что такое отрицание в логике
Отрицание (логика)
Отрица́ние в логике — унарная операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) «противоположное» исходному. Обозначается знаком ¬
Как в классической, так и в интуиционистской логике «двойное отрицание» ¬¬A является следствием суждения A, то есть имеет место тавтология: 
.
Обратное утверждение 
верно в классической логике (закон двойного отрицания), но не имеет места в интуиционистской. То есть, отрицание отрицания искомого утверждения не может служить интуиционистским доказательством, в отличие от классической логики. Это различие двух логических систем обычно полагается главным.
См. также
Смотреть что такое «Отрицание (логика)» в других словарях:
ЛОГИКА ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ — см. в ст. Диалектика. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983. ЛОГИКА ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ … Философская энциклопедия
ОТРИЦАНИЕ — филос. категория, выражающая опре дел. тип отношения между двумя последоват. стадиями, состояниями развивающегося объекта. О. является необходимым моментом процесса развития. Диалектика в «. позитивное понимание существующего. включает … Философская энциклопедия
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ — раздел логики, в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями. В рамках данного раздела высказывания (пропозиции, предложения) рассматриваются только с т.зр. их истинности или ложности, безотносительно к их внутренней субъектно … Философская энциклопедия
ОТРИЦАНИЕ. — ОТРИЦАНИЕ. 1. В естественном языке в зависимости от местоположения различают внешнее и внутреннее отрицание. Внешнее (пропозициональное) служит для образования сложного высказывания из другого (не обязательно простого) высказывания. В нем… … Философская энциклопедия
логика многозначная — ЛОГИКА МНОГОЗНАЧНАЯ обобщение классической двузначной логики С2 Логика высказываний), посредством которого к обычным истинностным значениям «истина» и «ложь» добавляются другие истинностные значения. Именно на этом пути была впервые… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
логика — ЛОГИКА (от греч. logik (logos) слово, разум, рассуждение) наука о правильных (корректных) рассуждениях. Традиционно рассуждение состоит из последовательности предложений, названных посылками, из которых следует единственное предложение,… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
логика высказываний — ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, пропозициональная логика раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, простые высказывания при этом выступают как… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
Логика первого порядка — (исчисление предикатов) формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высшего порядка. Содержание 1 … Википедия
отрицание — ОТРИЦАНИЕ (в логике) специальная логическая операция. В зависимости от местоположения различают внешнее и внутреннее О., свойства и роли которых существенно различаются. 1. Внешнее О. (пропозициональное) служит для образования… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
ЛОГИКА КЛАССОВ — раздел логики, в котором рассматриваются классы (множества) предметов, задаваемые характеристическими свойствами этих предметов (элементов классов). В совр. логике Л. к. может пониматься как «алгебра множеств», т. е. интерпретироваться… … Философская энциклопедия
Что такое отрицание в логике
Тема 3. Основы математической логики 1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
Лабораторная работа № 3. Основы математической логики.
1. Логические выражения и логические операции
Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний (хотя высказывание — предмет изучения формальной логики). Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).
Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3.
Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.
С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.
Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно. В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.
В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные, большими буквами латинского алфавита.
Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных:
Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями.
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).
Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.
Введем перечисленные логические операции.
В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.
Отрицание
Отрицание — это логико-философская категория, которая определяет несуществование или непризнание (какой-либо сущности, явления, связи, положения вещей, другого утверждения и так далее) и выражается средствами естественного или искусственного языка. В общем случае отрицание является утверждением того, что содержание высказывания (см. Высказывание) или связь между его элементами мыслится как реально не существующая или отсутствующая; при этом отрицание может выражаться при помощи различных языковых средств — отдельными словами («нет», «не»), аффиксами (приставки «не…», «без…») и другими способами.
1. Отрицание в логике
В классической логике (см. Логика), формальной логике (см. Логика формальная), языках формальных теорий (см. Формализация) и языках программирования эквиваленция составляет одну из пяти наиболее распространённых логических связок, или логических операций (см. Логические операции), наряду с конъюнкцией (см. Конъюнкция), дизъюнкцией (см. Дизъюнкция), импликацией (см. Импликация) и эквиваленцией (см. Эквиваленция).
