что такое прикладные задачи
Разработка для курсовой работы по ТМОМ на тему: «Прикладные задачи»
Глава I . Прикладная направленность и роль задач в обучении математике
§1.1. Прикладная направленность в обучении математике
Математика на протяжении всей истории человеческой культуры являлась ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности. Математические знания и навыки всегда были необходимы для овладения профессиями, связанными с естественными науками, техникой, экономикой. Сегодня математика стала проникать и в области традиционно “нематематические” – управление государством, медицину, лингвистику. Несомненна необходимость применения математических знаний и математического мышления врачу, историку, лингвисту и трудно оборвать этот список, настолько важно математическое образование для профессиональной деятельности в наше время.
Одним из моментов в модернизации современного математического образования является усиление прикладной направленности школьного курса математики, то есть осуществление связи его содержания и методики обучения с практикой. Научно – техническая революция во всех областях человеческой деятельности предъявляет новые требования к знаниям, технической культуре, общему и прикладному характеру образования. Это ставит перед современной школой новые задачи совершенствования образования и подготовки школьников к практической деятельности.
Прикладная направленность школьного курса математики осуществляется с целью повышения качества математического образования учащихся, применения их математических знаний к решению задач повседневной практики и в дальнейшей профессиональной деятельности.
Нельзя обучить приложениям математики, не научив самой математике. Хорошее качество математической подготовки положительно влияет на развитие у учащихся способностей применять математику, на характер этих применений. С другой стороны, усиление прикладной направленности обучения математике имеет положительное влияние на качество обучения самой математике.
Прикладная направленность обучения математике включает в себя реализацию связей с курсами физики, химии, географии, черчения, трудового обучения, широкое использование электронно-вычислительной техники и обеспечение компьютерной грамотности учащихся, формирование у них математического стиля мышления и деятельности.
В разное время проблемой прикладной направленности обучения математике занимались как математики, так и методисты: С.С. Варданян, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.А. Терешин, Ю.Ф. Фоминых и другие. В своих работах они предлагают различные трактовки понятий: прикладная направленность, практическая направленность. В трактовке Н.А. Терешина под прикладной направленностью к обучению математике понимается ориентация содержания и методов обучения на применение математики для решения задач, возникающих вне математики.
Из истории дидактики известно, что интерес к прикладной математике в курсе средней школы всегда носил декларативный характер, хотя формально для каждого периода развития системы образования проблема прикладной направленности “решалась”. Однако не обошлось и без появления работ, которые, по выражению профессора А.Г. Мордковича, имели “псевдоприкладной” характер. До недавнего времени в методике преподавания математики прикладная направленность находила свое отражение в одном из дидактических принципов – принципе политехнизма. Позже широкая математизация подавляющего числа современных наук привела в движение процессы, связанные с внедрением в школьную математику задач не только производственного содержания, характерных для принципа политехнизма, но и задач из области экономики, экологии, социологии, истории и других сфер человеческой деятельности. Принцип политехнизма уступил место прикладной направленности обучения математике, став ее составляющей.
Все приемы и средства обучения, используемые в ходе урока, должны быть сориентированы на реализацию прикладной направленности обучения во всех возможных проявлениях. Учителю следует как можно чаще акцентировать внимание учащихся на универсальность математических методов, на конкретных примерах показывать их прикладной характер.
На уроках необходимо обеспечивать связь изучаемого теоретического материала с практическим, чтобы школьники понимали его значимость, ближнюю и дальнюю перспективу его использования, очертить область, в которой данный материал имеет фактическое применение. Каждое новое понятие или положение должно, по возможности, первоначально появляться в задаче практического характера. Такая задача призвана, во-первых, убедить школьников в необходимости и практической полезности изучения нового материала; во-вторых, показать учащимся, что математические абстракции возникают из практики, из задач, поставленных реальной действительностью.
Использование межпредметных связей является одним из условий реализации прикладной направленности обучения. Объект математики – весь мир, и его изучают все остальные науки. Межпредметные связи в школе – важная дидактическая проблема. Привлечение межпредметных связей повышает научность обучения, доступность, теория насыщается практическим содержанием, на урок проникают элементы занимательности. И, конечно же, важнейшую роль в реализации прикладной направленности обучения математике играют задачи.
