что такое противолежащий и прилежащий угол

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Источник

Прямоугольные треугольники

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

Подставим найденное значение в формулу косинуса

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Источник

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Источник

Как навсегда запомнить, что такое синус и косинус, и никогда больше не ошибаться и не путать их

Большая проблема всех детей в школе, когда они начинают изучать тригонометрию и знакомиться с синусами и косинусами — это не перепутать их. Многие помнят, что синус и косинус — это отношение катета к гипотенузе. Но катета два: прилежащий и противолежащий. И что из этого что?

Синус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе? Или противолежащего? А косинус? Разобраться в этом раз и навсегда, запомнить, что к чему, поможет мнемоническое правило, которое мне рассказала одна очень хорошая учительница.

Итак, имеем прямоугольный треугольник, у которого два катета a и b, гипотенуза с. Угол между гипотенузой с и катетом b назовем ∠α.

У этого угла есть синус и косинус. В школе обычно говорят, что надо запомнить/зазубрить/выучить, что sinα = a/c, cosα=b/c.

Но зазубривание — это не очень надежный способ запоминания. Поэтому смотрим на схему ниже, которая позволит вспомнить, что такое синус или косинус в любое время.

У нас есть «О» и в слове «прОтиволежащий», и в кОсинусе. И есть буква «И» и в слове «прИлежащий», и в сИнусе. Так вот в каждой паре у нас должна быть и «И», и «О», поэтому сИнус — это отношение прОтиволежащего угла к гипотенузе, а кОсинус — прИлежащего к гипотенузе.

На первый взгляд может показаться, что это какое-то дурацкое правило, которое только путает, но если вы один раз разобрались и запомнили схему, которую я нарисовал выше, вы уже теперь никогда в жизни не забудете, что такое синус и косинус, и что самое важное — не перепутаете их. Так что запоминайте сами, рассказывайте детям и заходите на мой Ютуб канал.

Источник

Математика

Две прямые линии BA и BC (черт. 13), пересекающиеся в одной и той же точке B, образуют при точке B угол.

Определение угла. Углом называется неопределенная часть плоскости, ограниченная двумя пересекающимися прямыми линиями. Угол есть величина, определяющая наклонение одной прямой линии к другой.

Стороны угла. Пересекающиеся линии называются сторонами угла.

Вершина угла. Точка пересечения двух прямых называется вершиной угла. Величина угла не зависит от длины сторон, поэтому стороны угла можно неопределенно продолжать.

Название угла. a) Углы называют буквой, стоящей при вершине; так угол на черт. 13 называют углом B. b) Если при вершине несколько углов, то углы называют тремя буквами, стоящими при вершине и двух его сторонах. При этом буква при вершине произносится и пишется в середине.

На черт. 13 угол B называют угол ABC. Линии BA и BC — две стороны, а точка B — вершина угла.

Таким образом угол ABC есть угол B или

Знак угла. Слово угол заменяют иногда знаком ∠.

Таким образом предыдущее равенство изображают письменно:

В том случае, когда из точки выходит несколько линий, при точке B имеется несколько углов.

На черт. 14 из точки B выходят прямые линии BA, BC, BD и при вершине B имеются углы ABC, CBD, ABD.

Прилежащие углы. Два угла называются прилежащими, когда они имеют общею вершину, по одной общей стороне, а две другие лежат по обе стороны общей стороны.

Углы ABC и CBD (черт. 14) суть прилежащие углы. Они имеют общую вершину B, общую сторону BC, а две другие стороны BA и BD лежат одна сверху, а другая снизу общей стороны BC.

Углы изменяют свою величину, если изменяется наклонение одной стороны к другой. Из двух углов, имеющих общую вершину, тот угол, внутри которого помещается другой угол, называется большим углом. На чертеже 14

уг. ABD > уг. ABC и уг. CBD уг. DEF.

c) Если же линия ED упадет вне угла ABC по направлению BH, угол ABC меньше угла DEF

На чертеже 20 линия CE будет наклона к линии AB, а линия CD перпендикулярна к линии AB.

Угол ECB меньше прямого, а угол ACE больше прямого. Угол ECB называется острым, а угол ACE тупым.

Острый угол есть всякий угол меньше прямого, а тупой угол есть угол больший прямого.

Одноименные и разноименные углы. Два острых или два тупых угла называются одноименными, а два угла, из которых один острый, а другой тупой, называются разноименными.

Наклонная линия CE образует (черт. 20) с прямою AB два смежных угла, из которых один меньше, а другой больше прямого, т. е. один острый, а другой тупой.

Теорема 3. Из точки, взятой на прямой линии, можно восставить к ней только один перпендикуляр.

Дана прямая AB и на ней точка C (черт. 20).

Требуется доказать, что можно к ней восставить только один перпендикуляр.

Доказательство. Положим, что можно из точки C к линии AB восставить два перпендикуляра (черт. 20) CD и CE. По свойству перпендикуляра

уг. DCB = уг. ACD (a)
уг. BCE = уг. ACE.

Если приложить к первой части последнего неравенства угол ECD, получим неравенство

уг. BCE + уг. ECD > уг. ACE, или уг. BCD > уг. ACE.

