказано Онофри (1929 [10] ) и независимо Шрайер-Улам (1934 [11] ). Подробнее см. (Скотт 1987, Гл. 11.3) или (Диксон и Мортимер 1996, Гл. 8.1).

Максимальные подгруппы

Силовские подгруппы

В Силовские подгруппы симметрических групп являются важными примерами п-группы. Их легче сначала описать в особых случаях:

Транзитивные подгруппы

Теорема Кэли

Теорема Кэли заявляет, что каждая группа грамм изоморфна подгруппе некоторой симметрической группы. В частности, можно взять подгруппу симметрической группы на элементах грамм, поскольку каждая группа действует точно на себя умножением (левым или правым).

Группа автоморфизмов

Фактически для любого набора Икс мощности, отличной от 6, каждый автоморфизм симметрической группы на Икс является внутренним, результат первым из-за (Шрайер и Улам, 1937 г.) Ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFSchreierUlam1937 (помощь) в соответствии с (Диксон и Мортимер 1996, п. 259).

Гомология

В групповая гомология из S_п достаточно регулярна и стабилизируется: первые гомологии (конкретно, абелианизация) является:

Вторая гомология (конкретно, Множитель Шура) является:

Гомологии бесконечной симметрической группы вычисляются в (Накаока 1961), с алгеброй когомологий, образующей Алгебра Хопфа.

Теория представлений

В теория представлений симметрической группы частный случай теория представлений конечных групп, для которого может быть получена конкретная и подробная теория. Это имеет большую область потенциальных приложений, начиная с симметричная функция теории к проблемам квантовая механика для ряда идентичные частицы.

Симметрическая группа S_п есть заказ п!. Его классы сопряженности помечены перегородки изп. Следовательно, согласно теории представлений конечной группы, число неэквивалентных неприводимые представления, над сложные числа, равно количеству разбиенийп. В отличие от общей ситуации для конечных групп, на самом деле существует естественный способ параметризации неприводимого представления тем же множеством, которое параметризует классы сопряженности, а именно разбиением п или эквивалентно Диаграммы Юнга размерап.

Каждое такое неприводимое представление может быть реализовано над целыми числами (каждая перестановка действует матрицей с целыми коэффициентами); его можно явно построить, вычислив Юные симметризаторы действуя в пространстве, порожденном Молодые картины формы, заданной диаграммой Юнга.

По сравнению с другими поля ситуация может значительно усложниться. Если поле K имеет характеристика равно нулю или больше п затем по Теорема Машке в групповая алгебра KS_п полупростой. В этих случаях неприводимые представления, определенные над целыми числами, дают полный набор неприводимых представлений (после редукции по модулю характеристики, если это необходимо).

Однако неприводимые представления симметрической группы в произвольной характеристике неизвестны. В этом контексте более обычным является использование языка модули а не представления. Представление, полученное из неприводимого представления, определенного над целыми числами путем сведения по модулю характеристики, в общем случае не будет неприводимым. Построенные таким образом модули называются Модули Specht, и всякое неприводимое возникает внутри некоторого такого модуля. Сейчас меньше неприводимых, и хотя их можно классифицировать, они очень плохо изучены. Например, даже их размеры не известны вообще.

Определение неприводимых модулей для симметрической группы над произвольным полем широко считается одной из важнейших открытых проблем теории представлений.

Источник