Отрицание в логике (см. Логика) рассматривается как логический эквивалент отрицательного высказывания «неверно, что…» или отрицательной частицы «не» и представляет собой логическую операцию, формализующую логические свойства этих слов. В зависимости от местоположения различают внешнее и внутреннее отрицание, свойства и роли которых существенно различаются.
1.1. Внешнее логическое отрицание
Внешнее (пропозициональное) отрицание служит для образования сложного высказывания из другого (не обязательно простого) высказывания. В нём утверждается отсутствие положения дел, описываемого в отрицаемом высказывании. Традиционно отрицательное высказывание считается истинным, если, и только если, отрицаемое высказывание ложно. В естественном языке отрицание обычно выражается оборотом «неверно, что…», за которым следует отрицаемое высказывание. В языках формальных теорий отрицанием называется особая унарная пропозициональная связка, используемая для образования из одной формулы другой, более сложной. Для обозначений отрицания обычно используются символы «
», «–» или «¬». В классической логике высказываний (см. Логика высказываний) формула ¬ A истинна тогда и только тогда, когда формула A ложна. Поэтому отрицание задаётся истинностной таблицей:
Однако в неклассической логике (см. Логики неклассические) отрицание может не обладать всеми свойствами классического отрицания. В этой связи возникает вполне закономерный вопрос о минимальном наборе свойств, которому должна удовлетворять некоторая унарная операция, чтобы её можно было считать отрицанием, а также о принципах классификации различных отрицаний в неклассических формальных теориях (см. Dunn J. M. and Hardegree G. M. Algebraic Methods in Philosophical Logic. — Oxford, 2001).
Фактически указанное выше традиционное понимание внешнего (пропозиционального) отрицания может быть выражено через систему следующих требований:
(I) Если A — истинно (ложно), то не-A — ложно (истинно);
(II) Если не-A — истинно (ложно), то A — ложно (истинно).
Формально требования (I) и (II) могут быть выражены через условие (1) A ⊧ ¬ B ⇒ B ⊧ ¬ A, называемое «конструктивная контрапозиция». Отрицание, удовлетворяющее условию (1), принято называть минимальным отрицанием.
Однако оказывается, что условие (1) можно разложить на два более слабых условия: (2) A ⊧ B ⇒ ¬ B ⊧ ¬ A и (3) A ⊧ ¬¬ A, известных, соответственно, как «контрапозиция» и «введение двойного отрицания». В результате появляется возможность выявить подминимальное отрицание, удовлетворяющее условию (2), но не удовлетворяющее условию (3).
Естественно сформулировать условие, обратное (3) и формализующее принцип «снятие двойного отрицания»: (4) ¬¬ A ⊧ A = A. Минимальное отрицание (то есть удовлетворяющее условию (1) или условиям (2) и (3) вместе), для которого выполняется условие (4), называется отрицание де Моргана. Это отрицание используется в языке релевантных исчислений для преодоления парадоксов импликации.
Минимальное отрицание, удовлетворяющее дополнительному свойству (5): Если A ⊧ B и A ⊧ ¬ B, то для любого C верно, что A ⊧ C («свойство абсурдности»), — называется интуиционистским отрицанием.
Можно сформулировать принцип (6), двойственный принципу абсурдности: Если B ⊧ A и ¬ B ⊧ A, то для любого C верно, что C ⊧ A. Удовлетворяющее этому принципу отрицание представляет собой разновидность отрицания в паранепротиворечивой логике (см. Логика паранепротиворечивая).
Наконец, отрицание де Моргана (свойства (2), (3), (4)), для которого выполняется (5) или (6), называется орто-отрицание. Если в соответствующем исчислении принимается аксиома дистрибутивности для конъюнкции и дизъюнкции, то орто-отрицанием называется отрицание Буля, или классическим отрицанием.
1.2. Внутреннее логическое отрицание
Внутреннее отрицание входит в состав простого высказывания. Различают отрицание в составе связки (отрицательная связка) и терминное отрицание.
