Что такое функция эйлера

Функция Эйлера. Доказательство

Функция Эйлера, это функция, которая равна количеству натуральных чисел, меньших m и взаимно простых с m. Предполагается, что число 1 взаимно просто со всеми натуральными числами (и с единицею). Обозначается функция Эйлера греческой буквой φ.

Возьмем ряд натуральных чисел до m

Определим, сколько в этом ряду чисел, взаимно простых с m. Так как единица взаимно простое с единицею, то

Далее, число 2 взаимно просто с 1, тогда φ(2)=1, число 3 взаимно просто с 1 и 2, тогда φ(3)=2. Продолжая получим: φ(4)=2, φ(5)=4, и т.д.

Сформулируем следующие задачи.

Более общая задача имеет следующий вид:

Возьмем ряд натуральных чисел до m:

Исключим из ряда (1) все те числа, которые делятся на a₁. Это следующие числа

Их число равно . Исключим эти числа из ряда (1). Тогда останутся

(2)

числа, которые не делятся на a₁. Обозначим множество этих чисел через A₁.

Из чисел ряда A₁ нужно исключить все те числа, которые кратные a₂. Это те числа из ряда (1), которые делятся на a₂ и не делятся на a₁. Числа ряда (1), которые делятся на a₂ следующие:

.

Их количество равно .

Эти числа можно представить в виде ka₂, где k пробегает натуральные числа

.

(3)

Для того, чтобы ka₂ не делился на a₁ необходимо и достаточно, чтобы k не делился на a₁ (т.к. a₁ и a₂ взаимно простые числа). Нужно найти количество чисел из ряда (1), которые делятся на a₁ и исключить их из ряда (3). делится на a₁ т.к. m делится на a₁, m делится на a₂ и m делится на a₁a₂ (a₁, a₂ входят множителями в m). Задача по отношению числа та же, что и задача по отношению числа m, которое мы решили с помощью формулы (2). Из ряда A₁ нужно исключить числа, которые делятся на a₁. Тогда взяв вместо m число получим

.

(4)

(4) число тех чисел ряда A₁, которые не делятся на a₁ или это число тех чисел ряда (1), которые делятся на a₂ и не делятся на a₁.

Учитывая (2) и (4) получим число тех чисел ряда (1), которые не делятся ни на a₁, ни на a₂:

.

(5)

Обозначим множество этих чисел через A₂. Далее удалим из A₂ те числа, которые делятся на a₃. Это те числа из ряда (1), которые делятся на a₃ и не делятся на a₁ и a₂.

Числа ряда (1), которые делятся на a₃ следующие:

.

Их количество равно .

Эти числа можно представить в виде ka₃, где k пробегает натуральные числа

.

(6)

Для того, чтобы ka₃ не делился на a₁ и a₂ необходимо и достаточно, чтобы k не делился на a₁ и a₂ (т.к. a₃ и a₁ а также a₃ и a₂ числа взаимно простые). Нужно найти количество чисел из ряда (1), которые делятся на a₁ и a₂ и исключить из ряда (6). делится на a₁ и a₂, так как m делится на a₁, m делится на a₂ и m делится на a₁a₂a₃ (a₁, a₂, a₃ входят множителями в m). Задача по отношению числа та же, что и задача по отношению числа m, которое мы решили с помощью уравнения (5). Число тех чисел ряда (6), которые не делятся ни на a₁ ни на a₂ (или число тех чисел ряда (1), которые делятся на a₃ и не делятся ни на a₁, ни на a₂):

.

Тогда число тех чисел ряда (1), которые не делятся ни на a₁, ни на a₂, ни на a₃:

.

.

(7)

Все числа ряда (1), которые делятся на a_i+1, следующие:

,

Мы доказали следующую теорему:

(8)

Таким образом справедлива и следующая теорема:

определяется формулой (8).