· в содержании прикладных задач должны отражаться математические и нематематические проблемы и их взаимная связь;
· задачи должны соответствовать программе курса, вводится в процесс обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения;
· вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание и требование задач должны “сближаться” с реальной действительностью;
· способы и методы решения задач должны быть приближены к практическим приемам и методам;
· прикладная часть задач не должна покрывать ее математическую сущность.
Прикладные задачи дают широкие возможности для реализации общедидактических принципов в обучении математике в школе, помогают заинтересовать учащихся, развивать их умственную деятельность, объяснять соотношение между математикой и другими дисциплинами.
Для реализации прикладной направленности в обучении математике существенное значение имеет использование в преподавании различных форм организации учебного процесса. В своей работе использую следующие формы учебных занятий (по интегральной технологии В. Гузеева):
· вводный урок – актуализация знаний и постановка проблемы
· изучение нового материала
· развивающее дифференцированное обучение
· обобщающее повторение – нетрадиционные уроки с игровыми и занимательными элементами
“Образование не дает ростков в душе, если оно не проникает до значительной глубины”, – говорил древнегреческий философ Протагор из Абдеры (481 – 411г. до н.э.)
Многие математические теории при формальном изложении кажутся искусственными, оторванными от жизни, просто непонятными. Если же подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то станет виден их глубокий жизненный смысл, их естественность, необходимость. Практика убеждает, что вводимый на уроках исторический материал усиливает творческую активность учащихся, это одна из возможностей увеличить их интеллектуальный ресурс, приучить мыслить, быть способным быстро принять решение в самых сложных жизненных ситуациях. “Не мыслям надо учить, а учить мыслить”, – подчеркивал Э. Кант.
Ведущая идея в педагогической практике – максимально раскрыть перед учащимися спектр приложений математических знаний; основная задача – передать свою увлеченность предметом ученикам. Есть несколько приемов по реализации прикладной направленности, которые используются на уроках:
— разнообразные формы устных заданий: традиционные (вычислить, сравнить, упростить) и нетрадиционные: математическая лестница, задача – загадка, задача в стихах, работа по блок-схеме, вычисление цепочкой, задачи экономического, экологического содержания, задачи со сказочными героями, задачи логического характера.
— Использование в устной работе нематематической информации, направленной на воспитание у учащихся любознательности, стремления познавать новое, расширение кругозора.
— Использование так называемых “числовых”, “цифровых”, “буквенных” диктантов позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся, дает возможность научить школьников составлять нетрадиционные, творческие задания.
— Составление задач по моделям, типа: у = х, у = 5х; у = 2х – 3.
На уроках развивающего обучения решаем задачи экономического содержания, задачи, связанные с начислением сложных процентов. При изучении темы в 9 классе “Геометрическая прогрессия” можно выстроить урок “Геометрическая прогрессия и ее приложения в экономике” и рассмотреть вопрос: “Как банки дают кредиты различным фирмам, и как система банков может увеличить возможности кредитования фирм?”. Учащиеся видят, что такие, на первый взгляд, бесполезные вопросы, как сумма членов геометрической прогрессии, бесконечно убывающая прогрессия и ее сумма, имеют глубокий экономический смысл. Применяемые в школьной практике задачи с экологическим содержанием показывают, что школьники лучше начинают ориентироваться в нестандартных ситуациях, прививается у детей любовь к малой родине. Прикладной характер математики можно показать, рассказывая о задачах планирования народного хозяйства. Ребята с интересом узнают, что составление прогноза погоды – сложная математическая задача. Для обработки данных в метеоцентрах ежедневно выполняются почти 300 млн. вычислений. Задачи прикладного характера позволяют расширить понятия о здоровом образе жизни. В повседневной работе стараюсь обнаруживать и укреплять связь тех трудовых и умственных умений и навыков, которые вырабатываются в процессе занятий математикой, с навыками, необходимыми в различных профессиях. Хорошим резервом служит проведение внеклассной работы по предмету. Традиционно участвуем в декаде математики, в течение которой приобретаются практические умения и навыки, развивается фантазия.
Работать над реализацией прикладной направленности обучения надо очень серьезно, ведь она влечет за собой развитие познавательной активности учащихся. Перебрать десяток методов и выбрать нужный, переработать десятки учебников, но думать самому, вечно изобретать, совершенствоваться. И все для того, чтобы разбудить детей, ввести их в царство мысли.
