Применим критерий Коши:
[math]\left|\sum\limits_^m f_k(x) \right|[/math] [math]\leq \sum\limits_^m |f_k(x)|[/math] [math]\leq \sum\limits_^m a_k[/math]
[math]\sum\limits_^m a_k \lt +\infty \Rightarrow \forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall m \geq n \gt N : \sum\limits_^m a_k \lt \varepsilon[/math]
Признак Абеля-Дирихле [ править ]
1)Частичные суммы [math] S_k(x)= \sum\limits_^k a_n(x) [/math] ряда [math]\sum\limits_^\infty a_n(x) [/math] равномерно ограничены на [math]E[/math] ;
Монотонность последовательности [math]b_n(x)[/math] позволяет при каждом [math]x \in E[/math] записать оценку:
[math] |\sum\limits_^m a_k(x) b_k(x)| \leq 4 max |A_k(x)| * max( |b_n(x)|, |b_m(x)| )[/math]
Источник
Функциональные последовательности и ряды
в комплексной области
Основные понятия, связанные с функциональными последовательностями и рядами в комплексной области, вводятся так же, как и в действительной.
Определение функциональной последовательности
z\in D» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />.
Равномерная сходимость функциональной последовательности
Функциональный ряд в комплексной области
Область сходимости и равномерная сходимость рядов
z\in D.» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAX4AAAAWCAMAAADw1AdNAAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMAoSFhgUEQ/AHAMQrQ4LFRkXEy3g3GAAAFvUlEQVRo3u1ZiY7kKAwNlw2I8/9/djgrQKiku7dW21oNI406IYB5PD8b13H8bf9tk+T8M/27NEKHB0W/NKXs84CbRkPrD//EXvkvA0L8fbf+LPyq74dbixzUslocn7SBxwmBoDVeF4jVtBXRRkv1Y2spUeg/uHueWmYI5D9Y2TB/2J79If6Mt0Z38INxkKFz8xg1k40/IqeRS0kN5r1wt2y20l78GH5ALlB9EH4REbNRwAzyjKu3T94lzM+W0gzRC8EIkg38wdT9xfmoxbp/8eBMtkDskeaPF62i9cXP4Y8IR/yo9zOHWHwyFO4f9tG3pGVfVpaFmBVqhvwCP23vzLQ5Zi/S5x62g2UCkQfyC08IeQs/DV+AleNPlZ+8iVpEuOKoh6HV/OcFmP2CEZQ5lRpM0PB2fsMiDX6BVRhmxBRZp/UP9vEqzToPNPzKXrmHP2m6eM+bD8CfF5A7KkuBGU5ZMXXuwYLC1GeiRMOolHOaQLpyqGGCBr9OGnixT3YpAp6CKOVlbfEAP0a6CBUQpQ/Nyyp6B79wM/iUWDRXFZBcYYlcTBEnCqRBO7fhNVM8MUAFmA/AXzClSiYyprlEJVrXhWyBjUvYY2knIyrziunli6yB7E66c0cNGHbtV5gagUWt2ncOLQaly9r3mQHN01heHaodsrJ5NLwsn+GXQi3JHDNRiF2QF4lAApIAwkFNTPHSWsc2BgknkBCApYsSw+SajmRRSJSvaU9njC4WmJlXBp0rnFBuw7pXbz3UHTLtrcQN/MBtAm7es+jfhZwZsXqGD4mZJvkA4qCjNMiElj5ehzfCLxOT6ZoKw632xxLAS5BJPAKuN7m5z+mFvCRJwJcDICJjjlTWG03bsNzk14mZ4GrQVVdmJD+TZ44e/DYq8hdD5SbvP2hsWcAJ//lIWPucvLZytmk5mU4gTzoINTR+X+D3ZhMTredcv4VfqhpAcrBS+1jAjlAzr+v9Lh0An6S/iDIHK0e+qWTBVWR5S3nIjtwHOxdTHZe4k/44JvcVftZFRs/w0xd+on+u7uBvZ4RG9jhbPlV92iv8/Eo0p4xh7+FHrLapt/An+mY42eaGBnGEn6pGR08md99aQPqbLfxh+P4FP99If401E/wt7if45QEJKk1n8Tnxa3n9O+VRDX5XRsvL6I342JX/iTPyRnzaPkSWl3fwQ7nauEtv4n6ERfpL3Gu5fNswi5vaxgv9nfgMvW/Eh3YljFNEKvDTqjKQhZ04wmO9WffQW/Fzz6E3msGHe+ito4u4bkOvn9Vf3qTVRc9I8Umf03WF++9KZz6DKahTvlK6+bTH5uayGC7NqZoMRnyr/JTQe/a8emOcnGov/aJeesHDCT9DUkQwhRzN8v1XxWpNizUmuZNqjnp3LXSll5pw7iXFbJtHh/M818Qz5z5DLlCiNN1d72RAkBnW9F82J4WBvaPwTCeBXqu7vEe+MjtrujAUjEoaXDDknbMpnAVODLwY6MbaQbC594yUgVxyeIcpr89hkTcL3Qk/CcRybmvKkTPuRlxHal0qnQ86qES5KbpJw4zjpCVHUvEmiqyntG+vXXq4dmm0yuwKWyLnVGkGrYyzKdcoz9swWKgC1jm4uXaVHLmaEsN0qT8t8C1L8SSdFVYRrVcfhqePeJd7x4JBuifBeO3C1kyg3T/jCX8CXPtWTIEEsLcHPYsOhY1tWLit14jEZPbyylgS5zyQwnPR4dQJEFzI21I2aLmUtpfJ6nonHuA2M25Gt2T5tKDXZPJLOn0zpoxwlJA5CZ0aiw6yt/VeL1f6eJO9QbQs/7slt/ljur2ui0/WLD/868dacgN3dXHe+PLNkttDvX+oCgcV+136+GbBefqabJ9/MfyHX2y7JjGilSGd+Mh5r/DD+4Tq0Ba+NTnZ/tzym+E/wlxxv6TZ0CRes8+420MFOYwC4r5Zawe1+7FRu18M/0HuWR388bf9P9ofGMYxA4Alcy8AAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» />
