что такое опорные реакции
Статика. Определение реакций опор
Шарнирно подвижная опора
Такая опора имеет связь только в одном направлении (сила R показывает направление ограничения движения), возможно вращение в шарнире и движение вдоль одной из осей. Шарнирно подвижная опора имеет два вида схемотческих изображений на рисунках А и Б показаны виды изображения.
Шарнирно неподвижная опора
У данного вида опоры две реакции связи (обозначены R и Ха), возможно вращение только в шарнире, освые перемещения не возможны.
Пример схематического изображения шарнирно неподвижной опоры:
Жесткая заделка
Данный вид опор не имеет степеней поэтому имеет три реакции: две осевых и один реактивный момент. Такую опору еще называют консольной.
Определение реакций опор
Для определения реакций опор используют три уравнения статики и правило моментов. Самое интересное что правило моментов для термеха отличается от правила моментов в сопромате. Если в термехе момент по часовой стрелке считается со знаком «-«, то в сопромате по часовой это знак «+».
Три уравнения статики
1) Сумма сил по оси Х
2) Сумма сил по оси У
3) Сумма моментов вокруг точки
Рассмотрим на примере определение реакций опор в двухопорной балке:
Рассмотрим балку: балка на двух опорах, опора «А» шарнирно неподвижная, следовательно в ней возникает две реакции опоры по оси У и по оси Х, опора «В» шарнирно подвижная, в ней возникает одна реакции в вертикальной плоскости Уа. Всего получается три неизвестных следовательно балка статически определима и для определения нам достаточно трёх уравнений статики.
По оси Х нет действующих сил, следовательно реакция Ха=0
Для определения вертикальной реакции опоры А воспользуемся уравнением суммы сил по оси У:
Некоторые физические явления сложны для понимания школьников. К таковым относится и сила реакция опоры. Скорее всего причина тут кроется в том, что этот тип взаимодействия между физическими предметами и телами противоречит житейской логике.
Между тем, достаточно немного усидчивости и терпения, чтобы убедиться, что это совсем не так.
Что такое сила реакции опоры
Прежде всего дадим определение данной силе. Сила реакции опоры (N) представляет собой взаимодействие на молекулярном уровне.
Это сила, приложенная к телу и направленная вертикально вверх.
Сила реакции опоры — сила упругости, возникающая при малых деформациях опоры, всегда перпендикулярна опоре, N = P.
Книга, положенная на стол, давит на ее поверхность с определенной нагрузкой, но молекулы, сжатые ею, хотят снова прийти в равновесие и поэтому давят на книгу ровно с такой же силой. Если бы в природе не существовало этого взаимодействия, то тела не выдерживали бы нагрузки. Из этого можно заключить, что сила реакции опоры представляет собой разновидность силы упругости.
Примеры решения задач
Задача 1
Определить реакции опор горизонтальной балки от заданной нагрузки.
Перед тем, как начать составлять систему уравнений, необходимо несколько преобразовать систему балки:
Опора А покоится на подвижной опоре, которая может двигаться в горизонтальной плоскости, поэтому имеет только вертикальную составляющую реакции опоры – RA.
Опора В абсолютно неподвижна, и ее реакция опоры состоит из двух взаимодействий, направленных вдоль линий оси: XB и YB.
Распределенную нагрузку q для простоты можно заменить одиночной нагрузкой Q. Она будет располагаться ровно посередине отрезка. Находится по формуле: Q = (q × a). Делаем расчет и узнаем, чему равна Q = 2 × 2 = 4 кН.
Сила P не принадлежит ни к одной из плоскостей, а находится как бы между ними. Поэтому ее раскладывают на две составляющие: Px и Py. Это не значит, что они делят ее пополам. Для ее разложения понадобится вспомнить закон Пифагора. Px = P × cos α, Py = P × sin α.
После всех этих преобразований схема балки примет следующий вид:
Теперь можно выписывать силы по принадлежности:
Как видно из уравнения момента сил, за точку вращения балки принята опора B. Поэтому значение воздействия в килоньютонах умножается на расстояние до этой точки в метрах.