§1.2. Роль задач в обучении математике
В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется половина учебного времени уроков математики (700-800 академических часов в IV-Х классах). Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся.
В обучении математике задачам всегда отводилась достаточно большая, если нерешающая, роль. Задачи становятся не только и не столько целью, сколько средством обучения.
Применение математики к решению задач из любой другой области включает в себя следующие три этапа:
1) перевод предложенной задачи на язык подходящей для ее решения математической теории (построение математической модели задачи);
2) решение задачи в рамках математической теории, на язык которой она переведена (решение задачи внутри модели);
3) обратный перевод результата решения на язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация полученного решения).
Хороший материал для организации лабораторной практики по математике предоставляют задачи с практическим содержанием. Особенного внимания заслуживают те из них, которые являются задачами без готовых данных, т. е. задачи, не сформулированные явно в математических терминах.
Любая задача, возникающая в практике, по своему содержанию не является математической, и, чтобы решить, ее приходится прежде переформулировать на язык математики. Это — наиболее трудная часть работы.
Прикладные задачи, как и систему лабораторных работ, можно вводить с 5 класса.
Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.
Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам, алгоритм решения которых либо неизвестен, либо не существует.
В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения математике приводит к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартной задаче возникает необходимость в вариативном поиске решения.
«Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно не доступной цели.
Решение задач означает нахождение этого средства».
Определённые группы задач, предназначенных для классных и внеклассных занятий, вполне пригодны для выработки «надлежащих навыков мысли», навыков, направленных на поиски решения задач. В книге М. И. Махмутов рассказывает об исследовании, проведённом группой учёных, математиков и психологов с целью выявления закономерностей активизации познавательной деятельности учащихся. Вот что он пишет в книге: «Теоретическое осмысление работ лучших учителей помогло обнаружить в учебном процессе общую закономерность активизации познавательной деятельности учащихся: напряжение интеллектуальных сил ученика вызывается главным образом постановкой проблемных вопросов, проблемных познавательных задач и учебных заданий исследовательского характера. Это напряжение рождается в столкновении с трудностью в понимании и осмыслении нового факта или понятия и характеризуется наличием проблемной ситуации, высокого интереса учащегося к теме, его эмоционального настроя и волевого усилия.»
Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемную ситуацию. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами. Применять математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующие практические задачи.
Итак, как видно из приведённого выше обзора мнений различных специалистов в области образования и обучения математике, задача является основным звеном внутри процесса обучения, а тем более такого, как проблемное и развивающее.
Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемную ситуацию. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами. Применять математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующие практические задачи.
Статья: «Задачи прикладного характера при изучении математики»
«Задачи прикладного характера при изучении математики»
математики Чамина Л.М.
В колледж поступают учащиеся с разным уровнем подготовки, и чаще всего этот уровень очень низкий. У ребят слабо сформирована база математических знаний, умений и навыков. И чтобы изучить программный материал и решить задачи, сформулированные в Образовательном стандарте и Концепции учебного предмета «Математика», следует повысить мотивацию к изучению данного предмета.
Этого можно достичь, лишь показав учащимся конкретные ситуации в избранной ими профессии, где используется математика. В этом случае эффективным является решение прикладных задач.
В своей практике мы придерживаемся определения понятия прикладной задачи, которое предложил И. М. Шапиро. Под задачей прикладного характера мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций.
Обучение математике в техникуме в соответствии с Методическими рекомендациями «О преподавании учебного предмета (учебной дисциплины) «Математика» в учреждениях профессионально-технического и среднего специального образования» осуществляется по школьным учебникам, анализ которых выявил низкое содержание задач прикладного характера. Поэтому преподавателю следует самому подбирать такие задачи.
При выборе задач мы ориентируемся на требования, которые предъявляются к человеку той или иной профессии, на виды деятельности, которыми ему предстоит овладеть. Помимо этого, задачи должны удовлетворять следующим требованиям:
задачи должны соответствовать программе курса, вводиться в процесс обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения;
вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание и требование задачи должны «сближаться с реальной действительностью»;
способы и методы решения задачи должны быть приближены к практическим приемам и методам;
прикладная часть задачи не должна покрывать ее математическую сущность;
текст задачи должен отражать реализацию межцикловых и межпредметных связей.
