что такое определенный и неопределенный интеграл

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Понятие первообразной

Однако на практике значительно чаще встречается прямо противоположная задача. Известно, как меняется скорость тела, и найти требуется путь, пройденный им. В таком случае необходимо по производной определить ту функцию, которая «подверглась» дифференцированию.

Задание. Известна производная функции у(х):

В этом примере мы выполнили операцию, обратную дифференцированию. В математическом анализе он называется интегрированием. Если интегрируют некоторую произвольную функцию f(х), то в итоге получают новую функцию, которую чаще всего обозначают как F(x). Её называют первообразной функции f(x).

Приведем несколько примеров первообразной:

Последний пример показывает, что иногда первообразная может и совпадать с исходной функцией.

Задание. Докажите, что функция

Первообразные встречаются и в ряде практических задач, особенно в тех, где рассматривается движение тел.

Задание. Автомобиль Buggati Veyron разгоняется от 0 до 40 м/с за 4 секунды. Какое расстояние проедет эта машина за эти 4 секунды, если разгон осуществляется равномерно?

Решение: Если за 4 секунды машина разгоняется до 30 м/с, то за одну секунду она увеличивает скорость на

Примечание – в будущем мы научимся более строго решать такие задачи, и «угадывать» подходящую первообразную не придётся.

Бесконечное количество первообразных

Оказывается, что g₁ также является первообразной для у. То есть у одной функции у = 4х 3 есть сразу две первообразных:g = x 4 и g = x 4 + 1! Более того, можно доказать, что у любой функции есть бесконечное количество первообразных!

Действительно, рассмотрим сразу все функции

где С – некоторая константа, то есть параметр. В данном случае можно сказать, что мы рассматриваем не одну функцию, а семейство функций. Продифференцируем g:

Данная особенность операции интегрирования может быть сформулирована в виде следующей теоремы:

Можно дать и графическую иллюстрацию этого правила. Построим произвольный график g = F(x). Далее построим ещё один график

Очевидно, что он может быть получен параллельным переносом первого графика на С единиц вверх:

Теперь в какой-нибудь точке х₀ проведем касательные к обоим графикам первообразных. Очевидно, что они будут иметь одинаковый угол наклона, так как по сути тоже могут быть получены параллельным переносом:

Если же углы наклона касательных совпадают, то и производные в этих точках также равны.

В связи с наличием у каждой функции бесконечного количества первообразных их часто записывают в общем виде. Например, пусть надо записать первообразную для

Однако 2х 2 – это лишь одна из бесконечного множества первообразных. Все вместе они образуют семейство, которое записывается так:

Неопределенный интеграл

Каждая математическая операция имеет какое-то особое обозначение. Например, чтобы показать, что мы дифференцируем некоторую функцию, мы ставим после неё штрих (и при необходимости берем в скобки):

Напомним, что операция нахождения первообразной называется интегрированием. Для ее обозначения используется особый знак – интеграл. Например, мы знаем, что первообразная для у = х 2 – это семейство функций вида

Рассмотрим элементы записанного нами равенства:

Исходная функция – это та самая функция, для которой необходимо найти первообразную, то есть интегрируемая функция. Справа от знака «равно» как раз записывается первообразная. Сразу после первообразной надо писать «+ С». Тем самым мы показываем, что у интегрируемой функции есть бесконечное количество первообразных.

После интегрируемой функции стоит так называемый дифференциал dх (читается как «дэ икс»). В данном случае он указывает, что именно буквой х мы обозначаем переменную в интегрируемой функции. Его значение мы разберем несколько позже. Пока что надо запомнить, что после интегрируемой функции необходимо писать «dx». В целом вся запись

читается так: «интеграл от два икс по дэ икс равен икс в квадрате плюс цэ».

В чем разница между первообразной и интегралом? Первообразная – это функция, при дифференцировании которой получается исходная функция. Интеграл же – это не функция, а целое семейство функций (или их множество), которое включает в себя сразу все первообразные интегрируемой функции.

Так как интегрирование – это действие, обратное дифференцированию, то мы можем проверить результат своих вычислений. Пусть мы записали, что

Получили подынтегральное выражение. Значит, мы всё сделали правильно.

