что такое правильная треугольная призма
Объем призмы и другие ее характеристики
Перед вами иллюстрированный гид о призме.
В картинках. С пояснениями к формулам. С примерами.
Определение, виды призм, высота, площадь, объем призмы — все, все, все!
Читайте и делитесь впечатлениями в комментариях!
Призма — коротко о главном
Определение призмы:
Призма – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.
Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.
Виды призм:
Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.
Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.
Объем призмы
Главная формула объема призмы:
\( \displaystyle V=S<<\ >_<основания>>\cdot \text\),
где \( <<\text>_<основания>>\) – площадь основания,
\( H\) – высота.
Необычная формула объема призмы:
\( \text=<<\text >_<\bot >>\cdot l\),
где \( <<\text>_<\bot >>\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) – длина бокового ребра.
Площадь призмы
А теперь чуть подробнее…
Заходите и готовьтесь к ЕГЭ.
Что такое призма
Давай ответим сперва картинками:
Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями.
Остальные грани называются боковыми.
Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.
Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.
Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.
Думаю, теперь мы можем дать более строгое определение призмы.
Определение призмы
Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.
Виды призм
Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.
Другие призмы называются наклонными.
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Высота призмы
Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.
И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.
Объем призмы
Главная формула объема призмы
Необычная формула объема призмы
\( \text
=<<\text >_<\bot >>\cdot l\),
где \( <<\text>_<\bot >>\) — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) — длина бокового ребра.
Площадь призмы
Прямая призма
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.
Свойства прямой призмы:
Правильная призма
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.
То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.
Тебе, скорее всего, может встретиться:
Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.
Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.
Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.
Главная формула объема призмы
Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то \( H\) «превращается» в боковое ребро. И тогда
\( \displaystyle V=S<<\ >_<основания>>\cdot боковое\ ребро\)
Необычная формула объёма призмы
Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы:
\( <<\text>_<\bot >>\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) – длина бокового ребра
Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.
Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.
Объем правильной треугольной призмы
Пусть дано, что сторона основания равна \( a\), а боковое ребро равно \( b\).
Вспомним, как находить площадь правильного треугольника:
Подставляем в формулу объёма:
Объем правильной четырёхугольной призмы
Опять дано: сторона основания равна \( a\), боковое ребро равно \( b\).
Ну, площадь квадрата долго искать не надо:
Объем правильной шестиугольной призмы
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Площадь поверхности призмы
Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.
Есть ли общая формула?
Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.
Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
Формулу можно написать для прямой призмы:
\( \displaystyle <<\text \), где \( \displaystyle P\) – периметр основания. Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз: Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны. Многие ученики путают прямую и правильную призму. А ты теперь никогда не запутаешься! Была ли эта статья полезной? Ты все понял? Если у тебя остались вопросы, пиши внизу в комментариях! Разберёмся! Или если появились предложения. Или если просто хочешь поделиться своими мыслями. Мы будем очень рады. Тут всё понятно,впервые начинаю понимать стереометрию Супер Aper! Рады помочь! Когда читаю теорию этого учебника, такое ощущение, что я разговариваю с другом. Настолько все просто и приятно. Сказать, что я влюбилась в этот материал, ничего не сказать. Спасибо вам! Бася, вы нас растрогали таким комментарием. Спасибо большое! Удачи на экзамене! Некоторые комментарии прошлых лет об этой статье: Илья Дмитрий Regina Настя Женя Анна Жанна Николай Алексей Шевчук Если вы уже знакомы с призмой, и хотите для себя просто что-то уточнить, то вам вполне может хватить таблицы, что дана в конце статьи. Мы же поведем подробный разговор. Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников Боковые грани – все грани, кроме оснований ( являются параллелограммами ). Боковые ребра – общие стороны боковых граней ( параллельны между собой и равны ). Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. Высота призмы – перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания. Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Диагональное сечение –пересечение призмы и диагональной плоскости. Перпендикулярное сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру. Различают призмы прямые (боковые ребра перпендикулярны плоскости основания) и наклонные (не прямые). Среди прямых призм выделяют правильные. Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.п.). Параллелепипед – это призма, основаниями которой являются параллелограммы. Среди параллелепипедов выделяют наклонные, прямые и прямоугольные параллелепипеды. Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани — прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники (или прямой параллелепипед с прямоугольником в основании). Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям. Частный случай прямоугольного параллелепипеда – куб. Куб – прямоугольный параллелепипед, все грани которого – квадраты. Далее – обещанная таблица, в которой собраны все основные виды призмы, с которыми приходится встречаться на ЕГЭ по математике. Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя: Утверждение 1. Каждый из n четырехугольников Для остальных четырехугольников доказательство проводится аналогично. Это утверждение непосредственно вытекает из утверждения 1. Замечание 1. В случае, когда не требуется делать специальных уточнений, боковые грани и основания призмы называют гранями призмы совокупность всех граней призмы (всех боковых граней и оснований) называют полной поверхностью призмы, n – угольные призмы называют призмами. Доказательство. Заметим, что у n – угольной призмы 2n вершин, n боковых граней, 2 основания, 2n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n – угольной призмы (n + 2) грани и 3n ребер. то теорема Эйлера доказана. Замечание 2. С различными формулами для вычисления объема призмы и площадей боковой и полной поверхности призмы можно ознакомиться в разделе «Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы». Замечание 3. С определением сечения призмы и способами построения сечений призмы ожно ознакомиться в разделе «Сечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы». Существует следующая классификация призм. Замечание 4. Все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра. Определение 9. Правильной призмой называют прямую призму, основаниями которой служат правильные многоугольники. Определение 10. Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.>_<боков.>>=\textЧитать далее…
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
А теперь мы хотим узнать твое мнение!
Добавить комментарий Отменить ответ
5 комментариев
26 ноября 2017
Огромное вам спасибо за созданный сайт, он очень удобен и информативен. Мне сложно представить какое количество времени было потрачено на «переработку» материала в понятном и доступном виде.Теперь есть источник чистых знаний, без лишней «воды», который не только помогает узнать новое, но и систематизировать информацию в голове. Жаль, что я не нашел сайт раньше. Вы лучшие!
21 февраля 2018
Сайт отличный!Все подробно описано. Никогда не понимал эту тему, но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему. Спасибо вам за ваши труды. Очень вам благодарен.
29 марта 2018
Аааааааа,это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии…Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спасибо большое!
21 мая 2018
Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно.
27 февраля 2019
можете указать свои инициалы? мне это для проекта надо)
29 апреля 2019
Преподнесено очень понятным языком, с наглядными картинками, спасибо) Хотелось бы хоть пример одной задачи и решение чтобы было открыто бесплатно, чтобы понять на сколько хорошо поясняете, но я думаю все ок.
27 апреля 2020
Спасибо! Я — учитель и мне очень понравилось!
04 июня 2020
Все очень доступно и понятно. Только вот не написано в статье про диагональ призмы. А так все просто супер, подготовился к сессии по данному материалу 🙂
05 июня 2020
Николай, спасибо. Диагонали в разных призмах разные, а в треугольной её и вовсе нет, поэтому длина диагонали — частный случай, а не какая-то полезная формула. Стоит рассмотрения разве что диагональ прямоугольного параллелепипеда — она вычисляется по теореме Пифагора и равна корню из суммы квадратов рёбер.Призма. Виды призмы
и 
, лежащих в параллельных плоскостях, и 
параллелограммов 
.
Смотрите также «Объем призмы. Площадь поверхности призмы».Призмы
Основные определения и свойства призм. Теорема Эйлера
Виды призм. Прямые и наклонные призмы. Правильные призмы
Примеры призм. Треугольные призмы. Четырехугольные призмы.
Параллелепипеды
Вам будет интересно: «Шлея под хвост попала»: значение и история появления фразеологизма
