что такое ряд сходится

16.12.202327.09.2023 admin 0 Comments

Определение и свойства сходящихся рядов

Сходящийся числовой ряд и его сумма.

Выражение $a_ <1>+ a_ <2>+ \ldots + a_ + \ldots$, где $\\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть
$$
S_ = \sum_^a_.\label
$$

Ряд
$$
\sum_^<\infty>a_\label
$$
называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм $\\>$ имеет конечный предел $S$, то есть
$$
\lim_S_ = S.\label
$$
Число $S$, определяемое условиями \eqref и \eqref, называют суммой ряда \eqref и пишут
$$
\sum_^<\infty>a_ = S.\label
$$

Если последовательность $\\>$ не имеет конечного предела (предел не существует или бесконечен), то говорят, что ряд \eqref расходится (является расходящимся).

$\vartriangle$ Используя формулу для суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии, получаем
$$
S_ = \sum_^q^ = \frac<1-q^> <1-q>= \frac<1><1-q>-\frac><1-q>.\nonumber
$$
Так как $q^ \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, если \(|q| Пример 2.

Доказать, что если при всех $n \in N$ выполняется равенство
$$
a_ = b_-b_\label
$$
и существует конечный
$$
\lim_b_ = b,\label
$$
то ряд \eqref сходится, а его сумма $S = b_<1>-b$, то есть
$$
\sum_^<\infty>(b_-b_) = b_<1>-b.\label
$$

$\vartriangle$ Используя условие \eqref, получаем $S_ = \displaystyle\sum_^a_ = \sum_^(b_-b_) = b_<1>-b_ <2>+ b_<2>-b_ <3>+ \ldots + b_-b_ + b_-b_ = b_<1>-b_$ откуда в силу \eqref следует сходимость ряда \eqref и равенство \eqref. $\blacktriangle$

Найти сумму ряда \eqref, если $a_ = \displaystyle\frac<1>$.

$\vartriangle$ Так как
$$
a_ = \frac<1> = \frac<(n + 2)-n> <2n(n + 1)(n + 2)>= \frac<1><2n(n + 1)>-\frac<1><2n(n + 1)(n + 2)>,\nonumber
$$
то последовательность $\\>$ удовлетворяет условиям \eqref и \eqref, где $b_ = \displaystyle\frac<1><2n(n + 1)>,\ b = 0$, и по формуле \eqref получаем
$$
\sum_^<\infty>\frac<1> = \frac<1><4>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Необходимое условие сходимости ряда.

$\circ$ Так как ряд \eqref сходится, то существует конечный предел $S$ последовательности $\\>$, где $S_$ — $n$-я частичная сумма ряда (формула \eqref). Тогда $\displaystyle\lim_S_ = S$ и $\displaystyle\lim_S_ = S$, откуда следует, что $S_-S_ = a_ \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. $\bullet$

Таким образом, соотношение \eqref выражает необходимое условие сходимости ряда.

Доказать, что ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$ расходится.

$\vartriangle$ Так как $\displaystyle\frac<1><\sqrt> \geq \frac<1><\sqrt>$ при $k = 1, 2, \ldots, n$, то $S_ = \displaystyle\sum_^\frac<1><\sqrt> \geq n \frac<1><\sqrt>$ откуда следует, что $S_ \rightarrow +\infty$ при $n \rightarrow \infty$, то есть ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1><\sqrt>$ расходится. $\blacktriangle$

Условие \eqref не является достаточным для сходимости ряда \eqref: ряд, рассмотренный в примере 4, удовлетворяет условию \eqref, но расходится.

Доказать, что ряд
$$
\sum_^<\infty>\sin n\alpha,\ \mbox<где>\ \alpha \neq \pi m\ (m \in \mathbb),\label
$$
расходится.

$\vartriangle$ Докажем, что
$$
\sin n\alpha \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label
$$

Предположим, что $\sin n\alpha \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Тогда $\sin (n + 1)\alpha \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, то есть $\sin n\alpha \cos \alpha + \cos n\alpha \sin \alpha \rightarrow 0$, откуда следует, что $\cos n\alpha \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, так как $\sin \alpha \neq 0$. Итак, если $\sin n\alpha \rightarrow 0$, то $\cos n\alpha \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, что невозможно, так как $\sin^ <2>n\alpha + \cos^ <2>n\alpha = 1$.