С учетом особенностей изучаемого материала, уровня подготовленности учащихся преподаватель определяет, с какой целью используется та или иная задача.
Задачи с практическим содержанием можно использовать для решения следующих дидактических целей:
мотивация введения новых математических понятий и методов;
иллюстрация учебного материала;
закрепление и углубление знаний по предмету;
формирование практических умений и навыков.
Решение всех задач проходит в четыре этапа.
Анализ условия задачи (задача формулируется на описательном языке).
Построение математической модели задачи (перевод исходной задачи на математический язык).
Решение математической модели задачи (если задача известная, то она решается по соответствующему ей алгоритму; если задача никогда не решалась, то осуществляется поиск необходимого алгоритма).
Интерпретация решения (это перевод решения задачи на исходный язык).
В таблице 1 представлены примеры прикладных задач с указанием тем для которых они могут быть использованы.
Какое количество удобрения вмещает бочка цилиндрической формы высотой 5,3 м с радиусом основания 2 м?
Одна кружка вдвое выше другой, зато другая в полтора раза шире. Какая кружка вместительнее?
Сколько меха понадобится для обшивки валика цилиндрической формы высотой 32 см с радиусом основания 5 см?
Какое количество солярки вмещает цилиндрическая цистерна диаметра 18 м и высотой 7 м?
Сколько песка понадобится для возведения клумбы «Альпийская горка» конической формы, радиус основания которой 2 м, а образующая 2,5 м?
Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если растает?
Сколько материала потребуется для пошива колпака конической формы, радиус основания которого 10 см, а образующая 30 см?
Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 2 м, диаметр башни 6 м. Найдите поверхность крыши.
Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шара с радиусом 5 м?
Какой объем теста понадобится для выпечки 100 шарообразных пончиков радиусом 2 см?
Сколько потребуется материала для обшивки светильника в форме шара радиусом 24 см?
Рекомендуется перед изучением материала проанализировать, в каких ситуациях в профессиональной деятельности учащихся может пригодиться данный материал, и составить соответствующую систему задач с практическим содержанием.
Выводы: Систематическое использование прикладных задач на уроках математики позволяет связывать теорию с практической деятельностью, что способствует более глубокому освоению профессии, развитию интереса к математике, ориентирует учащихся на более высокий уровень ее изучения.
Методическая разработка по теме: Прикладные задачи в курсе алгебры и начал математического анализа
Методическая разработка по теме:
Прикладные задачи в курсе алгебры и начал математического анализа
Автор: Учитель математики
Гулария Татьяна Вячеславовна
Глава 1. Использование прикладных задач в алгебры и начал анализа.
1.1. Анализ программы алгебры и начал анализа на предмет прикладных задач.
Алгебра и начала анализа– один из важнейших компонентов математического образования, необходимый для приобретения конкретных знаний и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения, интуиции, математической культуры учащихся.
Программы, составленные к УМК А.Г. Мордковича и УМК С. М. Никольского, М. К. Потапова и др., составлены на основе федерального компонента Государственного стандарта основного общего образования и преследуют следующие цели:
• формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
• развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности;
• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;
• воспитание средствами математики культуры личности; отношения к математике как части общечеловеческой культуры; знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса.
Алгебра и начала анализа нацелены на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей, процессов и явлений реального мира.
Одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики; овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символических форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к математическому творчеству.
Другой важной задачей изучения алгебры является получение школьниками конкретных знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов (равномерных, равноускоренных, экспоненциальных, периодических и др.), для формирования у учащихся представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры.
Изучение алгебры и начал анализа вносит вклад в развитие логического мышления, способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии. Кроме того, основной задачей курса алгебры и начал анализа является необходимость обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни в современном обществе, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Очевидно, что такие знания и умения обучающийся может приобрести только при условии реализации прикладной направленности обучения математике в школе. Для этого необходимо, чтобы при преподавании математики обеспечивалось органическое единство изложения теории и практики, развивающее у учащихся умения применять теорию для решения прикладных задач, выполнения различных практических и лабораторных работ. Изучая математику, учащиеся должны усвоить и оценить ее прикладные возможности и получить основные навыки в приложении математики на практике.
