что такое отрицательное число в математике
Положительные и отрицательные числа
Чтобы понять, что из себя представляют положительные и отрицательные числа, давайте для начала начертим координатную прямую и отметим на ней точку 0 (ноль), которая считается началом отсчета.
Расположим ось в более привычном горизонтальном виде. Стрелка показывает положительное направление прямой (слева направо).
Сразу обратим внимание, что число “ноль” не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам.
Положительные числа
Если мы начнем отмерять отрезки справа от нуля, то полученные отметки будут соответствовать положительным числам, равным расстояния от 0 до этих отметок. Таким образом мы получили числовую ось.
Полная запись положительных чисел включает знак “+” спереди, то есть +3, +7, +12, +21 и т.д. Но “плюс” обычно опускается и просто подразумевается:
Примечание: любое положительное число больше нуля.
Отрицательные числа
Если мы начнем отмерять отрезки слева от нуля, то вместо положительных получатся отрицательные числа, т.к. мы будем двигаться в противоположную от направления прямой сторону.
Примечание: любое отрицательное число меньше нуля.
Отрицательные числа как и положительные нужны для выражения различных математических, физических, экономических и прочих величин. Например:
Отрицательные числа
Всего получено оценок: 169.
Всего получено оценок: 169.
Отрицательные числа тяжело воспринимаются учениками 6 класса математики, поскольку долгое время их учат том, что все результаты вычислений, которые меньше нуля неверны. Приходится переучиваться, привыкать к новым правилам. Но на самом деле, если разобраться в отрицательных числах, ничего сложного в них нет.
Отрицательные числа
Отрицательным числом называется любое число меньше нуля. Чтобы обозначить, что число меньше нуля, перед ним ставится знак минус.
Среди отрицательных чисел так же, как и среди положительных есть дроби: обыкновенные и десятичные, целые числа, корни и так далее. Практически все подвиды чисел, которые встречаются среди положительных чисел, есть и среди отрицательных. Так же важно помнить, что число 0 не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам.
Числовая прямая
Числовая прямая это прямая, которая имеет обозначение 0 и единичных отрезков. На числовой прямой все отрицательные числа лежат левее нуля.
Числовую прямую очень удобно использовать для сравнения отрицательных чисел. Чем ближе отрицательное число на числовой прямой к нулю, тем большим значением оно является.
Правило знаков
Умножение и деление отрицательных чисел происходит согласно правилу знаков:
Сложение отрицательных чисел
При сложении отрицательных чисел действует все то же правило знаков, только в несколько ином виде. Общая формулировка правила знаков звучит так: «Плюс на минус дает минус, минус на минус дает плюс и плюс на плюс дает плюс». Тогда если к одному отрицательному числу прибавить другое, то получится:
-а+(-в)=-а-в – то есть из отрицательного числа вычитается положительное.
Так же работает правило при примерах на вычитание отрицательных чисел:
-а-(-в)=-а+в – к отрицательному числу в итоге прибавляется положительное.
Что мы узнали?
Мы поговорили об отрицательных числах. Рассказали, как удобнее сравнивать отрицательные целые числа, а также как правильно подобные числа перемножать между собой, делить, складывать и вычитать.
Отрицательные числа
Разделы: Математика
Определение. Целые числа – это натуральные, отрицательные натуральные и число «0».
Изображение этого множества мы видим на градуснике для измерения температуры на улице.
Температура может быть с «минусом», т.е. отрицательной, может быть с «плюсом» т.е. положительной. Температура 0 градусов не положительная не отрицательная, число 0 – граница, которая отделяет положительные числа от отрицательных.
Изобразим целые числа на числовой оси.
Положительные целые числа, например «+3» читается как положительная 3 или просто «три», то есть у положительных (натуральных) чисел знак «+» не пишется и слово «положительное» не произносится.
1. Попробуй увеличить число (-4) за 3 шага, увеличивая каждый раз на 2 единицы.
Двигаясь по числовой оси, как показано на рисунке, мы получим в результате 2.
2. Уменьши число 6 за шесть шагов, уменьшая его за каждый шаг на 2 единицы.
3. Увеличь число (-1) за три шага, увеличивая его на 4 единицы на каждом шаге.
С помощью координатной прямой легко сравнивать целые числа: из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, а меньше то, что стоит левее.
4. Сравни числа, поставив знак > или 26.07.2010
Алгебра
Отрицательные числа. Целые отрицательные числа.
Дробные отрицательные числа. Положительные числа.
Отрицательные числа появляются, когда из меньшего числа вычитают большее, например:
Знак «минус» перед 5 показывает, что это число отрицательное.