Таким образом, для ряда \eqref должно выполняться условие \eqref, и поэтому ряд \eqref расходится. $\blacktriangle$

Свойства сходящихся рядов.

Если ряды $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ и
$$
\sum_^<\infty>b_,\label
$$
сходятся, а их суммы равны соответственно $S$ и $\sigma$, то при любых $\lambda, \mu \in \mathbb$ сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>(\lambda a_ + \mu b_),\label
$$
а его сумма равна
$$
\tau = \lambda S + \mu\sigma.\label
$$

$\circ$ Пусть $S_$, $\sigma_$ и $\tau_$ — $n$-е частичные суммы рядов \eqref, \eqref и \eqref соответственно. Тогда $\tau_ = \lambda S_ + \mu\sigma_$. Так как $S_ \rightarrow S$ и $\sigma_ \rightarrow \sigma$ при $n \rightarrow \infty$, то последовательность $\<\tau_\>$ имеет конечный предел, то есть ряд \eqref сходится, и справедливо равенство \eqref. $\bullet$

Если сходится ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$, то при каждом $m \in \mathbb$ сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>a_,\label
$$
который называют $m$-м остатком ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$. Обратно: если при фиксированном $m$ ряд \eqref сходится, то и ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ также сходится.

$\circ$ Пусть $S_ = a_ <1>+ \ldots + a_$ и $\sigma_^ <(m)>= a_ + \ldots + a_$-соответственно $n$-я частичная сумма ряда \eqref и $k$-я частичная сумма ряда \eqref. Тогда
$$
S_ = S_ + \sigma_^<(m)>,\ \mbox<где>\ n = m + k.\label
$$
Если ряд \eqref сходится, то последовательность $\\>$ имеет конечный предел при $n \rightarrow \infty$, и поэтому из равенства \eqref следует, что последовательность $\<\sigma_^<(m)>\>$, где $m$ фиксировано, имеет конечный предел при $k \rightarrow \infty$, то есть ряд \eqref сходится.

Обратно: если $m$ фиксировано и существует конечный $\displaystyle\lim_\sigma_^<(m)>$ то существует конечный $\displaystyle\lim_S_$. $\bullet$

Согласно свойству 2 отбрасывание конечного числа членов ряда или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.

Если ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ сходится, то и ряд
$$
\sum_^<\infty>b_,\label
$$
полученный группировкой членов ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ без изменения порядка их расположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$.

$\circ$ Пусть $b_ <1>= a_ <1>+ a_ <2>+ \ldots + a_>$, $b_ <2>= \displaystyle a_ + 1> + a_ + 2> + \ldots + a_>$, …, $b_ = a_-1> + \ldots + a_>$ где $j \in \mathbb$, $\\>$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Обозначим $S_ = \displaystyle\sum_^a_$, $\sigma_ = \displaystyle\sum_^<\infty>b_$; тогда $\sigma_ = S_>$. Так как $\<\sigma_\>$ — подпоследовательность сходящейся последовательности $S_<1>, S_<2>, \ldots$, то существует $\displaystyle\lim_\sigma_ = S$, где $S$ — сумма ряда \eqref. $\bullet$

Критерий Коши сходимости ряда.

Для сходимости ряда \eqref необходимо и достаточно, чтобы
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>, \forall p \in \mathbb \rightarrow |a_ + a_ + \ldots + a_| Доказательство.

$\circ$ Так как $a_ + a_ + \ldots + a_ = S_-S_$ где $S_$ — $n$-я частичная сумма ряда \eqref, то условие \eqref означает, что последовательность $\\>$ является фундаментальной. В силу критерия Коши для последовательности условие \eqref равносильно существованию конечного предела последовательности $\\>$, то есть равносильно сходимости ряда \eqref. $\bullet$

Если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall k \in \mathbb,\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb:\ |a_ + \ldots + a_| \geq \varepsilon_<0>.\label
$$
то ряд \eqref расходится.

Доказать, что гармонический ряд
$$
\sum_^<\infty>\frac<1>,\label
$$
расходится.

$\vartriangle$ Для любого $k \in \mathbb$ возьмем $n = k$, $p = k$. Тогда $\displaystyle\sum_^a_ = \frac<1> + \ldots + \frac<1> <2k>> \frac<1><2k>k = \frac<1> <2>= \varepsilon_<0>$, и в силу условия \eqref ряд \eqref расходится. $\blacktriangle$

Ряды с комплексными членами.