К сожалению, необходимо отметить, что рассмотренные программы курса «Алгебры и начал математического анализа» практически не содержат задач прикладной направленности. Есть небольшое количество задач прикладной направленности в разделах: «Функции и графики» (задачи на построение графиков зависимости физических величин), «Производная» (задачи на оптимизацию), и «Интеграл» (задачи на вычисление площадей геометрических фигур). Самое большое количество практических задач содержит раздел «Э лементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики». Прикладные задачи по другим разделам алгебры находятся вне зоны внимания школьной программы. Это ведёт к оторванности математической науки в школе от реальной жизни, что в свою очередь ведёт к снижению познавательной активности и мотивации школьников к изучению предмета, так как они не видят практического применения знаний предмета в своей повседневной и будущей жизни, теряется связь между профессиональными и учебными интересами.
Наверное, нет ни одного учителя математики, которому не приходилось отвечать на вопросы: «А зачем мне это нужно?», «Как мне это пригодиться в дальнейшей жизни?» Для выяснения мотивации старших школьников к изучению математики среди учащихся 9-х, 10-х и 11-х классов был проведён опрос. Им было предложено выбрать ответ на вопрос «Зачем мне нужна математика?» ( Приложение 1 ) В опросе участвовало 93 учащихся.
Результаты опроса представлены в таблице 1. и на диаграмме ( рисунок 1 )
1. Необходима для продолжения обучения
2. Необходима для получения аттестата
3. Необходима для приобретения профессии
4. Для общего развития
5. Заставляют родители
7. Этот предмет мне интересен
Анализ результатов опроса показывает, что только 16% опрошенных связывают изучение математики со своей будущей профессией, 18% осознают необходимость получения знаний по предмету с дальнейшим обучением, 25% учащихся видят приобретаемые знания в зоне своих ближних интересов – получение аттестата. И в общей сложности 41% учащихся относятся к изучению алгебры неосознанно, не видя прикладного применения своим знаниям.
1.2. П рикладная направленность школьной математики.
Прикладная направленность школьного курса математики осуществляется с целью повышения качества математического образования учащихся, применения их математических знаний к решению задач повседневной практики и в дальнейшей профессиональной деятельности.
Нельзя обучить приложениям математики, не научив самой математике. Хорошее качество математической подготовки положительно влияет на развитие у учащихся способностей применять математику, на характер этих применений. С другой стороны, усиление прикладной направленности обучения математике имеет положительное влияние на качество обучения самой математике.
Из истории дидактики известно, что интерес к прикладной математике в курсе средней школы всегда носил декларативный характер, хотя формально для каждого периода развития системы образования проблема прикладной направленности «решалась». Однако не обошлось и без появления работ, которые, по выражению профессора А.Г. Мордковича, имели «псевдоприкладной» характер. До недавнего времени в методике преподавания математики прикладная направленность находила свое отражение в одном из дидактических принципов – принципе политехнизма. Позже широкая математизация подавляющего числа современных наук привела в движение процессы, связанные с внедрением в школьную математику задач не только производственного содержания, характерных для принципа политехнизма, но и задач из области экономики, экологии, социологии, истории и других сфер человеческой деятельности. Принцип политехнизма уступил место прикладной направленности обучения математике, став ее составляющей. Прикладная направленность обучения математике включает в себя его политехническую направленность, в том числе реализацию связей с курсами физики, химии, биологии, экономики, и т.д.; широкое использование электронно-вычислительной техники и обеспечение компьютерной грамотности; формирование математического стиля мышления и деятельности.
Очень важно учителю как можно чаще акцентировать внимание учащихся на универсальности математических методов, на конкретных примерах показывать их прикладной характер.
На уроках необходимо обеспечивать органическую связь изучаемого теоретического материала и задачного материала, так, чтобы школьники понимали его значимость, ближнюю и дальнюю перспективу его использования. По возможности, можно очертить область, в которой данный материал имеет фактическое применение. Хорошо известно, что одним из главных условий осуществления деятельности, достижения определенных целей в любой области является мотивация. В основе мотивации, как говорят психологи, лежат потребности и интересы личности. Чтобы добиться хороших успехов в учебе школьников, необходимо сделать обучение желанным процессом. Поэтому каждое новое понятие или положение должно, по возможности, первоначально появляться в задаче практического характера. Такая задача призвана, во-первых, убедить школьников в необходимости и практической полезности изучения нового материала; во-вторых, показать учащимся, что математические абстракции возникают из практики, из задач, поставленных реальной действительностью. Это один из путей усиления мировоззренческой направленности обучения математике.
Использование межпредметных связей является одним из условий реализации прикладной направленности обучения. Объект математики – весь мир, и его изучают все остальные науки. Межпредметные связи в школе – важная дидактическая проблема. Привлечение медпредметных связей повышает научность обучения, доступность (теория насыщается практическим содержанием), естественным образом проникают на урок элементы занимательности. Однако появляется и немало трудностей: учителю требуется освоить другие предметы, практическая задача обычно требует больше времени, чем теоретическая, возникают вопросы взаимной увязки программ и другие. И, конечно же, важную роль в реализации прикладной направленности обучения математике играют задачи.
Анализ школьных математических задач и деятельности учащихся при их решении позволил выделить особо класс прикладных задач. Это обусловлено рядом причин:
1. Они представляют собой модели реальных жизненных ситуаций, окружающих школьника, и при обучении их решению можно опереться на опыт ученика и тем самым мотивировать процесс познания, стимулировать обучение математике в школе.
2. Они формируют владение математическим языком для общения с людьми, для познания и описания окружающего мира, для умения переформулировать утверждения, для раскрытия формального содержания математических понятий прикладными примерами, т.е. повышают уровень математической культуры школьников.
В психолого-педагогической и методической литературе вопросам методики обучения школьников решению прикладных задач уделяется большое внимание.
Для нашего времени характерна интеграция наук, стремление получить как можно более точное представление об общей картине мира. Эти идеи находят отражение в концепции современного школьного образования. Но решить такую задачу в рамках одного учебного предмета невозможно. Поэтому в теории и практике обучения необходимо использовать межпредметные обобщения. Интегрированные уроки математики с другими предметами обладают ярко выраженной прикладной направленностью и вызывают несомненный познавательный интерес учащихся. На таких уроках развивается познавательная и исследовательская деятельность учащихся. Ведь работа учителя и ученика в этом случае доставляет радость, является продуктивной. «Образование не дает ростков в душе, если оно не проникает до значительной глубины», – говорил древнегреческий философ Протагор из Абдеры (481 – 411г. до н.э.)
Многие математические теории при формальном изложении кажутся искусственными, оторванными от жизни, просто непонятными. Если же подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то становится виден их глубокий жизненный смысл, их естественность, необходимость. Практика убеждает, что вводимый на уроках исторический материал усиливает творческую активность учащихся, пробуждает интерес к изучению предмета. Это происходит в процессе решений исторических задач, через обзоры жизни и деятельности великих математиков учитель имеет возможность познакомить учащихся с самим понятием творчества, коснуться многих нравственных категорий. Исторический материал – это одна из возможностей увеличить интеллектуальный ресурс учащихся, приучить их мыслить, быть способным быстро принять решение в самых сложных жизненных ситуациях. «Не мыслям надо учить, а учить мыслить», – подчеркивал Э. Кант.
1.3. Сущность понятия «прикладная задача».
Что же такое «задача с практическим содержанием»? Надо сказать, что несмотря на то, что к данной проблеме немало обращались в своих трудах методисты и педагоги, точных определений существует очень мало. Одно из определений дает нам И.М. Шапиро в своей книге для учителей «Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики»: «Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении бытовых операций»
В настоящее время существуют и другие трактовки понятия прикладной задачи:
— как задача, требующая перевода с естественного языка на математический (С.С.Варданян, Г.М.Возняк и др.);
— как задача, близкая к задачам, возникающим на практике, по своей постановке и методам решения (Г.М.Морозов и др.);
— как задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами (Н.А.Терешин и др.).
В общем, под термином «прикладная задача» нужно понимать такую задачу, которая показывает применение математической теории в практических ситуациях. В содержании или в ходе решения прикладных задач должно быть показано применение математической теории во внематематических ситуациях.
Анализ школьных математических задач и деятельности учащихся при их решении позволяют выделить особо класс прикладных задач. Это обусловлено рядом причин:
1. Они представляют собой модели реальных жизненных ситуаций, окружающих школьника, и при обучении их решению можно опереться на опыт ученика и тем самым мотивировать процесс познания, стимулировать обучение математике в школе.
