что такое разность событий

Операции над событиями

Виды случайных событий

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 1.10. Из ящика с деталями наугад извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События <появилась стандартная деталь>и <появилась нестандартная деталь>—несовместные.

Пример 1.11. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление цифры. События <появился герб>и <появилась цифра>— несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится, хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

Пример 1.12. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: <выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй>, <выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй>, <выигрыш выпал на оба билета>, <на оба билета выигрыш не выпал>. Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример 1.13. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание или промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

3. Операции над событиями: сумма (объединение), произведение (пересечение) и разность событий; диаграммы Вьенна.

Операции над событиями

События обозначаются заглавными буквами начала латинского алфавита A, B, C, D, …, снабжая их при необходимости индексами. Тот факт, что элементарный исход х содержится в событии А, обозначают .

Для понимания удобна геометрическая интерпретация при помощи диаграмм Виенна: представим пространство элементарных событий Ω в виде квадрата, каждой точке которого соответствует элементарное событие. Случайные события А и В, состоящие из совокупности элементарных событий х_i и у_j, соответственно, геометрически изображаются в виде некоторых фигур, лежащих в квадрате Ω (рис. 1-а, 1-б).

Пусть опыт состоит в том, что внутри квадрата, изображенного на рисунке 1-а, выбирается наугад точка. Обозначим через А событие, состоящее в том, что <выбранная точка лежит внутри левой окружности>(рис.1-а), через В – событие, состоящее в том, что <выбранная точка лежит внутри правой окружности>(рис. 1-б).

Достоверному событию благоприятствует любое , поэтому достоверное событие будем обозначать тем же символом Ω.

Два события тождественны друг другу (А=В) тогда и только тогда, когда эти события состоят из одних и тех же элементарных событий (точек).

Суммой (или объединением) двух событий А и В называется событие А+В (или ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В. Сумме событий А и В соответствует объединение множеств А и В (рис. 1-д).

Пример 1.15. Событие, состоящее в выпадении четного числа, является суммой событий: выпало 2, выпало 4, выпало 6. То есть, <х=четное >= <х=2>+<х=4 >+<х=6 >.

Отметим очевидные соотношения:

Произведением (или пересечением) двух событий А и В называется событие АВ (или ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит и А, и В. Произведению событий А и В соответствует пересечение множеств А и В (рис. 1-е).

Пример 1.16. Событие, состоящее в выпадении 5, является пересечением событий: выпало нечетное число и выпало больше 3-х, то есть, A=B∙C3>.

Отметим очевидные соотношения:

Событие называется противоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Геометрически – это множество точек квадрата, не входящее в подмножество А (рис. 1-в). Аналогично определяется событие (рис. 1-г).

Отметим очевидные соотношения:

Два события называются несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно. Следовательно, если А и В несовместны, то их произведение – невозможное событие:

Введенные ранее элементарные события, очевидно, попарно несовместны, то есть

А В а) б) в) г)

А+В АВ или А\В В\А или

Рис. 1. Диаграммы Виенна

Разностью событий А и В называется событие А\В (или ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В (рис. 1-ж). Аналогично определяется событие В\А (или (рис.1-з).

Отметим очевидные соотношения: (рис. 1-г).

Так как разность событий можно выразить с помощью операций отрицания и произведения, пользоваться разностью событий в дальнейшем не будем.

Введенные выше операции сложения и умножения обладают следующими свойствами: А+В=В+А, АВ=ВА, А(В+С)=АВ+АС, А(ВС)=(АВ)С.

Пример 1.18. Производится два выстрела по цели. Пусть событие А –<попадание в цель при первом выстреле>, В ––<попадание при втором выстреле>, тогда — промахи, соответственно, при первом и втором выстрелах. Обозначим: событие С – <поражение цели>и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить событие С через события А и В.

Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Используя введенные выше операции, перечисленные варианты можно соответственно записать: интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть

.

С другой стороны, событие , противоположное событию С, есть промах при двух выстрелах, то есть , отсюда искомое событие С можно записать в виде . Возможность различного выражения искомого события часто оказывается полезной при решении задач.

4. Относительная частота и вероятность события А. Определение вероятности. Свойства относительной частоты и вероятности. Устойчивость относительной частоты.

Источник

Операции над событиями (сумма, разность, произведение)

Совместные и несовместные события.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Примеры: попадание в неразрушаемую цель двумя различными стрелками, выпадение одинакового числа очков на двух кубиках.

Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны. Примеры несовместных событий: а) попадание и промах при одном выстреле; б) из ящика с деталями наудачу извлечена деталь – события “извлечена стандартная деталь” и “извлечена нестандартная деталь” в) разорение фирмы и получение ею прибыли.

Другими словами, события А и В совместны, если соответствующие множества А и В имеют общие элементы, и несовместны если соответствующие множества А и В не имеют общих элементов.

При определении вероятностей событий часто используется понятие равновозможных событий. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них объективно не является более возможным, чем другие (выпадение герба и решки, появление карты любой масти, выбор шара из урны и т.п.)

С каждым испытанием связан ряд событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, при бросании игральной кости событие есть выпадение двойки, а событие – выпадение четного числа очков. Очевидно, что эти события не исключают друг друга.

Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга. Тогда

ü каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;

ü всякое событие , связанное с этим испытанием, есть множество конечного или бесконечного числа элементарных событий;

ü событие происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

Произвольное, но фиксированное пространство элементарных событий , можно представить в виде некоторой области на плоскости. При этом элементарные события – это точки плоскости, лежащие внутри . Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. По аналогии с теорией множеств строится алгебра событий. При этом могут быть определены следующие операции и соотношения между событиями:

(отношение эквивалентности множеств) – событие тождественно или эквивалентно событию . Это возможно в том и только в том случае, когда и одновременно , т.е. каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое. Пример – событие А – поломка прибора, событие В – поломка хотя бы одного из блоков (деталей) прибора.

() – сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий или (логическое «или»). В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Пример – цель поражена первым орудием, вторым или обоими одновременно.

() – произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий и (логическое «и»). В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий. Таким образом, события и несовместны, если произведение их есть событие невозможное, т.е. . Пример – событие А – вынимание из колоды карты бубновой масти, событие В – вынимание туза, тогда — появление бубнового туза.

– разность событий. Это событие, состоящее из исходов, входящих в , но не входящих в . Оно заключается в том, что происходит событие , но при этом не происходит событие . Пример – А – сдача экзаменационной сессии, В – получение степени, тогда А-В – сдача сессии с недостаточно высоким для получения стипендии результатом.

Противоположным (дополнительным) для события (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в .

Наступление события означает просто что событие не наступило.

Часто оказывается полезной геометрическая интерпретация операций над событиями. Графическая иллюстрация операций называется диаграммами Венна.

Источник

Теория вероятностей, формулы и примеры

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

У нас есть отличное онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся на пробное занятие!

Сложение и умножение вероятностей

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события A₁, A₂. A_n образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

По теореме умножения вероятностей:

Аналогично, для остальных гипотез:

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

P₁₀₀₀(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Кроме того, пусть P_n(k₁;k₂) — вероятность того, что число появлений события А находится между k₁ и k₂.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Источник