Последовательность комплексных чисел $\\>$ называют сходящейся, если существует такое комплексное число $z$, что
$$
\lim_|z_-z| = 0,\nonumber
$$
где $|z|$ — модуль комплексного числа $z$. В этом случае пишут $\displaystyle\lim_z_ = z$ или $z_ \rightarrow z$ при $n \rightarrow \infty$.

Если $z_ = x_ + iy_$, $z = x + iy$, то условие $z_ \rightarrow z$ при $n \rightarrow \infty$ эквивалентно выполнению условий $x_ \rightarrow x$ и $y_ \rightarrow y$ при $n \rightarrow \infty$.

Ряд с комплексными членами
$$
\sum_^<\infty>z_,\label
$$
называют сходящимся, если существует
$$
\lim_ \sum_^z_ = S,\nonumber
$$
где $S \in \mathbb$. В этом случае пишут $\displaystyle\sum_^<\infty>z_ = S$, а комплексное число $S$ называют суммой ряда \eqref.

Источник

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

a k является общим или k –ым членом ряда.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

Разложим исходный вариант:

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Второй признак

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Признак Даламбера

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.

Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1

Ряд является сходящимся.

Следовательно, ряд является расходящимся.

Радикальный признак Коши

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.

Интегральный признак Коши

, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.

Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

Признак Раабе

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Ряд условно сходится.

Признак Абеля-Дирихле

∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.

Источник

Признаки сходимости рядов.
Признак Даламбера. Признаки Коши

Работайте, работайте – а понимание придёт потом
Ж.Л. Даламбер

Всех поздравляю с началом учебного года! Сегодня 1 сентября, и я решил в честь праздника познакомить читателей с тем, что вы давно с нетерпением ждали и жаждали узнать – признаками сходимости числовых положительных рядов. Праздник Первое сентября и мои поздравления всегда актуальны, ничего страшного, если на самом деле за окном лето, вы же сейчас ~~в третий раз пересдаете экзамен~~ учитесь, если зашли на эту страничку!

Для тех, кто только начинает изучать ряды, рекомендую для начала ознакомиться со статьей Числовые ряды для чайников. Собственно, данная телега является продолжением банкета. Итак, сегодня на уроке мы рассмотрим примеры и решения по темам:

Одним из распространенных признаков сравнения, который встречается в практических примерах, является признак Даламбера. Признаки Коши встречаются реже, но тоже весьма популярны. Как всегда, постараюсь изложить материал просто, доступно и понятно. Тема не самая сложная, и все задания в известной степени трафаретны.

Признак сходимости Даламбера

Жан Лерон Даламбер – это знаменитый французский математик 18-го века. Вообще, Даламбер специализировался на дифференциальных уравнениях и на основании своих исследований занимался баллистикой, чтобы у Его Величества лучше летали пушечные ядра. Заодно и про числовые ряды не забыл, не зря потом шеренги наполеоновских войск так четко сходились и расходились.

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос:
Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовой предельный признак сравнения. Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:

1) В знаменателе находится многочлен.
2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе.
3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.
4) Многочленов и корней, разумеется, может быть и больше.

Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image002. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image002. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image002. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image004. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image004. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image004. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image006. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image006. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image006. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.

2) В общий член ряда входит факториал. С факториалами мы скрестили шпаги ещё на уроке Числовая последовательность и её предел. Впрочем, не помешает снова раскинуть скатерть-самобранку:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image008. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image008. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image008. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image010. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image010. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image010. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image012. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image012. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image012. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image014. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image014. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image014. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image016. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image016. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image016. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
…
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image018. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image018. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image018. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image020. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image020. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image020. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
…

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image022. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image022. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image022. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6.

Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image024. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image024. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image024. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image026. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image026. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image026. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , то:
а) При $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image028. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image028. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image028. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ ряд сходится. В частности, ряд сходится при $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image030. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image030. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image030. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .
б) При $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image032. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image032. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image032. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ ряд расходится. В частности, ряд расходится при $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image034. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image034. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image034. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .
в) При $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image036. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image036. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image036. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

У кого до сих пор проблемы с пределами или недопонимание пределов, обратитесь к уроку Пределы. Примеры решений. Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image038. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image038. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image038. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ дальше, к сожалению, не продвинуться.

А сейчас долгожданные примеры.

