что такое парабола в математике

Квадратичная функция. Построение параболы

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

Рассмотрим три случая:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Как строим:

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

Как строим:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Источник

Что такое Парабола

Определение Параболы

Парабола (от греч. παραβολή — сравнение, приближение, кривая линия) — в геометрии это плоская кривая линия (в форме арки), где каждая из точек M (на рисунке ниже) равноудалена от неподвижной точки F (фокус) и от неподвижной линии DA, называемой директрисой (MF = MA).

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается как p.

В литературе парабола — это аллегория, под которой скрывается важная истина.

Как выглядит парабола, когда меняется фокальный параметр (p)

Изменения фокального параметра, когда фокус находится на оси OX:

Изменения фокального параметра, когда фокус находится на оси OY:

Квадратичная функция и как построить график параболы

Квадратичная функция выглядит следующим образом:

y = ax² + bx + c, где a≠0

(a — старший коэффициент; b — второй коэффициент; с — свободный член).

Построение графика квадратичной функции

Шаги построения графика

1. Как определить, куда направлены ветви параболы

Т. е. a (старший коэффициент) в данном случае равен 1, b (второй коэффициент) и c (свободный член) оба равны 0.

Ветви параболы будут направлены вверх, когда a > 0.

А в данном случае a = –1 (b = 0, с = 0).

Ветви параболы будут направлены вниз, когда a 0, то у квадратичной параболы будут две точки пересечения с осью ОХ, которые можно найти по этим формулам:

3. Как вычислить координаты вершины параболы

Формулы для их вычисления:

4. Как посчитать точку пересечения параболы с осью OY

Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c). Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси OY, равна нулю.

Чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно всего лишь в вашу формулу вида ax² + bx + c вместо х подставить ноль.

Пример построения графика квадратичной функции

Например, нужно построить график квадратичной функции y = x² − 7x + 10.

1) Если квадратичная функция выглядит как y = ax² + bx + c, получается, в нашем случае: a = 1, b = −7, c = 10.

a = 1, а это a > 0, следовательно ветви параболы будут направлены вверх

2) Определяем нули функции, это значит ax² + bx + c = 0, в нашем случае: x² − 7x + 10 = 0

Ищем дискриминант по формуле: D = b² − 4ac, это D = (−7)² − 4*1*10 = 49 − 40 = 9

Потом вычисляем х1 и х2:

х1 = (−b + ²√D) / 2a = (7 + ²√9) / (2*1) = 5

х2 = (−b − ²√D) / 2а = (7 − ²√9) / (2*1) = 2

3) Вычисляем координаты вершины параболы:

х0 = −b / 2a = 7 / (2*1) = 3,5

y0 = −D / 4а = −9 / (4*1) = −2,25

4) Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c), следовательно, если c = 10, она пересекает её на (0;10).

Таким образом, получилась парабола такого вида:

Свойства квадратичной функции y = x²

График функции y = x² выглядит следующим образом:

Свойства

1) Область определения функции y = x² — множество всех действительных чисел, т. е. D(y) = R = (−∞; +∞).

2) Множество значений функции — положительная полупрямая: E(y) = [0; +∞).

3) В точке x = 0 (и y = 0) функция принимает минимальные значения (наибольшего значения у функции нет).

Эта точка (с координатами (0;0)) является вершиной параболы; одновременно точка (0;0) является единственной общей точкой параболы с осями координат (начало координат).

4) Функция у = x² чётная, график симметричен относительно оси Оу, т. е. f(−x) = (−x)² = x² = f(x).

5) Функция непрерывна на всей области определения. На (−∞; 0) функция монотонно убывает, а на (0; + ∞) функция монотонно возрастает.

6) Функция у = x² непериодическая.

7) Единственный нуль функции — значение аргумента x = 0.

8) Функция у = x² не имеет асимптот.

9) Функция принимает положительные значения на всех точках параболы, кроме начала координат, т. е. в: (−∞;0) ∪ (0;+∞).

Источник

Парабола

Парабола, её фокус и директриса
Коническое сечение:
Эксцентриситет:
Уравнение:
гипербола · парабола · эллипс · окружность

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Содержание

Уравнения

0″ border=»0″ /> (или , если поменять местами оси).

Уравнение директрисы : , фокус — , таким образом начало координат — середина отрезка . По определению параболы для любой точки , лежащей на ней выполняется равенство . и , тогда равенство приобретает вид:

.

После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение .

Квадратное уравнение при также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и , но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке , координаты которой вычисляются по формулам:

где — дискриминант

Ось её симметрии проходит через вершину параллельно оси ординат, при a>0 (a Расчёт коэффициентов квадратного уравнения

Если для уравнения известны координаты 3-х различных точек его графика , , , то его коэффициенты могут быть найдены так:

Свойства

Связанные определения

Параболы в физическом пространстве

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)

Параболические траектории струй воды

Вращающийся сосуд с жидкостью

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)

Конические сечения
Главные типы	Эллипс • Гипербола • Парабола
Вырожденные	Точка • Прямая • Пара прямых
Частный случай эллипса	Окружность
Геометрическое построение	Коническое сечение • Шары Данделена
См. также	Коническая константа
Математика • Геометрия

Полезное

Смотреть что такое «Парабола» в других словарях:

ПАРАБОЛА — (греч. parabole, от parabollo сближаю). 1) иносказание, притча. 2) кривая линия, происходящая от сечения конуса плоскостью, параллельною какой нибудь его производящей. 3) кривая линия, образующаяся при полете бомбы, ядра и т. п. Словарь… … Словарь иностранных слов русского языка

парабола — иносказание, притча (Даль) См. пример … Словарь синонимов

ПАРАБОЛА — (греч. parabole) плоская кривая (2 го порядка). Парабола множество точек М, расстояния которых до данной точки F (фокуса) и до данной прямой D1D2 (директрисы) равны. В надлежащей системе координат уравнение параболы имеет вид: y2=2px, где р=2OF.… … Большой Энциклопедический словарь

ПАРАБОЛА — ПАРАБОЛА, математическая кривая, КОНИЧЕСКОЕ СЕЧЕНИЕ, образуемое точкой, двигающейся таким образом, что ее расстояние до неподвижной точки, фокуса, равно ее расстоянию до неподвижной прямой, директрисы. Парабола образуется при разрезе конуса… … Научно-технический энциклопедический словарь

ПАРАБОЛА — жен., греч. иносказанье, притча. | мат. кривая черта, из числа конических сечений; разрез сахарной головы накось, опостен (параллельно) противной стороне. Парабольные вычисленья. Параболическое реченье, инословие, иноречие, переносное.… … Толковый словарь Даля

ПАРАБОЛА — (1) незамкнутая кривая линия 2 го порядка на плоскости, являющаяся графиком функции у2 = 2рх, где р параметр. Параболу получают при пересечении кругового (см.) плоскостью, не проходящей через его вершину и параллельной одной из его образующих.… … Большая политехническая энциклопедия

ПАРАБОЛА — (от греческого parabole), плоская кривая, расстояния любой точки M которой до данной точки F (фокуса) и до данной прямой D 1D1 (директрисы) равны (MD=MF) … Современная энциклопедия

ПАРАБОЛА — ПАРАБОЛА, параболы, жен. (греч. parabole). 1. Кривая второго порядка, представляющая коническое сечение прямого кругового конуса плоскостью, параллельною одной из образующих (мат.). || Путь, описываемый тяжелым телом (напр. пулей), брошенным под… … Толковый словарь Ушакова

ПАРАБОЛА — ПАРАБОЛА, ы, жен. В математике: состоящая из одной ветви незамкнутая кривая, образующаяся при пересечении конической поверхности плоскостью. | прил. параболический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

ПАРАБОЛА — «ПАРАБОЛА», Россия, 1992, цв., 30 мин. Документальное эссе. Попытка понять мистическую суть сказаний удмуртов маленького народа в Поволжье. Режиссер: Светлана Стасенко (см. СТАСЕНКО Светлана). Автор сценария: Светлана Стасенко (см. СТАСЕНКО… … Энциклопедия кино

Источник

Парабола, график, вершина, нули.

теория по математике 📈 функции

Функция вида y=ax 2 +bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а ≠ 0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.

Чтобы найти координаты вершины параболы (х₀; у₀), надо воспользоваться формулой:

для нахождения у₀ можно просто подставить значение х₀ в формулу данной функции y₀=ax 2 +bx+c вместо х.

Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.

Пример №1

Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х 2 – 8х + 5.

Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8

Подставим их в формулу и вычислим значение х₀:

Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у₀=2 ∙ 2 2 – 8 ∙ 2 + 5=8 – 16 + 5= –3

Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).

Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.

Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.

Пример №2

Найти нули функции у=х 2 +4х – 5

Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х 2 +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:

D=b 2 – 4ac=4 2 — 4 ∙ 1 ∙ ( − 5 ) = 36

Значит, нули функции равны –5 и 1

Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика

Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).

Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.

Пример №3

Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.

Теперь можно выполнить соответствие:

Пример №4

Рассмотрим еще пример на соответствие

В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х₀.

Итак, найдем х₀ для формулы «Б»:

Видим, что х₀ отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.

А) a>0, с >0 Б) а 0 В) а>0, с

На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a 0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с 0, с >0 — это график №1

Б) а 0 — это график №3

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х 2 (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэфициент с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.

Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На рисунках изображены графики функций вида

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и b при построении графиков функции вида

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если a 0.

Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.

Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:

если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х

Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник