что такое повторный интеграл
Повторные интегралы
Повторными интегралами называются интегралы вида
. (1.5)
В этом выражении сначала вычисляется внутренний интеграл, т.е. производится сначала интегрирование по переменной y (при этом переменная x считается постоянной величиной). В результате интегрирования по y получится некоторая функция по x:
.
Затем полученную функцию интегрируют по x:
.
Пример 1.1. Вычислить интегралы:
а) 
, б) 
.
Решение. а) Произведем интегрирование по y, считая, что переменная x=const. После этого вычисляем интеграл по x:
.
б) Так как во внутреннем интеграле интегрирование производится по переменной x, то y 3 можно вынести во внешний интеграл как постоянный множитель. Поскольку y 2 во внутреннем интеграле считается постоянной величиной, то этот интеграл будет табличным. Производя последовательно интегрирование по y и x, получаем
.
Между двойными и повторными интегралами существует взаимосвязь, но сначала рассмотрим простые и сложные области. Область называется простой в каком-либо направлении, если любая прямая, проведенная в этом направлении, пересекает границу области не более чем в двух точках. В декартовой системе координат обычно рассматривают направления вдоль осей Ox и Oy. Если область является простой в обоих направлениях, то говорят коротко – простая область, без выделения направления. Если область не является простой, то говорят, что она сложная.
 |
Любую сложную область можно представить в виде суммы простых областей. Соответственно, любой двойной интеграл можно представить в виде суммы двойных интегралов по простым областям. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать, в основном, только интегралы по простым областям.
Теорема. Если область интегрирования D – простая в направлении оси Oy (см. рис.1.4а), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:
; (1.6)
если область интегрирования D – простая в направлении оси Ox (см. рис.1.4б), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:
. (1.7)
Если область интегрирования является правильной в обоих направлениях, то можно произвольно выбирать вид повторного интеграла, в зависимости от простоты интегрирования.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Повторный интеграл
Смотреть что такое «Повторный интеграл» в других словарях:
ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл, в к ром последовательно выполняется интегрирование по разным переменным, т. е. интеграл вида (1) Функция f(x, y).определена на множестве А, лежащем в прямом произведении XX Y пространств Xи У, в к рых заданы s конечные меры mx и my,… … Математическая энциклопедия
Кратный интеграл — интеграл от функции, заданной в какой либо области на плоскости, в трёхмерном или n мерном пространстве. Среди К. и. различают двойные интегралы, тройные интегралы и т. д. n кратные интегралы. Пусть функция f (x, y) задана в… … Большая советская энциклопедия
КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ — определенный интеграл от функции нескольких переменных. Имеются различные понятия К. и. (интеграл Римана, интеграл Лебега, интеграл Лебега Стилтьеса и др.). Кратный интеграл Римана вводится на основе Жордана меры Пусть Е измеримое по Жордану… … Математическая энциклопедия
Анализ функций многих переменных — Эта статья или раздел грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть сгенерирован программой переводчиком или сделан человеком со слабыми познаниями в языке оригинала. Вы можете помочь … Википедия
Многомерное исчисление — (также известное как многовариантное исчисление) является расширением исчисления функций одной переменной в исчисление функций нескольких переменных: функции, которые дифференцируются и интегрируются, затрагивая несколько переменных, а не одну.… … Википедия
ФУБИНИ ТЕОРЕМА — теорема, устанавливающая связь между кратным интегралом и повторным. Пусть и измеримые пространства с конечными полными мерами и определенными соответственно на алгебрах и Если функция f( х, у )интегрируема на произведении Xx. пространств Xи Yпо… … Математическая энциклопедия
ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… … Энциклопедия Кольера
Кольца Урана — Схема колец и орбит спутников Урана Кольца Урана система колец, окружающих Уран. Она занимает промежуточное по сложности положение межд … Википедия
1: — Терминология 1: : dw Номер дня недели. «1» соответствует понедельнику Определения термина из разных документов: dw DUT Разность между московским и всемирным координированным временем, выраженная целым количеством часов Определения термина из… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Вычисление двойных интегралов: теория и примеры
Что значит вычислить двойной интеграл?
Записывается двойной интеграл так:
.
Случай прямоугольной области:
Случай криволинейной области:
Сведение двойного интеграла к повторному
Случай прямоугольной области
Пусть для такой функции существует двойной интеграл
.
Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид
.
Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид
.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
,
.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
.
На чертеже строим область интегрирования:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем.
.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Пример 2. Вычислить двойной интеграл
,
.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
.
На чертеже строим область интегрирования:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Случай криволинейной или треугольной области
.
Пусть для такой функции также существует двойной интеграл
.
Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид
.
Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид
.