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image040. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image040. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image040. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image042. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image042. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image042. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера. Сначала полное решение и образец оформления, комментарии ниже.

Используем признак Даламбера:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image044. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image044. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image044. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image046. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image046. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image046. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Из условия мы видим, что общий член ряда $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image048. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image048. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image048. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Для того, чтобы получить следующий член ряда нужно ВМЕСТО $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image050. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image050. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image050. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ подставить $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image052. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image052. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image052. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ : $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image054. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image054. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image054. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби. При определенном опыте решения этот шаг можно пропускать.
(3) В числителе раскрываем скобки. В знаменателе выносим четверку из степени.
(4) Сокращаем на $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image042 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image042 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image042 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Константу $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image057. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image057. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image057. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ выносим за знак предела. В числителе в скобках приводим подобные слагаемые.
(5) Неопределенность $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image059. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image059. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image059. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ устраняется стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(6) Почленно делим числители на знаменатели, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(7) Упрощаем ответ и делаем пометку, что $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image061. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image061. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image061. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ с выводом о том, что, по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

В рассмотренном примере в общем члене ряда у нас встретился многочлен 2-й степени. Что делать, если там многочлен 3-й, 4-й или более высокой степени? Дело в том, что если дан многочлен более высокой степени, то возникнут трудности с раскрытием скобок. В этом случае можно применять «турбо»-метод решения.

Возьмём похожий ряд и исследуем его на сходимость
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image063. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image063. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image063. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Сначала полное решение, потом комментарии:

Используем признак Даламбера:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image065. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image065. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image065. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Таким образом, исследуемый ряд сходится.

(1) Составляем отношение $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image046 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image046 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image046 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) Рассмотрим выражение $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image067. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image067. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image067. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ в числителе и выражение $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image069. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image069. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image069. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ в знаменателе. Мы видим, что в числителе нужно раскрывать скобки и возводить в четвертую степень: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image071. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image071. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image071. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , чего делать совершенно не хочется. А для тех, кто не знаком с биномом Ньютона, эта задача окажется ещё сложнее. Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image073. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image073. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image073. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , то получим старшую степень $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image075. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image075. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image075. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Внизу у нас такая же старшая степень: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image075 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image075 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image075 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . По аналогии с предыдущим примером, очевидно, что при почленном делении числителя и знаменателя на $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image075 0001. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image075 0001. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image075 0001. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ у нас в пределе получится единица. Или, как говорят математики, многочлены $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image073 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image073 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image073 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ и $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image079. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image079. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image079. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ – одного порядка роста. Таким образом, вполне можно обвести отношение $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image081. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image081. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image081. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ простым карандашом и сразу указать, что эта штука стремится к единице. Аналогично расправляемся со второй парой многочленов: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image052 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image052 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image052 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ и $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image084. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image084. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image084. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , они тоже одного порядка роста, и их отношение стремится к единице.

На самом деле, такую «халтуру» можно было провернуть и в Примере № 1, но для многочлена 2-й степени такое решение смотрится всё-таки как-то несолидно. Лично я поступаю так: если есть многочлен (или многочлены) первой или второй степени, я использую «длинный» способ решения Примера 1. Если попадается многочлен 3-й и более высоких степеней, я использую «турбо»-метод по образцу Примера 2.

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image086. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image086. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image086. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Полное решение и образец оформления в конце урока

Рассмотрим типовые примеры с факториалами:

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image088. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image088. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image088. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

В общий член ряда входит и степень, и факториал. Ясно, как день, что здесь надо использовать признак Даламбера. Решаем.

$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image090. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image090. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image090. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
(1) Составляем отношение $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image046 0001. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image046 0001. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image046 0001. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Повторяем еще раз. По условию общий член ряда: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image093. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image093. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image093. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Для того чтобы получить следующий член ряда, вместо $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image050 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image050 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image050 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ нужно подставить $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image052 0001. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image052 0001. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image052 0001. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , таким образом: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image097. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image097. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image097. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Отщипываем семерку от степени. Факториалы расписываем подробно. Как это сделать – см. начало урока или статью о числовых последовательностях.
(4) Сокращаем всё, что можно сократить.
(5) Константу $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image099. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image099. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image099. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ выносим за знак предела. В числителе раскрываем скобки.
(6) Неопределенность $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image059 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image059 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image059 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ устраняем стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image101. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image101. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image101. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Полное решение и образец оформления в конце урока