Было 10 рублей. Купили некую вещь за 15, одолжив 5 руб. Теперь имеем минус 5 руб., которые позже потребуется вернуть. А можно представить графически, на линейке:
Ряд целых отрицательных чисел бесконечен:
Целые числа — это натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль:
Дробные отрицательные числа появляются, например, когда из меньшего дробного числа вычитают большее:
Можно также сказать, что дробные отрицательные числа появляются в результате деления целого отрицательного числа на натуральное:
Положительные числа ( целые и дробные ) в противоположность отрицательным числам ( целым и дробным )рассматриваются в арифметике.
Рациональные числа – это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и ноль. Более точное определение рациональных чисел, принятое в математике, следующее:
Действия с отрицательными и положительными числами
Абсолютная величина (модуль). Сложение.
Вычитание. Умножение. Деление.
Абсолютная величина ( модуль ). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число.
Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.
П р и м е р ы : | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
Сложение:
1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются
их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.
( – 6 ) + ( – 5 ) = – 11 .
2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные
величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак
числа с большей абсолютной величиной.
( – 6 ) + ( + 3 ) = – 3 .
Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.
( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;
( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;
( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;
( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;
Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):
Надо просто посчитать количество сомножителей с минусом. Если их количество кратно двум, результат умножения будет положительным. Каждый добавленный отрицательный сомножитель меняет знак результата:
Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении:
Понятно почему: деление можно заменить умножением на обратное число.
П р и м е р : ( – 12 ) : ( + 4 ) = – 3
Принципиальной разницы между делением и умножением нет. Отсюда понятно, что знак результата умножения и деления нескольких чисел также будет зависеть от того четно или нечетно количество отрицательных сомножителей и делителей (делимых).
Одночлен. Коэффициент. Числовой множитель. Подобные одночлены.
Степень одночлена. Сложение одночленов. Приведение подобных членов.
Вынесение за скобки. Умножение одночленов. Деление одночленов.
Многочлен. Степень многочлена. Умножение сумм и многочленов.
Одночлен – это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы. Например,
Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель.
Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами.
8 a 2 и 3 a 2
Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.
Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его букв.
Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:
Эта операция называется приведением подобных членов. Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки.
Можно рассуждать так: произведение x 3 y 2 равно какому-то числу, допустим, z. Заменим в вышеприведенном уравнении x 3 y 2 на z:
a x 3 y 2 – 5 b 3 x 3 y 2 + c 5 x 3 y 2 = a z – 5 b 3 z + c 5 z.
Теперь этот z, пользуясь распределительным законом, можно вынести за скобки:
( a – 5 b 3 + c 5 ) z.
Теперь, заменив z обратно на x 3 y 2 :
( a – 5 b 3 + c 5 ) x 3 y 2
То есть, выражением x 3 y 2 мы оперируем как единым (одним) числом.
Умножение одночленов. Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.
Здесь тоже никакой засады: независимо от скобок мы перемножаем одинаковые буквы:
Деление одночленов. Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель имеют некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.
Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на это выражение:
Вместо букв p, q, r, a может быть взято любое выражение.
( x+ y+ z )( a+ b ) = x( a+ b ) + y( a+ b ) + z( a+ b ) =
Произведение сумм равно сумме всех возможных произведений каждого слагаемого одной суммы на каждое слагаемое другой суммы.
Докажем:
площадь прямоугольника равна произведению сумм отрезков x + y + z и
Из правил умножения сумм и многочленов легко получить следующие семь формул сокращённого умножения.
Их следует знать наизусть, так как они применяются практически во всех задачах по математике.
Тут соображения те же, что и в предыдущем примере со сложением площадей внутренних прямоугольников. Разница лишь в том, что два внутренних прямоугольника одинаковы. Их суммарная площадь и записывается как 2ab.
Здесь получается так:
Преобразованная же формула a² – 2ab + b² , показывает процесс нахождения этой площади, без нахождения длины c.
[3] ( a + b ) ( a – b ) = a² – b²,
Р е ш е н и е : 99³ = (100 – 1)³ = 1000000 – 3 · 10000 · 1 + 3 · 100 · 1 – 1 = 970299.
1) имеет место равенство: MQ + N = P ;
2) степень многочлена N меньше степени многочлена Q.
Деление многочленов может быть выполнено по следующей схеме:
Неотрицательное число
Отрицательное число — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.
Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем нуль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.
Содержание
Свойства отрицательных чисел
Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.
Исторический очерк
Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные.
Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или признавались как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. Правда, умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены.
Диофант в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако и он рассматривал их лишь как временные значения.
В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии.
Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).