Теперь в каждом уравнении есть одна неизвестная, поэтому, подставив известные значения, можно их найти:
XB = P × cos α = 20 × cos 30 0 = 20 × 0,866 = 17,32 кН;
RA = М + P × sin α × b – G × (b + 0,5 × a) + Q × (a + b) × (1,5 × a + b) = 4 + 20 × sin 30 0 × 3 – 10 × (3 + 0,5 × 2) + 4 × (2 + 3) × (1,5 × 2 + 3) = 2,33 кН;
Задача 2
Для заданной плоской рамы определить реакции опор. Значения сил возьмем из задачи №1, несколько изменим их распределение. Схема балки показана на рис. 3.
В этом примере существует только одна опора в точке А, распределенная нагрузка имеет сложную форму. Остальные силы, а точнее их проекции на оси х и у не претерпевают каких-либо изменений.
Чтобы правильно разложить нагрузку q, ее разделяют на две: Q1 в виде треугольника от В до Д и на Q2, представляющей собой прямоугольник.
Соответственно, определяться они тоже будут по-разному:
Q1 = (q × a) / 2 = (2 × 2) / 2 = 2 кН;
Q2 = q × a = 2 × 2 = 4 кН.
Обе эти силы будут расположены посередине своих отрезков (Q1 из характера нагрузки на 1/3 от точки Д).
В предыдущем примере шаровая опора могла вращать балку вокруг себя, поэтому не имела момента вращения. В данном случае опора представляет собой жестко закрепленную опору, поэтому имеет ко всему прочему еще и момент МА.
После всех преобразований схема балки будет следующей:
Теперь можно приступать к выписыванию сил:
∑МВ = MA – G × 0.5 × b – Q1 × 2/3 × a – Q2 ×1,5 × a + M + P × sin α × 2b – P × cos α × 2a.
Две силы Р в последнем уравнении связаны с формой самой балки, которая может испытывать момент вращения от каждой из них.
Теперь можно подставлять уже известные значения:
XA – 2 – 4 – 20 × cos 30 0 = 0 → XA = 23,32 кН;
YA – 10 + 20 × sin 30 0 = 0 → YA = 0 кН;
MA – 10 × 0,5 × 3 – 2 × 2/3 × 2 – 4 ×1,5 × 2 + 4 + 20 × sin 30 0 × 2 × 3 – P × cos 30 0 × 2 × 2 = 0 → MA = 34,95 кН.
Сила реакции опоры
Сила реакции опоры — это сила, с которой опора действует на тело. Она направлена перпендикулярно поверхности, поэтому такую силу называют силой нормальной реакции. Обозначают ее символом N и измеряют в Ньютонах.
Тело находится на выпуклой или вогнутой поверхности
Рассмотрим рисунок 1. Тело находится на опоре и давит на нее своим весом. Опора реагирует на воздействие тела и отвечает ему силой \(\vec
Примечания:
\(\vec
Когда тело находится на выпуклой поверхности (рис. 1а), реакция направлена вдоль радиуса от центра сферы наружу, за ее пределы.
Если же тело находится на вогнутой части (рис. 1б) поверхности, реакция \(\vec
Тело опирается на поверхность в двух точках
На рисунках 2а и 2б изображено продолговатое тело (к примеру, стержень), опирающееся на поверхности двумя своими точками.
В точках соприкосновения поверхность отвечает телу силой \(\vec
Cилы реакции \(\vec
Примечание: Сила — это вектор. Между векторами можно ставить знак равенства, только, когда совпадают характеристики векторов.
Как рассчитать силу нормальной реакции
Пусть тело давит на опору своим весом. В местах соприкосновения тела с опорой наблюдается упругая деформация. При этом опора стремится избавиться от возникшей деформации и вернуться в первоначальное состояние. Силы, с которыми опора упруго сопротивляется воздействию тела, имеют электромагнитную природу. Когда сближаются электронные оболочки атомов тела и опоры, между ними возникает сила отталкивания. Она и является силой реакции опоры на воздействие тела.
Примечание: Сила реакции \(\vec
Для того, чтобы рассчитать силу реакции, нужно понимать законы Ньютона, уметь составлять силовые уравнения и знать, что такое равнодействующая.
На рисунке 3 изображены тела, находящиеся на горизонтальной – а) и наклонной – б) поверхностях.
