что такое предел функции простыми словами
Что означает предел в математике
Сага о погрешностях при участии слова lim
Кто о чём, а мы продолжаем разбирать сложную математику, чтобы она не была такой сложной.
Что такое предел в математике
Когда математики говорят о пределах, то имеют в виду такую последовательность событий:
Самое простое объяснение функции в математике.
👉 Стремиться — значит стараться приблизиться к какому-то числу, но не достигнуть его.
Если мы говорим, что переменная функции стремится к бесконечности, то это значит, что с каждым новым вычислением мы берём значение переменной больше предыдущего.
1, 2, 3, … 1000000000000003, 1000000000000004 и так до бесконечности
Наоборот тоже работает: если переменная функции стремится к нулю, то это значит, что она постоянно уменьшается:
1, 0.1, 0.01, 0.001, … 0.00000000000000000000000001 и с каждым разом число будет ближе к нулю, но никогда его не достигнет.
Стремление переменной к числу обозначается стрелкой: x→0, а предел — словом lim:
График и предел
Если мы нарисуем график этой функции, то можем увидеть, что начиная с какого-то момента он превратится в почти прямую линию вдоль оси. Почти прямую — потому что прямой он никогда не станет, но стремится к этому, если продолжить рисовать график бесконечно.
Но бесконечный график означает, что у нас переменная функции стремится к бесконечности. А значение этой линии на графике — это и есть предел этой функции при переменной, стремящейся к бесконечности:
Пределы в жизни
Пределы из математики часто используются для решения практических задач, где нужно найти точку, после которой разница в результате будет уже незаметна.
Например, бригада монтажников строит мост, и им нужно понять, какой максимальной длины можно сделать плиту перекрытия. Есть требования, что плита должна выдерживать в середине нагрузку в 50 тонн — она может быть и прочнее, но 50 тонн это минимум. Для решения этой задачи используют предел — он покажет, длиннее какого размера делать плиту нельзя, а всё, что короче, даст необходимую прочность.
Астрономы с помощью пределов изучают законы Вселенной, физики проверяют всё на прочность, и даже в микроэлектронике затухание сигналов тоже зависит от пределов функций.
Погрешность в пределах
В математике пределы считаются точно: используются специальные формулы и трюки, которые помогают найти точный ответ. Но в жизни такая точность необязательна: можно взять любое решение, которое нас устроит с приемлемой погрешностью.
Эта погрешность поможет нам считать пределы, не зная точных математических формул подсчёта.
Считаем предел в программировании
Раз у нас есть постоянное действие по уменьшению или увеличению переменной, то логично сделать из этого простой цикл и поручить его машине. Единственное, что нам нужно предусмотреть, — момент, когда цикл должен остановиться, потому что в мире математики lim по умолчанию касается бесконечности (потому что стремиться можно бесконечно).
Так как мы не знаем заранее точного предела функции, но можем контролировать количество повторений, то сделаем такие условия для остановки цикла:
Самый сложный момент в коде — описать то, как переменная функции к чему-то стремится. Если к бесконечности, то всё просто: на каждом шаге прибавляем или умножаем на какое-то число. А если нужно, чтобы переменная стремилась к нулю или другому числу, то можно действовать так: брать начальное число, конечное, складывать их и делить пополам. Так мы будем постоянно приближаться к нужному нам числу, но никогда его не достигнем.
⚠️ Важная оговорка: числа в компьютере — это не числа в абстрактном математическом понимании, а конечный набор данных. Конечный он тем, что на всякое число выделяется какое-то количество «клеток», в которые это число можно записать. Если у нас ограниченное количество «клеток», значит, у нас есть какой-то предел самого большого и самого малого числа.
С точки зрения математики любое число можно бесконечно делить и получать бесконечное число знаков после запятой; а с точки зрения компьютера бесконечное число знаков невозможно, и если делить достаточно долго — мы получим ноль.
Поэтому в работе с пределами важно указывать либо число шагов для определения предела, либо погрешность.
Теперь напишем простой цикл, который нам посчитает lim x→2 (8−2x) / (x²−4x−12):
Если мы посчитаем этот предел как математики, то получим значение −1. Проверим, как с этим справится наш код:
Программа справилась и выдала результат с нужной нам точностью
Что такое предел функции
В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.
Определение предела функции
Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.
Запись предела:
Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):
Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.
x →1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).
Решение пределов
С заданным числом
Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x →1):
Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).
С бесконечностью
В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:
Если x →∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:
Другой более сложный пример
Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.
Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция неограниченно растет.
С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.
Пример: давайте вычислим предел ниже.
Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:
Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:
1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).
2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).
3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.
4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.
С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)
И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.
В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.
Пример: Найдем предел функции ниже.
1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.
2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.
Знаменатель () изначально является простым.
3. Получаем вот такой видоизмененный предел:
4. Дробь можно сократить на ():
5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:
Предел функции: основные понятия и определения
В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.
Понятие предела
Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.
Что такое предел функции
В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.
При x → ∞ предел функции f ( x ) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).
Решение
Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.
Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:
Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.
Решение
Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f ( x ) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞
Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными – отрицательных.
Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.
Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.
Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.
Решение
Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:
Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.
Пределы
Пределы — одни из самых трудных сущностей в математике для понимания. Сложно объяснить просто, что такое предел, поэтому чаще всего этого никто и не делает.
И тем более, мало к то из преподавателей может привести пример из жизни, когда пределы все-таки могут пригодится. Но мы попытаемся объяснить так, чтобы было и понятно и несложно и по сути. Как обычно «на пальцах».
Что такое пределы простыми словами
Наверное самое наглядное, что можно вспомнить из истории, это знаменитый парадокс Зенона «Ахиллес и черепаха». Зенон был философом, а не математиком, поэтому мог вполне свободно упражняется в остроумии не заботясь о доказательствах.
Ахиллес и черепаха бегут на перегонки. Черепаха начинает первой, человек догоняет. Ахиллес бежит быстрее, но когда он пробегает 100 шагов, черепаха все рано проползает один. Еще 100 шагов и еще один. Таким образом Ахиллес приближается к черепахе но и она чуть-чуть отдаляется от него. Зенон делает вывод, что Ахиллес будет бесконечно к ней приближаться, но никогда не догонит черепаху!
В этой истории важно не то, что на самом деле она не реальна, а ее «математический смысл». Человек приближается к черепахе но никогда ее не настигает. То есть некий предел (черепаха) к которому стремится Ахиллес.
Говоря простым языком, предел это такое значение, которое нельзя достичь, но можно бесконечно близко к нему приблизится.
То есть, в пределе определенного промежутка времени Ахиллес действительно не догонит черепаху (времени не хватит), но приблизится к ней на бесконечно малое расстояние.
Пределы в математике
Стоит сразу сказать, что определение пределов больше чем одно, потому, что они бывают разные. Есть придел последовательности, а есть предел функции.
Давайте разделим число 10 пополам:
10/2=5, и еще раз, 5/2=2,5 и еще…
Это последовательность n/2: 10…2,5…1,25…
Если делать это 20 раз получится вот такое значение: 0,000019
А если сделать 100 раз, то вот такое: 0,000000000000000000000000000016
Если делить пополам бесконечно, результат будет уменьшатся, в реальной жизни, это будет уже фактически ноль, но в математике, все еще не ноль… Предел этой последовательности будет стремиться к нолю.
Если взять другу последовательность, например n+1. 2…3…4…5… и снова устремимся в бесконечность. Предел этого множества тоже будет стремится к бесконечности.
Еще один пример
Бросаем монетку. Может выпасть «орел», а может и «решка». Теория вероятности утверждает, что шансы всегда 50/50, то есть вероятность «орла» — 1/2=0,5.
Каждый раз, значение реальной вероятности, приближается к расчетным 0,5. Чтобы получить вероятность ровно 0,5 нужно подбросить монетку бесконечное количество раз.
То есть, при условии, что количество бросков стремится к бесконечности предел предел будет равен 0,5.
Это именно та бесконечность из матанализа о которой было сказано в статьях об интегралах и делении на ноль. Это не какое-то определенное число — это понятие.
Предел последовательности
Предел последовательности — это пространство которое содержит все все элементы последовательности начиная с какого-то значения.
А простыми словами, предел последовательности, простыми словами, это такая «область» куда попадают все значения после определенного порога (в нашем случае – А). На изображении ниже она условно показана синей полоской.
ε — это произвольное положительное число.
Можно заметить, что при продолжении вверх последовательности ее значения все равно будут оставаться в пределах «синей полосы».
Можно сказать и так:
Предел числовой последовательности, это число (s на графике) в окрестности которого попадает бесконечно много значений. При этом вне предела, количество значений явно конечно.
Чтобы было еще понятнее: предел последовательности это значение (точка А) выше которого все будет попадать в область не больше s+ε и s-ε. Бесконечное количество таких значений будет «лежать» внутри синей полоски.
