что такое основание логарифма
Логарифм. Основание логарифма.
Для большинства не составляет сложности возвести в степень какое-либо число.
Так 2 4 = 2·2·2·2 = 16, 
,
.
1. Первое это извлечение корня, когда необходимо найти, какое число надо возвести в степень с показателем 4, чтобы получить число 16.
2. Во втором случае надо вычислить, какой показатель должен быть у степени, в которую надо возвести основание 2, чтобы получить 16.
Если неизвестный показатель обозначен буквой х, то можем составить уравнение: 2 х = 16. Действие, с помощью которого находится показатель степени по заданной степени и известному основанию, называется расчетом логарифма.
Логарифмом заданного числа по данному основанию называется показатель степени, в которую надо возвести это основание, чтобы получить данное число.
Символ logab, читается: «логарифм b по основанию a«.Из формулировки можно сделать вывод, что нахождение x= logab равнозначно решению уравнения a х = b. Так, log216 = 4 потому что 2 4 = 16.
Как видим, внизу знака log помещаем, то число, которое служит основанием степени, отсюда по аналогии получаем – основание логарифма.
Что такое логарифм. Как посчитать логарифм. Свойства логарифмов. Примеры решения логарифмов
Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.
Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.
В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.
Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.
Что такое логарифм и как его посчитать
Логарифм имеет следующий вид:
где a – это основание логарифма,
b – это аргумент логарифма
Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.
и преобразовываем в
Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:
А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
Логарифмы со специальным обозначением
Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.
Десятичный логарифм
Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.
Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.
Например, вычислим lg100
Натуральный логарифм
Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть
Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…
Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что
И вычислить его можно таким образом:
Основные свойства логарифмов
Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:
Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!
Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.
Логарифмический ноль и логарифмическая единица
Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.
Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:
loga a = 1 – это логарифмическая единица.
Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1:
loga 1 = 0 – логарифмический ноль.
Основное логарифмическое тождество
В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.
Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма
Разберем применение тождества на примере:
Необходимо найти значение выражения
Сначала преобразуем логарифм
Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:
Теперь применим основное логарифмическое тождество и получим:
Сумма логарифмов. Разница логарифмов
Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:
Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:
Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!
Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!
Вынесение показателя степени из логарифма
Вынесение показателя степени из логарифма:
Переход к новому основанию
Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.
Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Разберем на примере.
Необходимо найти значение такого выражения
Для начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:
Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:
Подставим полученные результаты в исходное выражение:
10 примеров логарифмов с решением
1. Найти значение выражения
2. Найти значение выражения
3. Найти значение выражения
4. Найти значение выражения
5. Найти значение выражения
6. Найти значение выражения
Сначала найдем значение
Для этого приравняем его к Х:
Тогда изначальное выражение принимает вид:
7. Найти значение выражения
Преобразуем наше выражение:
Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 
8. Найти значение выражения
Так как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:
9. Найти значение выражения
Так как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
10. Найти значение выражения
Обращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:
Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.
Логарифмы и их свойства
Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это очень просто и наглядно.
Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим пример:
Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.
Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.
Логарифм от числа 32 по основанию 2 (\(log_<2>(32)\)) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:
Аналогично, глядя в таблицу получим, что:
Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.
Теперь дадим определение логарифма в общем виде:
Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию положительно числа \(a\) называется степень \(c\), в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(b\)
Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:
Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:
Или логарифм шести по основанию 4:
На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!
Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм \(log_<4>(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6ке:
Значит \(log_<4>(6)\) принадлежите промежутку от 1 до 2:
Как посчитать логарифм
Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть \(0\). А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).
При этих ограничениях логарифм существует.
В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.
Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.
Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:
Давайте разберем на примерах.
Пример 1. Посчитать логарифм \(9\) по основанию \(3\): \(log_<3>(9)\)
Пример 2. Вычислить логарифм \(\frac<1><125>\) по основанию \(5\): \(log_<5>(\frac<1><125>)\)
Пример 3. Вычислить логарифм \(4\) по основанию \(64\): \(log_<64>(4)\)
Пример 4. Вычислить логарифм \(1\) по основанию \(8\): \(log_<8>(1)\)
Пример 5. Вычислить логарифм \(15\) по основанию \(5\): \(log_<5>(15)\)
Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\). Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.
\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.
Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) не будет степенью.
Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.
Десятичный логарифм
Натуральный логарифм
Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.
У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.
Свойства логарифмов
Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.
Пример 8. Воспользоваться формулой \(3\). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.
Пример 9. Воспользоваться формулой \(4\). Логарифм от частного – это разность логарифмов.
Пример 10. Формула \(5,6\). Свойства степени.
Логично, что будет выполняться и такое соотношение:
Пример 11. Формулы \(7,8\). Переход к другому основанию.
Логарифм (понятие).
Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).
Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= logα b, равнозначно решению уравнения a x =b.
Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).
На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log72, ln√5, lg0.0001.
А записи lg(-3), log-33.2, log-1-4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число, во второй – отрицательное число в основании, а в третьей – и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.
Условия определения логарифма.
Возьмем условие a≠1. Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=logα b может существовать лишь при b=1, но при этом log1 1 будет любым действительным числом. Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1.
Докажем необходимость условия a>0. При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0. И соответственно тогда log00 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0. А при a 0.
И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0, поскольку x=logα b, а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.
Особенности логарифмов.
Логарифмы характеризуются отличительными особенностями, которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.
Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.
Что такое логарифм
Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.
Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.
А теперь — собственно, определение логарифма:
Например, 2 3 = 8 ⇒ log2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log2 2 = 1 | log2 4 = 2 | log2 8 = 3 | log2 16 = 4 | log2 32 = 5 | log2 64 = 6 |
Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
log2 5 = 2,32192809.
log3 8 = 1,89278926.
log5 100 = 2,86135311.
Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log2 5, log3 8, log5 100.
Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.
Как считать логарифмы
С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.
Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;
Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.
Десятичный логарифм
Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.
Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log10 x
Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.
Натуральный логарифм
Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log e x
Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.
Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.