Отрицание в составе связки выражается с помощью частицы «не», стоящей перед глаголом-связкой (если он имеется) или перед смысловым глаголом. Оно служит для выражения суждений об отсутствии отношений (связей), или для образования отрицательной предицирующей связки в составе категорических атрибутивных суждений.
Терминное отрицание используется для образования негативных терминов. Оно выражается через приставку «не…» или близкие ей по смыслу.
2. Отрицание в естественных языках
В естественном языке в зависимости от местоположения различают внешнее и внутреннее отрицание. Внешнее (пропозициональное) отрицание служит для образования сложного высказывания из другого (не обязательно простого) высказывания. В нём утверждается отсутствие положения дел, описываемого в отрицаемом высказывании. На основании классического понимания истинности как соответствия действительности это означает, что в случае истинности отрицаемого высказывания отрицающее его высказывание будет ложным и наоборот. В естественном языке отрицание обычно выражается оборотом «неверно, что…», за которым следует отрицаемое высказывание. Внутреннее отрицание входит в состав простого высказывания.
Различают отрицание в составе связки (отрицательная связка) и терминное отрицание.
Отрицание в составе связки выражается с помощью частицы «не», стоящей перед глаголом-связкой (если он имеется) или перед смысловым глаголом. Оно служит для выражения суждений об отсутствии отношений (связей) или для образования отрицательной предицирующей связки в составе категорических атрибутивных суждений.
Терминное отрицание используется для образования негативных терминов. Оно выражается через приставку «не…» или близкие ей по смыслу. Если сопоставить термину множество предметов, которые он обозначает, то отрицательному термину будет соответствовать дополнение к отрицаемому термину на некотором универсуме рассмотрения. Таким образом, с терминным отрицанием ассоциирована операция взятия дополнения. Последнее можно распространить и на другие виды отрицания, если соотнести с произвольным высказыванием множество ситуаций (возможных миров и так далее), в которых оно истинно.
3. Отрицание в искусственных языках
В искусственных языках символической логики (см. Логика символическая) отрицанием называется особая унарная пропозициональная связка, используемая для образования из одной формулы другой, более сложной. Для обозначений отрицания обычно используются символы «
», «–» или «˥». В классической логике высказываний формула ˥A истинна тогда, и только тогда, когда формула A ложна, в противном случае формула ˥A ложна.
На основании указанного выше соответствия между отрицанием и операцией взятия дополнения, используя метод формализации, можно установить определённые соотношения между внешним и внутренним отрицанием. В неклассических логиках отрицание может обладать различными свойствами из следующего набора:
Минимальное отрицание удовлетворяет свойствам (1) и (2), а интуиционистское — свойствам (1), (2), (4). Минимальное отрицание, удовлетворяющее свойству (3), называется отрицанием де Моргана. Наконец, отрицание де Моргана, обладающее свойством (4), называют отрицанием Буля (при условии принятия аксиомы дистрибутивности для конъюнкции и дизъюнкции).
Логическое отрицание
Отрица́ние в логике — унарная операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) «противоположное» исходному. Обозначается знаком ¬
Как в классической, так и в интуиционистской логике «двойное отрицание» ¬¬A является следствием суждения A, то есть имеет место тавтология: .
Обратное утверждение верно в классической логике (закон двойного отрицания), но не имеет места в интуиционистской. То есть, отрицание отрицания искомого утверждения не может служить интуиционистским доказательством, в отличие от классической логики. Это различие двух логических систем обычно полагается главным.