Действительно. Всякое число, которое не делится ни на один из простых множителей, входящих в состав m является взаимно простым с m. Тогда учитывая теорему 1, получаем доказательство данной теоремы.

Рассмотрим численный пример.

Пример. Возьмем число 90. Числа, взаимно простые с 90 и меньше 90 следующие:

Таких чисел 24. Учитывая, что 90=2·3 2 ·5, для φ(m) мы находим

Мультипликативность функции Эйлера

Теорема 3. Если m₁ и m₂ числа взаимно простые, то

различные простые числа, входящие в состав m₁m₂, так как m₁ и m₂ взаимно простые числа, т.е. они не имеют общих делителей.

Справедливо и обратное. Всякое простое число входящее в произведение m₁m₂ должно совпадать с числом из ряда (9), так как это простое число входит множителем или в m₁, или в m₂.

Таким образом числа ряда (9) представляют множество всех простых чисел, входящих в произведение m₁m₂. Следовательно

Эта теорема справедлива и для любого числа сомножителей, если эти сомножители взаимно простые числа.

Обобщение функции Эйлера

Как мы уже видели, функция Эйлера φ(m) показывает, сколько в ряду

чисел взаимно простых с m.

Более общая задача состоит в следующем:

Задача 3. Дан ряд (10) и требуется найти число тех чисел, этого ряда, которые имеют с m наибольший общий делитель λ, причем m=nλ, т.е. λ является одним из делителей числа m.

Очевидно, что искомые числа находятся среди чисел

Для того, чтобы λ было наибольшим общим делителем чисел m=nλ и kλ из ряда (11), необходимо и достаточно, чтобы k и n были числами взаимно простыми. Следовательно, т.к. k принимает значения

то искомых чисел столько, сколько найдется чисел из ряда (12) взаимно простых с n. Число таких чисел равно φ(n) (Теорема 2).

Мы доказали следующую теорему:

Тогда φ(n₁) количество тех чисел, которые с m имеют наибольший общий делитель λ₁, φ(n₂) количество тех чисел, которые с m имеют наибольший общий делитель λ₂, и т.д.

Мы доказали следующую теорему:

Источник

Интересное и простое из комбинаторики. Функция Эйлера

Предисловие

Прежде всего хочу сказать, мне всего 14 лет. Я надеюсь, что информация, которой поделюсь, будет для кого-то интересна.
Речь пойдет о некоторых задачах комбинаторики.

Сколько вариантов расставить n предметов?

Способ №1

Способ №2

Факториал — количество способов расставить n предметов.
Факториал высчитывается перемножением чисел от 1 до n.
Обозначается n! (читать как факториал n).

Допустим, нам нужно узнать, сколько вариантов в расстановке 10 предметов. Умножаем: 1x2x3..x10
Получим: 10! = 3628800

Как из n предметов выбрать k предметов?

Способ №1

Допустим, вы — организатор лотереи. Из 10 участников вам нужно выбрать 2 победителя. Вы можете узнать количество способов сделать это.
Так же как и в случае с факториалом, можно посчитать вручную. Выбирать n предметов, пока не иссякнут все варианты.
Цитирую: но есть способ, который по своей простоте опережает приведенный ранее способ.

Способ №2

Число сочетаний — это количество способов из n предметов выбрать k предметов.
Обозначается так:

Высчитывается по формуле:
Итак, сколько же способов из 10 участников выбрать 2 победителя?

Числа Фибоначчи

Стоит отдать должное человеку, который «придумал» эти числа. Леонардо Пизанский. Думаю достаточно, чтобы Вы запомнили имя этого великого человека.

Приступим. Числа Фибоначчи применяются в Теории Чисел. Если сказать честно, я знаю не слишком много об этих числах.
Числа Фибоначчи — это последовательность чисел, в котором каждое последующее числовое значение равно сумме двух предыдущих. Первые два числа Фибоначии — единицы. Соответственно, 3-е число = 2.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946.