Заменяя в этом неравенстве уг. BCD равным ему углом ACD (a), получим

неравенство очевидно нелепое, ибо часть не может быть более своего целого, следовательно предположение, что можно восставить два перпендикуляра, ведет к нелепости, поэтому оно ложно. Ложность предположения основана на том соображении, что из верного положения нельзя вывести неверного заключения, следовательно, наша теорема верна.

Способ доказывать справедливость данной теоремы указанием на невозможность и нелепость всякого другого предположения называется способом доказательства от противного или способом приведения к нелепости.

Теорема 4. Все прямые углы равны.

Предположим, мы имеем две пары прямых углов: одну пару составляют углы ACD и DCB, а другую углы EGH и HGF, следовательно, CD ⊥ AB и HG ⊥ EF (черт. 21).

Требуется доказать, что прямые углы равны.

Доказательство. Наложим линию EF на линию AB точкой G на точку C, тогда линия GH пойдет по линии CD, ибо из точки C можно восставить только один перпендикуляр, следовательно, прямой угол DCB = прямому углу HGF.

Заключение. Прямой угол есть величина постоянная.

Мера углов. При измерении углов прямой угол, как величину постоянную, принимают за единицу сравнения. Величину его обозначают буквою d.

В таком случае
всякий острый угол d.

Все углы выражаются при помощи прямого. Так, например, говорят: данный угол равен ½ d, 2/3 d и т. д.

Теорема 5. Сумма двух смежных углов равна двум прямым.

Даны смежные углы ACD и DCB (черт. 22).

Требуется доказать, что ACD + DCB = 2d.

Доказательство. Из точки C восставим перпендикуляр CE, тогда

Сложив эти равенства, имеем:

ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (что и требовалось доказать).

Два смежных угла пополняют один другой до двух прямых и потому называются углами дополнительными.

Из теоремы 5 вытекает следствие. Одна пара смежных углов равна другой паре смежных углов.

Теорема 6 (обратная теореме 5). Если сумма двух прилежащих углов равна двум прямым, то две другие стороны лежат на одной прямой.

Пусть сумма двух прилежащих углов ACD и DCB равна двум прямым (черт. 23).

Требуется доказать, что ACB прямая линия.

Доказательство. Допустим, что ACB есть ломаная линия и что продолжение линии AC будет линия CE, тогда

Две величины равные одной и той же третьей равны (аксиома 3), следовательно

ACD + DCB = ACD + DCE

откуда выходит при сокращении

заключение нелепое (часть равна целому, см. акс. 1), следовательно линия ACB есть прямая линия (что и требовалось доказать).

Теорема 7. Сумма углов, имеющих вершину в одной точке и расположенных по одну сторону прямой линии, равна двум прямым.

Даны углы ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, имеющие общую вершину в точке C и расположенные по одну сторону прямой AB (черт. 24).

Требуется доказать, что

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.

Доказательство. МЫ знаем, что сумма двух смежных углов ACF и FCB равна двум прямым (т. 5).

Так как ACF = ACD + DCE + ECF и FCB = FCG + GCB, то заменяя углы ACF и FCB их величинами, находим:

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (что и требовалось доказать).

Теорема 8. Сумма всех углов, расположенных вокруг одной точки, равна четырем прямым.

Даны углы AOB, BOC, COD, DOE, EOA, имеющие общую вершину O и расположенные вокруг точки O (черт. 25).

Требуется доказать, что

AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.

Доказательство. Продолжим сторону EO по направлению OG (чер. 25), тогда

GOB + BOC + COD + DOE = 2d.

Сложив эти равенства, имеем:

EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.

Так как AOG + GOB = AOB, то

EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (ЧТД).

Угол ACB с углом DCE и угол BCD с углом ACE называются вертикальными (чер. 26).

Вертикальные углы. Вертикальными называются такие углы, у которых стороны одного составлены из продолжения сторон другого угла.

Теорема 9. Вертикальные углы равны между собой.

Даны вертикальные углы (чер. 26) ACB и DCE, точно также BCD и ACE.

Требуется доказать, что ACB = DCE и BCD = ACE.

Доказательство. На основании теоремы 5 имеют место равенства:

ACB + BCD = 2d (как сумма двух смежных углов)
BCD + DCE = 2d

ACB + BCD = BCD + DCE

откуда, отняв по равному углу BCD, находим

Подобным же образом доказывают, что

Равносекущая (биссектриса) есть линия, делящая угол пополам.

На чертеже 27 BD есть биссектриса, если ∠ABD = ∠DBC.

Теорема 10. Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны.

Даны смежные углы ACB и BCD (чер. 28). Их биссектрисы линии CF и CE делят смежные углы BCD и BCA пополам, следовательно BCF = FCD, ACE = ECB.

Требуется доказать, что EC ⊥ CF.

Доказательство. По условию

ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD

Сложив эти равенства, имеем:

ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).

Так как ACB + BCD = 2d, то

Так как ECB + BCF = ECF, то

Угол ECF прямой, т. е. линии CE и CF взаимно перпендикулярны (ЧТД).

Источник