Рассмотрим подробнее рисунок 3а. Тело на горизонтальной поверхности находится в покое. Значит, выполняются условия равновесия тела.
По третьему закону Ньютона, сила, с которой тело действует на опору, равна по модулю весу тела и направлена противоположно весу.
\(m \vec
\(\vec
Рисунок 3б иллюстрирует тело на наклонной поверхности. Перпендикулярно соприкасающимся поверхностям проведена ось Oy. Проекция силы \(m \vec
Примечание: Выражение «численно равна» нужно понимать, как «длины векторов равны».
\(\alpha \left(\text <рад>\right) \) – угол между силой \(mg\) и осью Oy.
ОПОРЫ И ОПОРНЫЕ РЕАКЦИИ
Рассмотренный в § 2.7 свободный брус был нагружен заданными нагрузками (силами и моментами), находящимися в равновесии (см. рис. 3.7). Обычно заданные нагрузки не бывают взаимно уравновешенными; неподвижность конструкции под действием этих нагрузок обеспечивается благодаря наличию опор, соединяющих ее с основанием. В опорах возникают реакции, которые вместе с заданными нагрузками представляют уравновешенную систему внешних сил, действующих на конструкцию.
Как известно из курса теоретической механики, любое тело обладает в плоскости тремя степенями свободы. Поэтому для обеспечения геометрической неизменяемости системы (бруса) необходимо наложить на нее (в плоскости) три связи.
Рассмотрим различные типы опор плоских систем.
1. Защемление, или заделка (рис. 4.7, а). Защемленный (или заделанный) конец бруса не может ни смещаться поступательно, ни поворачиваться. Следовательно, число степеней свободы бруса с защемленным концом равно нулю. В опоре могут возникать: вертикальная реакция (сила R — рис. 4.7, а), препятствующая вертикальному смещению конца бруса; горизонтальная реакция (сила Н), исключающая возможность его горизонтального смещения 
и реактивный момент препятствующий повороту. Таким образом, закрепление бруса с помощью заделки накладывает на него три связи и обеспечивает его неподвижность.
2. Шарнирно неподвижная опора (рис. 4.7, б). Поперечное сечение бруса, проходящее через шарнирно неподвижную опору, не может смещаться поступательно. В опоре возникает реактивная сила, проходящая через центр шарнира. Ее составляющими являются вертикальная сила R, препятствующая вертикальному смещению, и горизонтальная сила Н, исключающая горизонтальное смещение закрепленного сечения бруса. Опора не препятствует повороту бруса относительно центра шарнира, и, следовательно, брус, закрепленный при помощи одной такой опоры, имеет одну степень свободы. Закрепление бруса с помощью шарнирно неподвижной опоры, накладывает на него две связи.
3. Шарнирно подвижная опора (рис. 4.7, в). Поперечное сечение бруса, проходящее через шарнирно подвижную опору, может смещаться параллельно опорной плоскости 
и поворачиваться, но оно не может смещаться перпендикулярно к опорной плоскости. В опоре возникает только одна реакция в виде силы R, перпендикулярной к опорной плоскости. Закрепление бруса с помощью такой опоры накладывает на него одну связь.
Рассмотренные типы опор принято также изображать с помощью стерженьков.
Шарнирно подвижную опору изображают в виде стерженька, имеющего по концам шарниры (рис. 5.7, а). Нижний шарнир неподвижен, а верхний может смещаться лишь по прямой линии, перпендикулярной к оси стерженька.
Это соответствует тем условиям закрепления, которые обеспечивает шарнирно подвижная опора (см. рис. 4.7, в). Опорная реакция действует только вдоль оси стерженька. Собственные деформации его при расчетах не учитываются, т. е. стерженек считается бесконечно жестким.
Шарнирно неподвижную опору изображают с помощью двух стерженьков с шарнирами по концам (рис. 5.7, б). Верхний шарнир является общим для обоих стерженьков. Направления стерженьков могут быть произвольными. Они, однако, не должны быть расположены на одной прямой.
Заделку (защемление) можно изображать с помощью трех стерженьков с шарнирами по концам, как показано на рис. 5.7, в.
Число стерженьков в схематическом изображении опоры равно числу составляющих опорной реакции и числу связей, накладываемых этой опорой на конструкцию.
Для того чтобы брус не перемещался под нагрузкой, он должен быть геометрически неизменяемо (неподвижно) соединен с основанием, что в случае плоского действия сил, как уже отмечалось, достигается путем наложения на него трех внешних связей.
Это можно сделать с помощью одной заделки (рис. 6.7, а) или одной шарнирно неподвижной и одной шарнирно подвижной опоры (рис. 6.7, б), или с помощью трех шарнирно подвижных опор, направления реакций которых не пересекаются в одной точке (рис. 6.7, в).
Если направления трех опорных стерженьков пересекаются в одной точке О (рис. 7.7, а,б), то система является мгновенно изменяемой, так как в этом случае ни один опорный стерженек не препятствует весьма малому повороту бруса вокруг точки О; такое расположение опорных стерженьков недопустимо.
Рассмотрим геометрически неизменяемые системы, состоящие из нескольких брусьев.
На рис. 8.7, а, например, показана система из двух брусьев (АВ и ВС), на каждый из которых наложено три связи. На брус ВС одну связь накладывает опорный стерженек CD, препятствующий вертикальному смещению точки С бруса, и две связи — шарнир В, препятствующий вертикальному и горизонтальному смещению точки В бруса.
На брус АВ все три связи налагает заделка А; шарнир же В не может препятствовать ни поступательным смещениям, ни поворотам бруса АВ и, следовательно, не налагает на него связей.
На рис. 8.7, б показана геометрически неизменяемая система, состоящая из трех брусьев (АС, CD и DF). На каждый из них наложено три связи. Так, например, шарнир С налагает на брус CD две связи (так как препятствует горизонтальному и вертикальному смещениям точки С), а шарнир 
— одну связь (так как препятствует только вертикальному смещению точки 
).
Системы, изображенные на рис. 8.7, называются многопролетными шарнирными балками.
Общее число неизвестных опорных реакций при вариантах закрепления бруса, показанных на рис. 6.7, а, б, в, равно трем. Следовательно, эти реакции можно найти при помощи трех уравнений равновесия, которые составляются для плоской системы сил. По значениям же опорных реакций и внешних нагрузок можно определить [по формулам (2.7) — (4.7)] внутренние усилия в любом поперечном сечении бруса. Поэтому брус, закрепленный путем наложения на него трех связей, является не только геометрически неизменяемым, но и статически определимым. Наложение на него большего числа связей делает брус статически неопределимым, так как в этом случае все опорные реакции нельзя определить из одних лишь уравнений равновесия.
Уравнения равновесия, составляемые для определения опорных реакций, можно представить в трех различных вариантах:
1) в виде сумм проекций сил на две произвольные не параллельные друг другу оси и суммы моментов сил относительно любой точки плоскости 
МО);
2) в виде суммы проекций сил на произвольную ось и двух сумм моментов относительно любых точек плоскости, не лежащих на одном перпендикуляре к указанной оси проекций 
3) в виде трех сумм моментов относительно любых точек плоскости, не лежащих на одной прямой 
Выбор того или иного варианта составления уравнений равновесия, а также выбор точек и направлений осей, используемых при составлении этих уравнений, производится в каждом конкретном случае с таким расчетом, чтобы по возможности не проводить совместное решение уравнений. Для проверки правильности определения опорных реакций полученные их значения рекомендуется подставить в какое-либо уравнение равновесия, не использованное ранее.
Однако если на каждый брус, составляющий многопролетную шарнирную балку, наложено по три связи, то эта балка статически определима и опорные реакции можно найти из уравнений статики.
Рассмотрим пример определения опорных реакций простой однопролетной балки, расчетная схема которой изображена на рис. 9.7, а. Отбросим опоры и заменим их влияние на балку опорными реакциями RA, Н и RB (рис. 9.7, б). Обычно балка с отброшенными опорами отдельно не изображается, а обозначения и направления опорных реакций указываются на расчетной схеме балки. Реакции 
представляют собой вертикальную и горизонтальную составляющие полной реакции шарнирно неподвижной опоры А; сила же 
является полной реакцией опоры В. Направления опорных реакций выбираются произвольно; если в результате расчета значение какой-либо реакции получается отрицательным, то, значит, в действительности ее направление противоположно предварительно принятому.