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image103. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image103. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image103. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Иногда встречаются ряды, которые в своей начинке содержат «цепь» множителей, этот тип ряда мы еще не рассматривали. Как исследовать ряд с «цепочкой» множителей? Использовать признак Даламбера. Но сначала для понимания происходящего распишем ряд подробно:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image105. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image105. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image105. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Из разложения мы видим, что у каждого следующего члена ряда добавляется дополнительный множитель в знаменателе, поэтому, если общий член ряда $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image107. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image107. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image107. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , то следующий член ряда:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image109. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image109. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image109. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Вот здесь часто автоматом допускают ошибку, формально по алгоритму записывая, что $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image111. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image111. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image111. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Примерный образец решения может выглядеть так:

Используем признак Даламбера:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image113. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image113. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image113. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Огюстен Луи Коши – еще более знаменитый французский математик. Биографию Коши вам может рассказать любой студент технической специальности. В самых живописных красках. Не случайно эта фамилия высечена на первом этаже Эйфелевой башни.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image024 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image024 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image024 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Если существует предел: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image115. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image115. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image115. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , то:
а) При $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image028 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image028 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image028 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ ряд сходится. В частности, ряд сходится при $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image030 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image030 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image030 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .
б) При $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image032 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image032 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image032 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ ряд расходится. В частности, ряд расходится при $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image034 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image034 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image034 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .
в) При $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image036 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image036 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image036 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда корень $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image117. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image117. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image117. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Как правило, этот перец находится в степени, которая зависит от $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image050 0001. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image050 0001. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image050 0001. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image119. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image119. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image119. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Мы видим, что дробь полностью находится под степенью, зависящей от «эн», а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image122. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image122. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image122. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Таким образом, исследуемый ряд расходится.

(1) Оформляем общий член ряда под корень.

(2) Переписываем то же самое, только уже без корня, используя свойство степеней $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image124. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image124. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image124. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image126. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image126. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image126. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
(4) В результате у нас получилась неопределенность $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image128. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image128. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image128. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Здесь можно было пойти длинным путем: возвести $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image130. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image130. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image130. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ в куб, возвести $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image132. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image132. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image132. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ в куб, потом разделить числитель и знаменатель на «эн» в кубе. Но в данном случае есть более эффективное решение: этот приём можно использовать прямо под степенью-константой. Для устранения неопределенности делим числитель и знаменатель на $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image050 0002. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image050 0002. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image050 0002. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ (старшую степень многочленов).

(5) Выполняем почленное деление, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(6) Доводим ответ до ума, помечаем, что $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image135. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image135. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image135. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ и делаем вывод о том, что ряд расходится.

А вот более простой пример для самостоятельного решения:

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image137. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image137. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image137. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

И еще пара типовых примеров.

Полное решение и образец оформления в конце урока

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image139. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image139. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image139. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Используем радикальный признак Коши:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image141. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image141. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image141. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Таким образом, исследуемый ряд сходится.

(1) Помещаем общий член ряда под корень.

(2) Переписываем то же самое, но уже без корня, при этом раскрываем скобки, используя формулу сокращенного умножения: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image143. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image143. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image143. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель и указываем, что $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image145. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image145. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image145. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .
(4) Получена неопределенность вида $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image147. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image147. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image147. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , и здесь тоже можно выполнять деление прямо под степенью. Но с одним условием: коэффициенты при старших степенях многочленов должны быть разными. У нас они разные (5 и 6), и поэтому можно (и нужно) разделить оба этажа на $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image050 0002. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image050 0002. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image050 0002. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Если же эти коэффициенты одинаковы, например (1 и 1): $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image149. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image149. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image149. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , то такой фокус не проходит и нужно использовать второй замечательный предел. Если помните, эти тонкости рассматривались в последнем параграфе статьи Методы решения пределов.

