что такое определитель вронского для дифференциального уравнения

Литература

Романко В.К. Главы 5 и 6 // Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — С. 158-164, 174-177. — (Технический университет). — 3000 экз. — ISBN 5-93208-097-3

Полезное

Смотреть что такое «Определитель Вронского» в других словарях:

Определитель — У этого термина существуют и другие значения, см. Определитель (значения). Определитель (или детерминант) одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у … Википедия

Определитель матрицы — Определитель (или детерминант) одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть… … Википедия

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — (детерминант) квадратнойматрицы А = ||aij|| порядка n, detA многочлен … Физическая энциклопедия

Формула Лиувилля-Остроградского — Формула Лиувилля Остроградского формула, связывающая определитель Вронского (вронскиан) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении. Пусть есть дифференциальное уравнение вида y(n) + P1(x)y(n − 1) + P2(x)y(n − 2) … Википедия

Формула Лиувилля — Остроградского формула, связывающая определитель Вронского (вронскиан) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении. Пусть есть дифференциальное уравнение вида тогда где определитель Вронского Для линейной… … Википедия

Детерминант (математика) — Определитель (или детерминант) одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть… … Википедия

Детерминант — Определитель (или детерминант) одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть… … Википедия

ГРИНА ФУНКЦИЯ — функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциального уравнения фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям.… … Математическая энциклопедия

Источник

Вронскиан

Вронскиа́н (определитель Вронского) системы функций , дифференцируемых на промежутке (n-1)-раз — функция на , задаваемая определителем следующей матрицы:

.

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций с n компонентами: . Тогда определитель будет выглядеть так (чтобы избежать разночтений обозначим его ):

.

Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми. Это помогает в поиске его общего решения.

Содержание

Свойства

Примеры

Есть точки, где вронскиан отличен от нуля (в нашем случае это любая точка, кроме x=0). Поэтому на любом промежутке эти функции будут линейно независимыми.

Обе функции всюду дифференцируемы (в том числе в нуле, где производные обеих функций обращаются в ноль). Убедимся, что вронскиан всюду ноль.

Однако эти функции, очевидно, являются линейно независимыми. Видим что равенство вронскиана нулю не влечёт за собой линейной зависимости в случае произвольного выбора функций.

См. также

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Вронскиан» в других словарях:

Вронскиан — функциональный определитель, составленный из n функций f1(x), f2(x), …, fn (x) и их производных до n 1 порядка включительно: Обращение В. в нуль [W (x) = 0] является необходимым, а при некоторых дополнительных… … Большая советская энциклопедия

ВРОНСКИАН — определитель Вроньского, определитель системы пвектор функций размерности п имеющий вид: В. системы n скалярных функций имеющих производные до ( п 1) го порядка включительно, есть определитель Это понятие было введено Ю. Вроньским [1]. Если… … Математическая энциклопедия

Вроньский Юзеф — (Wroński), настоящая фамилия Хёне (Hoene) (1776 1853), польский математик и философ мистик. Известен введённый им определитель, важный в теории линейных дифференциальных уравнений (вронскиан). * * * ВРОНЬСКИЙ Юзеф ВРОНЬСКИЙ (наст. фам. Хене,… … Энциклопедический словарь

ВРОНЬСКИЙ Юзеф — ВРОНЬСКИЙ (наст. фам. Хене Hoene) Юзеф (1776 1853), польский математик и философ мистик. Известен введенный им определитель, важный в теории линейных дифференциальных уравнений (вронскиан) … Большой Энциклопедический словарь

Вроньский Юзеф — Вроньский (Wroński) Юзеф (настоящая фамилия ‒ Хёне, Hoene; известен также как Гёне Вронский) (24.8.1776, Вольштын, ‒ 9.8.1853, Париж), польский математик и философ мистик. Был артиллерийским офицером в армии Костюшко, впоследствии служил в штабе… … Большая советская энциклопедия

Источник

Что такое определитель вронского для дифференциального уравнения

Если \(\left( x \right),\left( x \right)\) − фундаментальная система решений, то общее решение уравнения второго порядка представляется в виде \[y\left( x \right) = \left( x \right) + \left( x \right),\] где \(, \) − произвольные постоянные.

Заметим, что по заданной фундаментальной системе решений \(\left( x \right),\left( x \right)\) можно построить соответствующее однородное дифференциальное уравнение. Для случая второго порядка такое уравнение выражается через определитель в виде: \[\left| <\begin<*<20>> <>&<>&y\\ <>&<>&y’\\ <>&<>&y» \end> \right| = 0.\]

Итак, как указано выше, общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений \(\left( x \right),\left( x \right)\) этого уравнения.

Очевидно, что частные решения зависят от коэффициентов дифференциального уравнения. Формула Лиувилля-Остроградского устанавливает связь между вронскианом \(W\left( x \right),\) построенном на базе частных решений \(\left( x \right),\left( x \right),\) и коэффициентом \(\left( x \right)\) в дифференциальном уравнении.

К сожалению, общего метода отыскания частного решения не существует. Обычно это можно сделать путем подбора.

Если известно частное решение \(\left( x \right) \ne 0\) линейного однородного уравнения второго порядка, то его можно преобразовать к линейному уравнению первого порядка с помощью подстановки \(y = \left( x \right)z\left( x \right)\) и последующей замены \(z’\left( x \right) = u.\)

Другой способ понижения порядка основан на использовании формулы Лиувилля-Остроградского. Здесь также одно частное решение \(\left( x \right)\) должно быть известно. Соответствующие примеры разобраны ниже.

Таким образом, общее решение имеет вид: \[ + 1> \right)z > = <x + \left( <+ 1> \right)\arctan x + \left( <+ 1> \right) > = <\left[ + 1> \right)\arctan x> \right] + \left( <+ 1> \right).> \]

Поскольку частное решение \(\) известно, то мы получили дифференциальное уравнение первого порядка для определения другого частного решения \(.\) После деления на \(y_1^2\) имеем: \[ <\left. < — = > \right|:y_1^2,>\;\; <\Rightarrow \frac<< — >><> = \frac<<>><>,>\;\; <\Rightarrow <\left( <\frac<<>><<>>> \right)^\prime > > = <\frac<<>><> > = <\frac<<\cancel>><<\cancel>> = .> \] Отсюда находим функцию \(:\) \[ <\frac<<>><<>> = x + ,>\;\; <\Rightarrow = \left( <x + > \right) > = <\left( <x + > \right) > = < + ,> \] где \(,\) \(\) − постоянные интегрирования. Ясно, что функция \(\) фактически представляет собой общее решение уравнения.

Источник

• ← в каком году вторая пятилетка
• Как у ребенка вылечить гланды →