Найдем сначала опорную реакцию Н, составив для этого сумму проекций всех сил на горизонтальную ось х:
Очевидно, что не только в рассматриваемом случае, а всегда при действии на горизонтальную балку только вертикальной нагрузки горизонтальная опорная реакция равна нулю.
Для определения опорной реакции RA составим сумму моментов всех сил относительно точки В. Опорные реакции Н и RB проходят через эту точку, а потому их моменты относительно нее равны нулю:
где 
равнодействующая равномерной нагрузки интенсивностью 
распределенной по всей длине балки 
— плечо этой равнодействующей относительно точки В.
Аналогично составим сумму моментов всех сил относительно точки А:
Для проверки найденных значений опорных реакций составим сумму проекций всех сил на ось у.
Составленное уравнение удовлетворяется, что указывает на правильность определения опорных реакций.
Опорные реакции простой балки
Калькулятор вычисляет опорные реакции балки на двух опорах при действии вертикальных нагрузок.
Опорные реакции простой балки
Нагрузка
Нагрузка
Импортировать данные Ошибка импорта
Реакции опор
Под воздействием нагрузок в опорах балки возникают уравновешивающие силы, называемые реакциями опор. Эти силы зависят от вида нагрузки и типа самих опор.
Шарнирно подвижная опора ( в нашей модели обозначена как «B») позволяет балке свободно перемещаться в горизонтальной плоскости и препятствует вертикальному перемещению, поэтому при любой нагрузке она имеет только вертикальную реакцию VB.
Шарнирно неподвижная опора крепится к балке, что препятствует её горизонтальному и вертикальному перемещению. При наличии сил, действующих на балку в горизонтальной плоскости, эта опора дает еще и горизонтальную реакцию. Однако в нашей модели все силы действуют поперечно балке, поэтому горизонтальная реакция опоры A всегда будет равна нулю. Вертикальную реакцию опоры A обозначим VA.
Уравнения равновесия
Как мы знаем из статики, все силы и моменты сил в неподвижной системе, уравновешены. Поэтому суммы сил и моментов в любой точке этой системы равны нулю.
Все силы при поперечной нагрузке на простую балку действуют параллельно оси Y, поэтому можно составить только два независимых уравнения равновесия для проекции сил и моментов на ось Y. Этого вполне достаточно для нахождения двух неизвестных реакций опор VA и VB.
При составлении уравнений у нас есть выбор:
Воспользуемся вторым способом, а первый оставим для проверки полученного результата.
Удобнее всего составлять уравнения для точек А и B, в которых находятся опоры:
Напомним, что моментом силы в определенной точке называется произведение силы F на кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы (плечо) l:
Исходя из этого, уравнения равновесия моментов в точках А и B для системы поперечных сил F1. Fn, действующих на балку приобретают вид:
Например, для системы сил, показанной на рисунке выше, уравнения равновесия можно записать следующим образом:
Составляя уравнения, мы исходили из того, что реакции обеих опор направлены вверх. При расчетах может получиться так, что реакция опоры окажется отрицательной. Это означает, что реакция такой опоры направлена вниз (сумма моментов сил, действующих на балку, пытается оторвать её от опоры).
Распределенная нагрузка
В расчетах, иногда требуется задать нагрузку, которая распределена определенным образом по участку длины a. Для вычисления реакций опор такую нагрузку можно заменить её равнодействующей силой. Точкой приложения такой силы считается центр масс распределенной нагрузки, а модуль вычисляется как интеграл от функции распределения нагрузки на заданном участке. Для простых функций модуль легко выразить через заданную интенсивность нагрузки.
В таблице ниже представлены формулы для модуля сосредоточенной равнодействующей силы и точек её приложения для всех видов распределенных нагрузок, поддерживаемых калькулятором:
| Нагрузка | Модуль | Точка приложения |
|---|---|---|
| Равномерная | 1/2 a | |
| Линейно убывающая | 1/3 a | |
| Линейно возрастающая | 2/3 a |
Сосредоточенный момент
- что такое отдышка при коронавирусе и как она проявляется у взрослых
- что такое покушение на мошенничество