(5) Собственно выполняем почленное деление и указываем, какие слагаемые у нас стремятся к нулю.
(6) Неопределенность устранена, у нас остался простейший предел: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image151. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image151. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image151. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Почему $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image153. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image153. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image153. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ в бесконечно большой степени стремится к нулю? Потому что основание степени удовлетворяет неравенству $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image155. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image155. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image155. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Если у кого есть сомнения в справедливости предела $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image157. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image157. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image157. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , то я не поленюсь, возьму в руки калькулятор:
Если $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image159. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image159. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image159. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , то $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image161. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image161. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image161. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Если $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image163. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image163. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image163. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , то $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image165. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image165. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image165. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Если $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image167. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image167. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image167. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , то $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image169. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image169. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image169. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Если $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image171. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image171. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image171. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , то $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image173. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image173. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image173. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Если $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image175. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image175. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image175. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , то $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image177. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image177. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image177. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
… и т.д. до бесконечности – то есть, в пределе: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image157 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image157 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image157 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Прямо таки бесконечно убывающая геометрическая прогрессия на пальцах =)
! Никогда не используйте этот приём в качестве доказательства! Ибо если что-то очевидно, то это ещё не значит, что это правильно.

(7) Указываем, что $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image179. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image179. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image179. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ и делаем вывод о том, что ряд сходится.

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image181. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image181. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image181. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Это пример для самостоятельного решения.

Иногда для решения предлагается провокационный пример, например: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image183. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image183. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image183. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Здесь в показателе степени нет «эн», только константа. Тут нужно возвести в квадрат числитель и знаменатель (получатся многочлены), а далее придерживаться алгоритма из статьи Ряды для чайников. В подобном примере сработать должен либо необходимый признак сходимости ряда либо предельный признак сравнения.

Интегральный признак Коши

Или просто интегральный признак. Разочарую тех, кто плохо усвоил материал первого курса. Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интеграла первого рода.

В учебниках по математическому анализу интегральный признак Коши дан математически строго, но слишком уж поморочено, поэтому я сформулирую признак не слишком строго, но понятно:

Рассмотрим положительный числовой ряд $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image024 0001. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image024 0001. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image024 0001. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Если существует несобственный интеграл $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image800. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image800. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image800. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , то ряд сходится или расходится вместе с этим интегралом.

И сразу примеры для пояснения:

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image185. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image185. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image185. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Почти классика. Натуральный логарифм и какая-нибудь бяка.

Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда содержатся множители, похожие на некоторую функцию и её производную. Из темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image187. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image187. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image187. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , и у нас как раз такой каноничный случай.

Как использовать интегральный признак? Сначала берем значок интеграла и переписываем со «счётчика» ряда верхний и нижний пределы: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image189. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image189. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image189. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Затем под интегралом переписываем «начинку» ряда с буковкой «хэ»: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image191. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image191. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image191. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Чего-то не хватает…, ах, да, еще в числителе нужно прилепить значок дифференциала: $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image193. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image193. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image193. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .

Теперь нужно вычислить несобственный интеграл $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image193 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image193 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image193 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . При этом возможно два случая:

1) Если выяснится, что интеграл $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image193 0001. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image193 0001. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image193 0001. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ сходится, то будет сходиться и наш ряд $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image185 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image185 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image185 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .

2) Если выяснится, что интеграл $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image193 0002. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image193 0002. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image193 0002. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ расходится, то наш ряд $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image185 0001. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image185 0001. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image185 0001. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ тоже будет расходиться.

Повторюсь, если материал запущен, то чтение параграфа будет трудным и малопонятным, поскольку применение признака по сути дела сводится к вычислению несобственного интеграла первого рода.

Полное решение и оформление примера должно выглядеть примерно так:

Используем интегральный признак:

$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image196. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image196. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image196. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Подынтегральная функция непрерывна на $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image198. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image198. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image198. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image200. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image200. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image200. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image202. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image202. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image202. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Решение и образец оформления в конце урока

В рассмотренных примерах логарифм также мог находиться под корнем, это не изменило бы способа решения.

И еще два примера на закуску

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image204. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image204. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image204. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

По общим «параметрам» общий член ряда подходит для использования предельного признака сравнения. Нужно всего лишь раскрыть скобки $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image206. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image206. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image206. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ и ~~сразу сдать на кандидата~~ предельно сравнить данный ряд со сходящимся рядом $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image208. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image208. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image208. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ . Впрочем, я немного слукавил, скобки можно и не раскрывать, но всё равно решение через предельный признак будет выглядеть несколько вычурно.

Поэтому мы используем интегральный признак Коши:

$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image210. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image210. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image210. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Подынтегральная функция непрерывна на $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image212. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image212. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image212. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image214. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image214. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image214. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Получено конечное число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

! Примечание: полученное число $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image216. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image216. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image216. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ – не является суммой ряда.

