что такое равносильные уравнения 7 класс
Равносильные уравнения, преобразование уравнений
Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.
Понятие равносильных уравнений
Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.
Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.
Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.
Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.
Приведем несколько примеров таких уравнений.
Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.
Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.
Понятие уравнений-следствий
Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.
Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.
Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений
Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Основные равносильные преобразования уравнений:
Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.
Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.
Равносильные уравнения и уравнения следствия
Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:
Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.
Пример (ОГЭ). Решите уравнение \(x^2-2x+\sqrt<2-x>=\sqrt<2-x>+3\)
Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.
Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.
Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.
\(↑\) не подходит под ОДЗ
Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.
В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.
В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как \(\sqrt
В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;
В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;
В пункте e) умножили обе части уравнения на \(2\) т.е. равносильно преобразовали;
В пункте f) перешли от вида \(a^
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Равносильность уравнений и систем уравнений
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.
Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.
Равносильны два уравнения, каждое из которых не имеет решения.
Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы.
Равносильны две системы, если каждая из них не имеет решений.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.
Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.
Равносильны такие два уравнения, каждое из которых не имеет решения.
1) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получим уравнение, равносильное исходному.
2) Если перенести с противоположным знаком член уравнения из одной части в другую, то получим уравнение, равносильное исходному.
3) Если в левой и правой частях линейного уравнения привести подобные члены, то получится уравнение, равносильное исходному:
Доказательство этих утверждений проводится так же, как для линейного уравнения с одним неизвестным.
Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы. Равносильны также две системы, если каждая из них не имеет решений.
Очевидно, что если одно из уравнений системы заменить другим, равносильным ему уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.
Перенеся свободные члены уравнений этой системы в их правые части, получим следующую равносильную систему:
Пример 2. Решите систему уравнений:
Решим системы способом подстановки.
Пример 3. Решите систему уравнений
Пример 4. Решите систему уравнений
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
№1. Тип задания: единичный выбор.
Какие два уравнения называются равносильными?
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения не является решением второго, а любое решение второго не является решением первого.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является продолжением решения второго, и является единственно верным.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.
№2. Тип задания: Восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.
Презентация к уроку алгебры 7 класс.Уравнение и его корни.Равносильные уравнения.
Описание презентации по отдельным слайдам:
Второе октября Классная работа
Работа с учебником № 114 устно № 116 а № 120 Решим уравнение 5x – 9 = 12 – 2x Какие свойства равносильности мы применили?
Домашнее задание. п. 6 №117, 119а Дополнительно: решить уравнение x(x – 6) = 0. Отметить на числовой оси его корни.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-719091
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
На новом «Уроке цифры» школьникам расскажут о разработке игр
Время чтения: 1 минута
ФИПИ опубликовал демоверсии ОГЭ и ЕГЭ 2022
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки учредит именные стипендии для студентов из малочисленных народов
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов
Время чтения: 2 минуты
В МГУ разрабатывают школьные учебники с дополненной реальностью
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.