\forall z\in D.» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />
Равномерно сходящиеся ряды (и последовательности) непрерывных функций комплексной переменной, как и аналогичные ряды в действительной области, обладают свойствами конечных сумм, в частности сумма такого ряда является функцией, непрерывной на множестве, где ряд сходится равномерно. Кроме того, ряд можно почленно интегрировать. Это означает, что полученный ряд, т.е. ряд, членами которого являются интегралы от членов данного ряда, сходится и его сумма равна интегралу от суммы данного ряда:
Признак Вейерштрасса и равномерная сходимость
8. Для исследования функционального ряда на равномерную сходимость и нахождения области его равномерной сходимости можно использовать, как и в действительной области, достаточный признак равномерной сходимости.
Теорема 3.1 (признак Вейерштрасса). Если ряд (3.1) на множестве мажорируется сходящимся числовым рядом с положительными членами, то он сходится на равномерно, т.е. из условия
c_n>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />
9. Для равномерно сходящихся рядов аналитических функций справедливы отмеченные выше свойства непрерывности суммы ряда и почленного интегрирования. Кроме того, имеет место свойство, связанное с почленным дифференцированием ряда.
Теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций
Нахождение области сходимости рядов
Примеры исследования сходимости рядов с комплексными членами
Пример 3.1. Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:
Пример 3.2. Исследовать сходимость комплексных функциональных рядов:
a) ; область сходимости 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADkAAAAVBAMAAAAOWFv7AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADXRSTlMAwoFBKKBYQuoQkXGxE+DiDQAAAJJJREFUKM9jYMAPtkAoVuyyyhCKEUPCAZ+s6QU8shonMGRZVBDSjJh6C0MwZZnEOAOgJiOk4bIregMdYPbWiKPLBnCKIVzlKoZuL2sCkptd29Bkw5B95CSGKjurgAGPySIMXAkwWVd0V7E2LhKE6S0URvfRVvZeSaisIdy7tnfvXgLLOjBMgYVkCNExSLEsvpQDAFnBICbT0tyvAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» /> — внешность круга с центром в точке и радиусом 1. На границе круга ряд расходится.
б) ; область сходимости 2″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQqHA6l0h0RCRMbAyfQ/L+w8AAACrSURBVBjTY2AgAUhgF55uV4VNmPMCl0sCnCfbAGPxeTDMmwAXZzSCqeF7xSBnwMDAtbshECJxAKoigCFuAwNDSonnBgh/swBMs14AA0MgQzjUaDZlqATXIxDJYwFTxqYeAKZbFEDk4gZ08Uqwcg24sDJEmCmAAejOQwwcBRB7YcarMjBuYOBy3zslAOJOqDCvs7HfBQb2A3quaP569+5dAAMbAxeYJ5SAEkgA9HIgzw7zK3AAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» /> — внешность круга с центром в точке и радиусом 2. На границе круга ряд расходится.
Используем для решения радикальный признак Коши:
Источник
|