Исследовать ряд на сходимость $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image218. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image218. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image218. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Решение и образец оформления в конце урока, который подходит к концу.

Да. Возможно, у некоторых возник вопрос, почему я начал этот урок с таким энтузиазмом? Всё просто – начался учебный год, а мне не нужно на учебу. Я столько мучался =( Что даже не устал в заключительных аккордах этой статьи.

В целях окончательного и бесповоротного усвоения темы числовых рядов посетите урок Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений.

Пример 3: Используем признак Даламбера:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image220. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image220. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image220. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Примечание: Можно было использовать и «турбо»-метод решения: сразу обвести карандашом отношение $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image222. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image222. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image222. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , указать, что оно стремится к единице и сделать пометку: «одного порядка роста».

Пример 5: Используем признак Даламбера:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image224. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image224. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image224. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Пример 8: Используем радикальный признак Коши:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image226. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image226. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image226. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Пример 10: Используем радикальный признак Коши:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image228. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image228. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image228. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
Примечание: Здесь основание степени $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image230. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image230. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image230. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ , поэтому $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image232. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image232. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image232. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$

Пример 12: Используем интегральный признак:.
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image234. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image234. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image234. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Подынтегральная функция непрерывна на $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image212 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image212 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image212 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image236. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image236. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image236. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Получено конечное число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример 14: Используем интегральный признак:
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image238. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image238. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image238. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Подынтегральная функция непрерывна на $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image212 0001. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image212 0001. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image212 0001. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .
$что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image240. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image240. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image240. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$
Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Примечание: Ряд $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image218 0000. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image218 0000. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image218 0000. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ также можно исследовать с помощью предельного признака сравнения. Для этого удобно раскрыть скобки под корнем $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image243. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image243. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image243. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ и сравнить исследуемый ряд с расходящимся рядом $что такое ряд сходится. priznak dalambera priznaki koshi clip image245. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-priznak dalambera priznaki koshi clip image245. картинка что такое ряд сходится. картинка priznak dalambera priznaki koshi clip image245. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ .

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

$что такое ряд сходится. mark. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-mark. картинка что такое ряд сходится. картинка mark. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

$что такое ряд сходится. mark. что такое ряд сходится фото. что такое ряд сходится-mark. картинка что такое ряд сходится. картинка mark. Выражение $a_ + a_ + \ldots + a_ + \ldots$, где $\<a_\>$ — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом $\displaystyle\sum_^a_$, а числа $a_$ будем называть членами ряда. Сумму $n$ первых членов ряда $\displaystyle\sum_^a_$ будем называть $n$-й частичной суммой этого ряда и обозначать $S_$, то есть $$ S_ = \sum_^a_.\label $$$ Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Образовательный информационный портал teach.ornatus.ru

что такое ряд сходится

Определение и свойства сходящихся рядов

Сходящийся числовой ряд и его сумма.

Необходимое условие сходимости ряда.

Свойства сходящихся рядов.

Критерий Коши сходимости ряда.

Ряды с комплексными членами.

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Базовые тезисы

Особенности сходящихся рядов

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Как сравнивать ряды

Признак Даламбера

Радикальный признак Коши

Интегральный признак Коши

Признак Раабе

Исследование на абсолютную сходимость

Расходимость знакопеременных рядов

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Признак Абеля-Дирихле

Признаки сходимости рядов.
Признак Даламбера. Признаки Коши

Признак сходимости Даламбера

Радикальный признак Коши

Интегральный признак Коши

Добавить комментарий Отменить ответ

Определение и свойства сходящихся рядов

Сходящийся числовой ряд и его сумма.

Необходимое условие сходимости ряда.

Свойства сходящихся рядов.

Критерий Коши сходимости ряда.

Ряды с комплексными членами.

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Базовые тезисы

Особенности сходящихся рядов

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Как сравнивать ряды

Признак Даламбера

Радикальный признак Коши

Интегральный признак Коши

Признак Раабе

Исследование на абсолютную сходимость

Расходимость знакопеременных рядов

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Признак Абеля-Дирихле

Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши

Признак сходимости Даламбера

Радикальный признак Коши

Интегральный признак Коши

Вам также понравится

что такое автосигнализация с обратной связью

что такое перфорированная труба дренажная

что делать если почувствовал запах гари в квартире

Добавить комментарий Отменить ответ

Признаки сходимости рядов.
Признак Даламбера. Признаки Коши