Пример 3. Вычислить двойной интеграл
,
.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
.
На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого). Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:
.
Вычисляем первое слагаемое:
Вычисляем второе слагаемое:
Вычисляем третье слагаемое:
Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:
.
Пример 4. Вычислить двойной интеграл
,
.
Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу
.
На чертеже строим область интегрирования:
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.
.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Вычислить двойной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 5. Вычислить двойной интеграл
,
если область D ограничена прямыми
.
Пример 6. Вычислить двойной интеграл
,
если область D ограничена прямыми
.
x-правильная и неправильная, y-правильная и неправильная области интегрирования
Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями, что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:
1) область интегрирования представляет собой фигуру, имеющую в виде нижней или верхней (левой или правой) границы две или более двух прямых или кривых линий;
2) область интегрирования представляет собой фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.
Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть ограничениях, заданных линиями, выраженными через x, то область интегрирования называется x-неправильной. Если же прямая y = y 0 пересекает соответствующую границу лишь в одной точке и если границей служит лишь одна прямая или кривая, то область интегрирования называется x-правильной
Аналогично, если границу, заданную линиями, выраженными через y, прямая x = x 0 пересекает более чем в одной точке или если границей служат более одной прямой или кривой, то область интегрирования называется y-неправильной. Вывести теперь признаки y-правильной области, надо полагать, совсем просто.
До сих пор мы рассматривали примеры с x-неправильными и y-правильными областями интегрирования. Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается.
Вычисляется этот двойной интеграл так:
Смена порядка интегрирования
Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования.
Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла
.
(нижний) и 
(верхний).
Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:
.
После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования превращается в y-неправильную или x-неправильную (см. предыдущий параграф). Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно.
Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а разберём ещё пару примеров.
Пример 9. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла
.
Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.
Пример 10. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла
.
Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.
Для 
:
Для 
:
Для 
:
Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме трёх интегралов:
Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.
Пример 11. Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если область интегрирования D задана следующим образом:
Решение. В явном виде (через x и y «без примесей») линии, ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно по этому пути. Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой же площадью. Разрешим неравенства относительно игрека и получим:
Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами интегрирования:
.
Вычисление площади и объёма с помощью двойных интегралов
Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к к координатным осям.
.
Вычисляем внутренний (правый) интеграл:
.
Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный интеграл:
.
Вычисляем внутренний (правый) интеграл:
.
Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):
Так что же такое двойной интеграл?
,
которую назовём интегральной суммой. Диаметром области D условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также наибольший из диаметров частичных областей.
Определение. Если интегральная сумма при неограниченном возрастании числа n разбиений области D и стремлении наибольшего из диаметров частичных областей к нулю имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.
Если областью интегрирования является окружность или часть окружности, то двойной интеграл проще вычислить в полярных координатах. Обобщением понятия двойного интеграла для функции трёх переменных является тройной интеграл.
Понятие повторного интеграла
Вычислять двойные интегралы как пределы интегральных сумм весьма затруднительно, поэтому возникает естественная задача о разработке техники двойного интегрирования, минуя непосредственное суммирование и предельный переход.
Важнейшим результатом в этом направлении является формула сведения двойного интеграла к повторному. Определим понятие повторного интеграла.
Пусть на отрезке 
заданы непрерывные функции 
и 
такие, что 
, 
, и пусть на области 
(рис.29.1.) определена функция 
.
Если для любого фиксированного 
функция , как функция переменной 
, интегрируема на отрезке 
, т.е. при любом существует интеграл 
, и функция 
интегрируема на отрезке , то интеграл 
называется повторным интегралом и
обозначается через 
.
При этом называется внутренним интегралом; 
и 
— внутренними, 
и 
— внешними пределами интегрирования. Если внутренние пределы интегрирования в повторном интеграле могут быть как постоянными, так и переменными, то внешние пределы постоянны всегда.
Для вычисления повторного интеграла надо последовательно взять два обычных определенных интеграла. Сначала берется внутренний интеграл , в котором переменная 
считается постоянной. Затем берется внешний интеграл, т.е. полученное выражение, зависящее от , интегрируется по от до .
Рассмотрим пример вычисления повторного интеграла.
Пример №29.1.
Вычислите повторный интеграл 
.
Решение:
Сначала найдем внутренний интеграл, считая постоянным:
Затем найдем внешний интеграл, т.е. полученную функцию проинтегрируем по . Тогда
Для сокращения записи все вычисления можно записать следующим образом:
Ответ: 
.
Следует заметить, что для функции , определенной на области 
понятие повторного интеграла вводится аналогично рассмотренному ранее. При этом повторный интеграл обозначается через 
.
Здесь при вычислении внутреннего интеграла постоянной считается переменная 
.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института