См. также
Смотреть что такое «Логическое отрицание» в других словарях:
Логическое отрицание — унарная логическая операция, определяемая таблицей истинности: : not 0 = 1 : not 1 = 0 Синонимы: Логическое не Синонимы английские: not См. также: Логические операции Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь
логическое отрицание — loginis neigimas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. logic negation; logical inversion vok. logische Inversion, f; logische Negation, f rus. логическое отрицание, n pranc. inversion logique, m … Automatikos terminų žodynas
Логическое высказывание — утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: ложь (0, ложно, false) или истина (1, истинно, true). Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами. Высказывательной формой… … Википедия
Логическое выражение — в программировании конструкция языка программирования, результатом вычисления которой является «истина» или «ложь». Содержание 1 Операторы 2 Операции 3 Примеры … Википедия
Логическое мышление — Логика (др. греч. λογική «наука о рассуждении», «искусство рассуждения» от λόγος «речь», «рассуждение») наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка. Поскольку это… … Википедия
Отрицание — У этого термина существуют и другие значения, см. Отрицание (значения). Отрицание в логике унарная операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) «противоположное» исходному. Обозначается знаком ¬ перед или… … Википедия
Отрицание — Отрицание элемент значения предложения, который указывает, что связь, устанавливаемая между компонентами предложения, по мнению говорящего, реально не существует (А. М. Пешковский) или что соответствующее утвердительное предложение отвергается… … Лингвистический энциклопедический словарь
Логическое «или» — Дизъюнкция логическая операция, по своему применению максимально приближенная к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Синонимы: логическое «ИЛИ», включающее «ИЛИ», логическое сложение, иногда просто «ИЛИ». Это бинарная инфиксная … Википедия
Логическое ИЛИ — Дизъюнкция логическая операция, по своему применению максимально приближенная к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Синонимы: логическое «ИЛИ», включающее «ИЛИ», логическое сложение, иногда просто «ИЛИ». Это бинарная инфиксная … Википедия
Логическое сложение — Дизъюнкция логическая операция, по своему применению максимально приближенная к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Синонимы: логическое «ИЛИ», включающее «ИЛИ», логическое сложение, иногда просто «ИЛИ». Это бинарная инфиксная … Википедия
Отрицание
Отрица́ние в логике — унарная операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) «противоположное» исходному. Обозначается знаком ¬ перед или чертой над суждением. Синоним: логическое «НЕ».
Как в классической, так и в интуиционистской логике «двойное отрицание» ¬¬A является следствием суждения A, то есть имеет место тавтология: 
.
Обратное утверждение 
верно в классической логике (закон двойного отрицания), но не имеет места в интуиционистской. То есть, отрицание отрицания искомого утверждения не может служить интуиционистским доказательством, в отличие от классической логики. Это различие двух логических систем обычно полагается главным.
Схемотехника
 |  |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Мнемоническое правило для отрицания звучит так: На выходе будет:
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Отрицание» в других словарях:
отрицание — Отрицание … Словарь синонимов русского языка
ОТРИЦАНИЕ — филос. категория, выражающая опре дел. тип отношения между двумя последоват. стадиями, состояниями развивающегося объекта. О. является необходимым моментом процесса развития. Диалектика в «. позитивное понимание существующего. включает … Философская энциклопедия
ОТРИЦАНИЕ. — ОТРИЦАНИЕ. 1. В естественном языке в зависимости от местоположения различают внешнее и внутреннее отрицание. Внешнее (пропозициональное) служит для образования сложного высказывания из другого (не обязательно простого) высказывания. В нем… … Философская энциклопедия
ОТРИЦАНИЕ — философская категория, выражающая связь двух последовательных стадий (состояний) развивающегося объекта; отрицание условие изменения объекта, при котором некоторые элементы не просто уничтожаются, но сохраняются в новом качестве (см. Снятие) … Большой Энциклопедический словарь
отрицание — ОТРИЦАНИЕ (в логике) специальная логическая операция. В зависимости от местоположения различают внешнее и внутреннее О., свойства и роли которых существенно различаются. 1. Внешнее О. (пропозициональное) служит для образования… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
отрицание — ОТРИЦАНИЕ, непризнание, неприятие … Словарь-тезаурус синонимов русской речи
ОТРИЦАНИЕ — логическая операция, формально преобразующая выражение «НЕ» с помощью переключающего элемента, реализующего отрицание «неверно, что. » и называемого инвертором (см. (2)) … Большая политехническая энциклопедия
ОТРИЦАНИЕ — логический эквивалент оборота неверно, что. или просто частицы не ; операция, формализующая логические свойства этих слов … Большой Энциклопедический словарь
Отрицание — форма психологической защиты. Характеризуется недостаточным осознанием определенных событий, переживаний и ощущений, которые были бы болезненны при их осознании … Психологический словарь