2. Они формируют владение математическим языком для общения с людьми, для познания и описания окружающего мира, для умения переформулировать утверждения, для раскрытия формального содержания математических понятий прикладными примерами, т.е. повышают уровень математической культуры школьников.
Практика показывает, что школьники с интересом решают и воспринимают задачи практического содержания. Учащиеся с увлечением наблюдают, как из практической задачи возникает теоретическая, и как чисто теоретической задаче можно придать практическую форму.
К прикладной задаче следует предъявлять следующие требования:
• в содержании прикладных задач должны отражаться математические и нематематические проблемы и их взаимная связь;
• задачи должны соответствовать программе курса, вводится в процесс обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения;
• вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание и требование задач должны “сближаться” с реальной действительностью;
• способы и методы решения задач должны быть приближены к практическим приемам и методам;
• прикладная часть задач не должна покрывать ее математическую сущность.
Прикладные задачи можно разделить:
по величине проблемности – обучающие, поисковые, проблемные;
по формам решения – устные, полуустные, письменные;
по числу объектов в условии задачи и связей между ними – сложные, простые.
Прикладные задачи дают широкие возможности для реализации общедидактических принципов в обучении математике в школе.
Прикладные задачи могут быть использованы с разной дидактической целью, они могут заинтересовать или мотивировать, развивать умственную деятельность, объяснять соотношение между математикой и другими дисциплинами.
Как же усилить практическую и прикладную направленность обучения математике?
Для реализации прикладной направленности обучение математике существенное значение имеет использование в преподавании различных форм организации учебного процесса. Целесообразно использовать в работе различные формы учебных занятий:
• уроки разных типов (изучение нового материала, первичное закрепление;
• комплексное применение знаний, умений и навыков; обобщение и систематизация изученного материала и т.д.);
• практические занятия (семинары, консультации, зачеты);
• нетрадиционные формы уроков: урок-сказка, урок-путешествие, урок деловая игра и другие).
1.4. Практико-ориентированные задачи в курсе алгебры и начала анализа.
Особенности школьного курса алгебры таковы, что в нем выделяются лишь содержательные линии курса (число, тождественные преобразования, уравнения и неравенства, функции), которые в той или иной мере теоретически обосновываются. Вместе с тем, школьный курс алгебры потенциально богат количеством практического материала, требующего от учащихся уверенного владения умениями решать различного рода уравнения и неравенства, выполнять преобразования рациональных и тригонометрических выражений, строить и читать графики функций и т.п. Поэтому реализация прикладной направленности обучения алгебре должна определенным образом быть целенаправленно заложенной и в его методическом обеспечении.
В ходе изучения курса алгебры и начал анализа завершается разработка аналитического аппарата, применяемого во всех естественно-математических дисциплинах. Знакомство учащихся с элементами математического анализа открывает широкие возможности для иллюстраций применимости математики к решению важных прикладных задач. К примеру, владение началами дифференциального и интегрального исчислений позволяет на содержательных примерах изучать процессы, показать известную универсальность математических методов, продемонстрировать основные этапы решения прикладных задач средствами математики.
Задачи с практическим содержанием можно применять на различных этапах урока. Использование задач как средства мотивации знаний неоднозначно. С одной стороны, такие задачи своим интегрированным содержанием, необходимостью использования сформированных приемов умственных действий, опорой на дополнительный материал, добытый в ходе самообразования, в случае умелой организации учебной работы и своевременного, программно согласованного введения задач в учебный процесс.
Чтобы не возникало таких трудностей, задачи с практическим содержанием должны быть подобраны так, чтобы их постановка привела к необходимости приобретения учащимися новых знаний по математике, а приобретенные под влиянием этой необходимости знания позволили решить не только поставленную задачу с практическим содержанием, но и ряд других задач прикладного характера. Для создания проблемной ситуации можно использовать и отдельные фрагменты задач с практическим содержанием, а задачи в целом рассмотреть на уроках обобщения и систематизации знаний. Использование задач проблемного характера обеспечивает более сознательное овладение математической теорией, учит школьников самостоятельному выполнению учебных заданий, приемам поиска, исследования и доказательства, основным мыслительным операциям.
Глава 2. Прикладные задачи по комбинаторике, статистике и теории вероятности
В соответствии с федеральным компонентом Государственного стандарта образования и программу по математике за курс основной (средней) школы включаются элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Теория вероятностей – это математическая наука о случайном и закономерностях случайного. В школьном курсе математики и других естественных наук господствовала только одна идея – о существовании жестких связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики; даже в курсе истории нет места случайности: он построен так, что все события предопределены и закономерны.