Здесь важно заметить, что в математике существует сразу несколько видов интегралов, каждый из которых имеет разное определение. Здесь описан так называемый «неопределенный интеграл». Несложно догадаться, что существует ещё и «определенный интеграл», который мы рассмотрим на следующих уроках. Теперь можно дать следующее определение:

Задание. Найдите неопределенный интеграл

Решение. Вспомним таблицу производных элементарных функций. Производная синуса равна косинусу:

Заметим, что непосредственно из определения следует важное свойство неопределенного интеграла – производная интеграла равна его подынтегральному выражению:

Грубо говоря, операции интегрирования дифференцирования «сокращают» друг друга.

Задание. Вычислите производную:

Таблица первообразных

Как же вычислять интегралы? Проще всего начать с тех функций, которые уже есть в таблице производных. Напомним, как она выглядит:

Из определения первообразной следует, что для тех функций, которые указаны во втором столбце таблицы, одной из первообразных является соответствующая функция из первого столбца. То есть можно составить такую таблицу первообразных:

Обратите внимание на третью строку снизу. Здесь произошло небольшое изменение – вместо первообразной lnx мы записали ln |x|, то есть использовали модуль числа. Дело в том, что функция

определена при любом значении аргумента, кроме нуля. В то же время функция

не определена при отрицательных значениях х, так как под знаком логарифма не может стоять отрицательное число. Однако области определения интегрируемой функции и ее первообразной должны совпадать. Использование модуля обеспечивает выполнение этого условия.

Полученная нами таблица интегралов не совсем удобна. Предположим, нам надо проинтегрировать функцию

Однако можно догадаться, что в качестве подходящей первообразной можно взять функцию

В связи с этим есть смысл немного подкорректировать таблицу первообразных таким образом, чтобы в первом столбце стояли стандартные функции без неудобных множителей. В результате таблица примет следующий вид:

Можно доказать, что каждое равенство в третьем столбце является справедливым. Возьмем, например, равенство

Получили подынтегральное выражение, а это значит, что равенство справедливо. Таким же образом можно доказать и все остальные равенства в таблице.

Задание. Вычислите неопределенный интеграл:

Решение. Этот интеграл присутствует в таблице (7-ая строка), а потому мы просто переписываем равенство из неё:

Задание. Найдите первообразную функции

Правила вычисления интегралов

Что делать в том случае, если надо вычислить интеграл, которого нет в таблице? Существует три несложных правила интегрирования, которые могут помочь в такой ситуации.

Докажем это правило. Для этого просто продифференцируем правую часть равенства:

Получили именно то выражение, которое стоит под знаком интеграла в левой части равенства. Это значит, что формула справедлива.

Рассмотрим пример использования этого правила. Пусть надо найти первообразную функции

Здесь мы представили исходный интеграл как сумму двух более простых интегралов, которые являются табличными

Обратите внимание, что мы не стали складывать константы интегрирования С как подобные слагаемые и писать 2С. Дело в том, что С – это некоторое произвольное число. Но если сложить два произвольных числа, то в итоге получится третье произвольное число, которое также будет обозначаться как С! Поэтому обычно константу С просто дописывают в самом конце решаемого примера.

Естественно, что правило сложения интегралов работает и в случае суммы не двух, а большего количества слагаемых.

Задание. Вычислите неопределенный интеграл

Возможна ситуация, когда мы не уверены в правильности полученного решения. В таком случае можно легко проверить себя, просто продифференцировав получившийся интеграл. В итоге мы должны получить исходную функцию (подынтегральное выражение):

Следующее правило позволяет выносить множитель из-под знака интеграла.

Для доказательства тождества снова продифференцируем его левую часть:

Получили как раз то выражение, которое стоит под интегралом справа. Следовательно, формула верна.

Рассмотрим несколько простейших примеров использования этого метода интегрирования неопределенных интегралов:

Естественно, что правила 1 и 2 можно комбинировать друг с другом, решая более сложные примеры.

Задание. Вычислите неопределенный интеграл от квадратичной функции

Первые два правила достаточно просты и напоминают аналогичные правила дифференцирования. А вот третий метод вычисления неопределенного интеграла более сложный.

Проиллюстрируем его на примере. Пусть надо найти первообразную для функции

Но в нашем случае под знаком косинуса стоит не х, а выражение 5х + 7, являющееся линейной функцией. Поэтому, согласно правилу, мы должны написать впервообразной не sinx, а sin (5x + 7), то есть изменить аргумент. Также надо добавить перед синусом «поправочный множитель», равный 1/k, то есть в нашем случае 1/5:

Проверим себя. Продифференцируем получившуюся первообразную. При этом мы используем правило дифференцирования сложной функции:

Получили ту самую функцию, которую и надо было проинтегрировать.