Математическим языком можно записать так: s-ε Предел функции простыми словами объяснить также просто. Предел в какой-то произвольной точке — это величина к которой значение функции приближается. Например, f(x)=2x, а х→0 (икс стремится к нулю).
В этом случае предел функции будет равен lim 2x=0. Или в случае если х→2 то предел равен lim 2x=4. Пока все просто. Вот только зачем вычислять пределы, если можно просто выбросить «lim» и расчеты останутся те ми же?….
Зачем нужны пределы
Пределы как раз и нужны тогда, когда мы имеем дело с бесконечностью. Например, бесконечно большими или бесконечно малыми значениями.
Непонятно, что такое «бесконечно большое» или «бесконечно долго», это не какое-то определенное число. С бесконечно малыми значениями та же ситуация, это не «ноль» но как-то очень близко к нему. Тут и выручают пределы.
В точке х=2 — пусто. Потому, что получается 0/0, то есть неопределенность. Но стоит вместо 2 подставить 1,9999999999(9) или 2,000000001(1). Значения бесконечно близкие к 2, но не «два», как график превратится в прямую.
В этом случае речь идет о пределе функции при «икс» стремящемуся к двум, функция стремится к 4.
Такой своеобразный «трюк» в расчетах с заменой знака равенства на стрелочку.
Нет, не совсем. Когда речь идет о пределах, имеется в виду процесс, не важно функция это или множество, но предел описывает процесс в динамике. Тогда как знак «равно» означает статическое состояние.
x=1 и x→1, это совсем не одно и то же.
Примеры из жизни
Зачем все это нужно где применяется пределы в реальных расчетах?
Простое объяснение пределов невозможно, если не привести наглядный пример. Но только где его взять? Существует ли какой-то физический смысл пределов? Не точный аналог но что-то похожее есть.
Можно провести простой эксперимент, взять, например, спичку. Или что-угодно, чего не жалко. Начинаем пытаться сломать спичку, сначала одно усилие, потом чуть больше и еще больше. В один из моментов спичка треснет пополам.
Поздравляем, вы достигли предела прочности. Можно повторить эксперимент с другими спичками и установить, значение при котором спичка ломается.
Что тут общего с пределами из математики, кроме названия.
Есть множество значений силы до предела прочности и оно ограничено, и множество значений после предела прочности, их неограниченное множество. Ведь спичка уже сломана, любое усилие выше предела прочности будет ломать новую и новую спичку. Точно так же как и с пределом функции или множества.
Все, что лежит за пределом, уже не имеет практического значения — спичка не устоит.
Еще один пример, это «практический потолок» летательного аппарата. Это максимальная высота на которую может «взобраться» самолет, чтобы подняться выше будет уже не хватать подъемной силы. Хотя на есть еще и понятие «динамический потолок» — это высота на которую можно подняться хорошенько разогнавшись.
Но, выскочив на эту высоту, через некоторое время самолет все равно опустится на свой «потолок».
Посмотрите на картинку ниже, это наглядный пример такого явления как резонанс.
Колебание моста из-за резонанса
Мост так раскачивается из-за того, что собственная частота колебания совпадает с той частотой с которой его раскачивает ветер, амплитуда колебаний постоянно возрастает и мост разрушается. В этом случае амплитуда стремится к бесконечности, так как в знаменателе формулы находится выражение w0-w (собственная частота колебаний минус вынужденная частота), а так как обе w равны, получается то самое деление на ноль, а значит амплитуда → ∞.
Самое понятное объяснений пределов в реальности, с которым может столкнуться каждый — это сложные банковские проценты по кредиту. И если вы не умеете рассчитывать сложны проценты, не берите кредит. Для тех, кто силен в матанализе совет будет не лишним.
Также может понадобится рассчитать предельную стоимость товара, зная зависимость (функцию) цены от объема продаж или предельный объем производства или много еще чего.
Самый наглядный пример, возможно, это предел в маркетинге. Вот зависимость стоимости клика от количества кликов в контекстной рекламе.
И все же в повседневной жизни обыватель редко встречается с таким понятием как предел функции или последовательности. Поэтому и так сложно понять и принять абстрактные математические формулировки.
Но, если постараться, математика может открыть новые грани реальности, по крайней мере, все это уже не будет казаться таким скучным и непонятным.
Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений
Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Понятие предела в математике
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Еще один вид неопределенностей: 0/0
В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.