Но окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъёмы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и так далее. Теория вероятностей в средней школе – это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления о жёстких связях, и о случайном. Необходимо научиться измерять случайность числом, вычислять шансы различных событий. Без знания понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства, внедрение новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной политики.
Как уже отмечалось выше, этот раздел в школьном курсе математики содержит достаточное количество практических задач. Поэтому здесь задача учителя состоит в том, чтобы обратить внимание обучающихся на применение получаемых ими знаний в различных отраслях деятельности и жизненных ситуациях.
2.1. Задачи на применение производной.
Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т.е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения, имеют большое практическое применение.
Применение производной позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности, требует от учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления. Здесь приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. По существу, зачастую проводится небольшое математическое исследование, в процессе которого развиваются логическое мышление, математические способности, повышается математическая культура.
2.2. Задачи на применение интеграла.
Общим для этого типа задач является подход к решению задачи: большое можно представить как сумму маленького, площадь плоской области можно представить как сумму площадей прямоугольников, на которые мысленно разбивается область, объем как сумма объемов кусочков, масса тела как сумма масс частей и т.д.
Математика обобщает прикладные задачи заменяя физические, геометрические величины абстрактными математическими понятиями (функция, промежуток или область интегрирования), исследует условия интегрируемости и предлагает практические рекомендации к использованию определенного интеграла.
2.3. Задачи на применение показательной функции и логарифмов.
Логарифмы нелюбимы школьниками за свою непонятность — решаешь, решаешь, а зачем — непонятно! Какое практическое применение? Оказывается, у логарифма есть множество применений, причём в различных областях науки и практики — как физике и химии, так и в географии, биологии, экономике.
Для начала, вспомним что такое логарифм? Логарифм говорит нам в какую степень нам надо возвести число a, чтобы получить другое число b. То есть решением уравнения a х =b по определению является логарифм x=log а b. И тут начинается самое интересное.
Оказывается, что многое в нашем мире описывается не линейным соотношением, а именно логарифмической функцией. То есть важно не насколько отличаются два числа (линейная шкала), а на сколько порядков величин они различаются (логарифмическая шкала).
В физике логарифм фигурирует в термодинамической энтропии. В химии он входит в уравнение Нернста. Слышали в рекламе про мыло «пэаш 5 и 5»? Кто этот господин Пэаш? А это отрицательный логарифм концентрации ионов водорода в растворе: pH=-lg([H+]).
В экономике логарифмическим доходом может описываться закон убывающей производительности — отдача на каждый дополнительный доллар вложений будет всё меньше и меньше. Для качества жизни разница между 100 и 200 долларами дохода менее значима, чем разница на порядок, между 200 и 1000 долларами.
2.4. Тригонометрические задачи.
Как и всякая другая наука, тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач. Первые этапы развития тригонометрии тесно связаны с развитием астрономии. Большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрии оказали потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил. Значительную роль в развитии тригонометрии сыграла потребность в составлении географических карт и тесно связанная с этим необходимость правильного определения больших расстояний на земной поверхности.
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.
Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Следует отметить применение тригонометрии в следующих областях: техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ), компьютерная томография, фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография. Тригонометрия используется во многих разделах физики, топографии, геодезии, архитектуре, фонетике, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике, кристаллографии.
Маркова А.К. Формирование мотивации учения. М.: Просвещение. 2003.
Волович, М.Б. Наука обучать. Технология преподавания математики. М. Linka-Press, 1995г.
Возняк, Г.М. Прикладные задачи в мотивации обучения. // Математика в школе. №2, 1990г.
Глейзер, Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. Под редакцией В.Н.
Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. для учащихся. – М: Просвещение, 1990. – 96 с.
Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Кн. для учителя. – М: Просвещение, 1980. – 96 с.
2.Самсонов П.И. Математика: Полный курс логарифмов. Естественно – научный профиль.-М.:Школьная Пресса, 2005.-208 с. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 32.)
Амелькин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. – Минск: Высшая школа, 1982. – 272с.
Шубин М.А. Математический анализ для решения физических задач.,М: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2003