Приведем ещё несколько примеров использования правила 3:

Напомним, что при изучении производной мы познакомились также с правилами дифференцирования произведения, дроби и сложной функции. Используя их, мы могли найти производную для почти любой функции, которую только могли записать. С решением неопределенных интегралов ситуация значительно сложнее. С помощью приведенных трех правил не получится вычислить такие интегралы, как

Более того, в записанной нами таблице интегралов отсутствует ряд элементарных функций, поэтому мы не сможем даже проинтегрировать такую простую функцию, как

Дело в том, что задача интегрирования является значительно более сложной, чем задача дифференцирования. Отметим три момента. Во-первых, в нашей школьной таблице интегралов, содержащей всего 11 формул, указаны лишь самые простые элементарные функции. Существуют справочники, где в качестве табличных указаны интегралы десятков, а то и сотен функций. Во-вторых, есть и более сложные правила интегрирования, которые изучаются уже в институте. В-третьих, существуют такие элементарные функции, первообразную которых в принципе невозможно записать, используя элементарные функции (синус, косинус, логарифм и т.п.). В связи с этим приходится вводить в рассмотрение новые специальные функции, а также использовать приближенные методы вычислений.

Физический смысл неопределенного интеграла

Напомним физический смысл производной – если известен закон движения материальной точки, то есть некоторая функция S(t), то производная этого закона будет выражать скорость тела в момент времени t:

Отсюда прямо вытекает физический смысл первообразной. Если известен закон изменения скорости v(t), то его первообразная будет являться законом движения S(t). Точнее говоря, законом движения будет являться только одна из первообразных, так как их существует бесконечно много.

Задача. Скорость тела в произвольный момент времени t может быть вычислена по закону

Найдите закон движения материальной точки S(t). Известно, что в начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 1,5, то есть S(0) = 1,5.

Решение. Нам надо просто проинтегрировать функцию v(t):

Интеграл вычислен, но это ещё не закон движения, ведь в нем присутствует константа интегрирования. Как от неё избавиться? Надо использовать условие, согласно которому S(0) = 1,5. В общем виде закон движения имеет вид

Мы нашли конкретное значение константы интегрирования. С учетом этого закон движения (1) примет вид:

Источник

Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

Определение первообразной

Определение неопределенного интеграла

Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

∫ f ( x ) d x ‘ = F ( x ) + C ‘ = f ( x )

∫ d ( F ( x ) ) = ∫ F ‘ ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C

∫ f ( x ) ± g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.

Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:

k · ∫ f ( x ) d x ‘ = k · ∫ d ( x ) d x ‘ = k · f ( x ) ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x ‘ = ∫ f ( x ) d x ‘ ± ∫ g ( x ) d x ‘ = f ( x ) ± g ( x )

Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

Решение

Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем

d ( ln x ) = ( ln x ) ‘ d x = d x x = f ( x ) d x ∫ f ( x ) d x = ∫ d x x = ∫ d ( ln ( x ) )

Ответ: f ( x ) = 1 x = ln ( x ) + 1

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x и проверить результат вычисления дифференцированием.

Решение

Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:

Проверим полученный результат дифференцированием.

В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».

Источник

Определение и свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования.

Ранее нами была рассмотрена задача о нахождении мгновенной скорости материальной точки по заданному закону ее движения. Если \(s=s(t)\) — путь, пройденный точкой за время \(t\) от начала движения, то мгновенная скорость \(v\) в момент \(t\) равна производной функции \(s(t)\), то есть
$$
v=s'(t).\nonumber
$$
В физике встречается обратная задача: по заданной скорости \(v=v(t)\) найти закон движения, то есть найти такую функцию \(s(t)\) производная которой равна \(v(t)\).

Первообразная.

Пусть функции \(f(x)\) и \(F(x)\) определены на интервале \((a,b)\). Если функция \(F(x)\) имеет производную на интервале \((a,b)\) и если для всех \(x\in (a,b)\) выполняется равенство
$$
F'(x)=f(x),\label
$$
то функция \(F(x)\) называется первообразной для функции \(f(x)\) на интервале \((a,b)\).

Понятие первообразной можно ввести и для других промежутков (полуинтервала — конечного или бесконечного, отрезка).

Дадим определение первообразной на отрезке. Если функции \(f(x)\) и \(F(x)\) определены на отрезке \([a,b]\), причем функция \(F\) дифференцируема на интервале \((a,b)\), непрерывна на отрезке \([a,b]\) и для всех \(x\in (a,b)\) выполняется равенство \eqref, то функцию \(F(x)\) назовем первообразной для функции \(f(x)\) на отрезке \([a,b]\).

Если \(F(x)\) — первообразная для функции \(f(x)\) на интервале \((a,b)\), то функция \(F(x)+C\) при любом значении \(C=\operatorname\) также является первообразной для \(f(x)\).

Справедливо и обратное утверждение.

Если \(F_1(x)\) и \(F_2(x)\) — две первообразные для функции \(f(x)\) на интервале \((a,b)\), то для всех \(x\in (a,b)\) выполняется равенство
$$
F_2(x)=F_1(x)+C,\label
$$
где \(C\) — постоянная.

\(\circ\) Обозначим \(\Phi(x)=F_2(x)-F_1(x)\). По определению первообразной в силу условий теоремы для всех \(x\in (a,b)\) выполняются равенства
$$
F_1′(x)=f(x),\quad F_2′(x)=f(x),\nonumber
$$
откуда следует, что функция \(\Phi(x)\) дифференцируема на интервале \((a,b)\) и для всех \(x\in(a,b)\) имеет место равенство
$$
\Phi'(x)=0.\nonumber
$$
Согласно первому следствию из теоремы Лагранжа \(\Phi(x)=C=\operatorname\) для всех \(x\in (a,b)\) или \(F_2(x)-F_1(x)=C\), то есть справедливо равенство \eqref. \(\bullet\)

Таким образом, для данной функции \(f(x)\) ее первообразная \(F(x)\) определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Для того чтобы из совокупности первообразных выделить какую-либо первообразную \(F_1(x)\), достаточно указать точку \(M_0(x_0,y_0)\), принадлежащую графику функции \(y=F(x)\).

Для функции \(f(x)=\displaystyle \frac<1>\) найти такую первообразную \(F_1(x)\), график которой проходит через точку \((1,2)\).

\(\triangle\) Совокупность всех первообразных функции \(\displaystyle \frac<1>\) описывается формулой
$$
F(x)=-\frac<1>+C.\nonumber
$$

По условию \(F_1(1)=2\), то есть \(2=-1+C\), откуда \(C=3\). Следовательно, \(F_1(x)=3-\displaystyle \frac<1>\). \(\blacktriangle\)

В дальнейшем (гл. VII, § 36) будет доказано, что первообразная существует для любой функции, непрерывной на отрезке (или интервале).

Понятие неопределенного интеграла.

Совокупность всех первообразных для функции \(f(x)\) на некотором промежутке \(\Delta\) называют неопределенным интегралом от функции \(f\) на этом промежутке, обозначают символом \(\displaystyle \int f(x)dx\) и пишут
$$
\int f(x)dx=F(x)+C.\label
$$

Здесь \(F(x)\) — какая-нибудь первообразная функции \(f\) на промежутке \(\Delta\), \(C\) — произвольная постоянная. Знак \(\displaystyle \int\) называется знаком интеграла, \(f\) — подынтегральной функцией, \(f(x)dx\) — подынтегральным выражением.

Подынтегральное выражение можно записать в виде \(F'(x)\) или в виде \(dF(x)\), то есть
$$
f(x)dx=dF(x).\label
$$

Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функции, которая является обратной операции дифференцирования, называют интегрированием. Поэтому любую формулу для производной, то есть формулу вида \(F'(x)=f(x)\), можно записать в виде \eqref.

Используя таблицу производных, можно найти интегралы от некоторых элементарных функций. Например, из равенства \((\sin x)’=\cos x\) следует, что \(\displaystyle \int\cos x dx=\sin x+C\).

Свойства неопределенного интеграла.

\(\circ\) Из равенства \eqref следует, что
$$
d\left(\int f(x)dx\right)=d(F(x) + C) = dF(x),\nonumber
$$
так как \(dC = 0\). \(\bullet\)

Согласно формуле \eqref знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла.

\(\circ\) Равенство \eqref следует из равенств \eqref и \eqref. \(\bullet\)

Соотношение \eqref показывает, что и в случае, когда знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, эти знаки также взаимно уничтожается (если отбросить постоянную \(C\)).

Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют на некотором промежутке первообразные, то для любых \(\alpha\in R, \ \beta\in R\) таких, что \(\alpha^2+\beta^2\neq 0\), функция \(\varphi(x) = \alpha f(x)+\beta g(x)\) также имеет первообразную на этом промежутке, причем
$$
\int\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x).\label
$$

\(\circ\) Пусть \(F\) и \(G\) — первообразные для функций \(f\) и \(g\) соответственно, тогда \(\Phi=\alpha F + \beta G\) — первообразная для функции \(\varphi\), так как \((\alpha F(x)+\beta G(x))’=\alpha f(x)+\beta g(x)\). Согласно определению интеграла левая часть \eqref состоит из функций вида \(\Phi(x)+C\), а правая часть — из функций вида \(\alpha F(x)+\alpha C_1+\beta G(x)+\beta C_2=\Phi(x)+\alpha C_1+\beta C_2\). Так как \(\alpha^2+\beta^2\neq 0\), то каждая функция вида \(\Phi(x)+C\) принадлежит совокупности функций \(\Phi(x)+\alpha C_1+\beta C_2\), и наоборот, то есть по заданному числу \(C\) можно найти \(C_1\) и \(C_2\), а по заданным \(C_1\) и \(C_2\) — число \(C\) такое, чтобы выполнялось равенство \(C=\alpha C_1+\beta C_2\). \(\bullet\)

Таким образом, интегрирование обладает свойством линейности: интеграл от линейной комбинации функций равен соответствующей линейной комбинации интегралов от рассматриваемых функций.

Найти \(\displaystyle \int f(x)dx\), если:

Дальнейшее расширение множества функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, можно получить, если воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции и правилом дифференцирования произведения двух функций.

Метод замены переменного (метод подстановки).

Пусть функция \(t=\varphi(x)\) определена и дифференцируема на промежутке \(\Delta\) и пусть \(\Delta_i=\varphi(\Delta)\) — множество значений функции \(\varphi\) на \(\Delta\).

Если функция \(U(t)\) определена и дифференцируема на \(\Delta_i\), причем
$$
U'(t)=u(t),\label
$$
то на промежутке \(\Delta\) определена и дифференцируема сложная функция \(F(x)=U(\varphi(x))\) и
$$
F'(x)=\left[U(\varphi(x))\right]’=U'(\varphi(x))\varphi'(x)=u(\varphi(x))\varphi'(x).\label
$$

Из равенств \eqref и \eqref следует, что если \(U(t)\) — первообразная для функции \(u(t)\), то \(U(\varphi(x))\) — первообразная для функции \(u(\varphi(x))\varphi'(x)\). Это означает, что если
$$
\int u(t) dt = U(t) + C,\label
$$
то
$$
\int u(\varphi(x))\varphi'(x)dx=U(\varphi(x)) + C,\label
$$
или
$$
\int u(\varphi(x))d\varphi(x)= U(\varphi(x)) + C.\label
$$

Формулу \eqref (или формулу \eqref) называют формулой интегрирования заменой переменного. Она получается из формулы \eqref, если вместо \(t\) подставить дифференцируемую функцию \(\varphi(x)\).

Формула \eqref дает возможность найти интеграл \(\displaystyle f(x)dx\), если функция \(f(x)\) представляется в виде \(f(x) = u(\varphi(x))\varphi'(x)\) и если известна первообразная функции \(u(t)\), то есть известен интеграл \eqref.

Отметим важные частные случаи формулы \eqref.

Приведем примеры применения формул \eqref-\eqref.

Источник

Теорема. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на

При этом f (x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.

Согласно определению неопределенного интеграла можно написать:

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (1,2).

Замечание. В формулах (1) и (2) знаки и уничтожают друга. В этом смысле интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными математическими операциями.

Свойства линейности неопределенного интеграла.

Таблица интегралов

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал f (x)dx, а затем в таблице
интегралов найти первообразную.

Пример 1.

который можно отыскать в таблице интегралов, где u(x) = sin x.

Пример 2.

Здесь мы умножили подынтегральную функцию и разделили на 2, затем внесли 2 под знак дифференциала. Заменим 2dx =d (2x +1) и получим табличный интеграл

Проверим результат дифференцированием:

Пример 3.

В данном примере мы применили прием подведения под знак дифференциала cosx и постоянной 1. cos xdx = d(1+ sin x).

Пример 4.

Метод подстановки

Пример 6.

Метод интегрирования по частям.

Иногда формула интегрирования по частям применяется несколько раз. Рассмотрим пример такого интеграла.

Замечание. Иногда применение формулы интегрирования по частям приводит к исходному интегралу, который в таком случае называется циклическим или круговым.

Источник