Еще раз повторюсь — я знаю не слишком много об этих числах. Если я еще не слишком вас утомил/отпугнул/надоел — идем дальше.

Функция Эйлера

В этом пункте я попытаюсь выложить все, что знаю об этом. Я потратил достаточно времени и сил, чтобы изучить эту, между прочим абсолютно простою вещь.

По правде говоря, я очень горжусь тем, что такой человек как Леонард Эйлер жил в России.

К делу. Есть три разных способа посчитать функцию Эйлера. На выбор одного из способов влияют некоторые факторы.
Функция Эйлера обозначается (читать как фи от n).

Способ №1

Увы, но этот способ применять следует для высчитывания функции простых чисел.
Например, функция Эйлера для 3 =

Способ №2

Данный способ следует применять если число можно представить как степень какого-то числа. Например, 9 — это
Посчитаем функцию для 9.


Получаем:

Способ №3

Если число нельзя представить как степень, но можно представить как два множителя — этот способ нам и нужен.
Тут немного сложнее. Нужно разложить число на два множителя, посчитать функцию для каждого из множителей и полученные результаты перемножить.
Также хочу отметить, что если число можно представить и как степень и как два множителя, то в преимуществе всегда степень какого-то числа (о как, в рифму).




Таким образом получаем:

Источник

Функция Эйлера

Содержание

Функция Эйлера [ править ]

Функция [math]\sigma(n)[/math] [ править ]

Функция [math]\sigma : \mathbb \to \mathbb [/math] определяется как сумма делителей натурального числа [math]n[/math] :

[math]\displaystyle\sigma(n) = \sum_d [/math]

В силу мультипликативности функции:

Функция [math]\tau(n)[/math] [ править ]

Функция [math]\tau: \mathbb \to \mathbb [/math] определяется как число положительных делителей натурального числа [math]n[/math] :

[math]\displaystyle\tau(n) = \sum_1 [/math]

[math]\displaystyle\tau(p^s) = s + 1 [/math]

В силу мультипликативности функции:

[math] \displaystyle \tau(n) = \prod_^(s_i + 1) [/math]

Функция [math]\varphi(n)[/math] [ править ]

В силу мультипликативности функции:

Малая теорема Ферма и теорема Эйлера [ править ]

Следствием теоремы Эйлера является малая теорема Ферма. У нее также есть доказательство без использования более общей теоремы Эйлера, однако его мы приводить не будем.

Различные свойства функции Эйлера [ править ]

Пусть [math](m,\,n)=d,[/math] тогда [math]m = m’d, \; n = n’d,[/math] причем в общем случае [math](m’,\,d) \neq 1[/math] и [math](n’,\,d) \neq 1.[/math] Поэтому можно записать:

Здесь первые [math]k[/math] делителей [math]d[/math] являются также делителями [math]m’,[/math] а последние [math]K-k[/math] делителей [math]d[/math] являются делителями [math]n’.[/math] Распишем:

В силу мультипликативности функции Эйлера, а также с учётом формулы

где [math]p[/math] — простое, получаем:

В первой строке записано [math]\varphi(m),[/math] во второй — [math]\varphi(n),[/math] а третью можно представить, как [math]\frac<\varphi(d)>.[/math] Поэтому:

[math]\varphi(m \cdot n) = \varphi(m) \cdot \varphi(n) \cdot \frac<\varphi(d)>[/math]

Применение теоремы Эйлера в других задачах [ править ]

Задача об ожерельях [ править ]

В ходе решения задачи мы приходим к формуле [math]|C| =[/math] [math] \dfrac <1>[/math] [math]\sum\limits_^ k^<\mathrm(i,n)>[/math]

Алгоритм [ править ]

Источник

Функция Эйлера

Формула произведения Эйлера

Доказательство этих формул зависит от двух важных фактов.

Значение фи для аргумента первичной мощности

Доказательство формулы произведения Эйлера

Это дает обе версии формулы произведения Эйлера.

Пример

На словах: различные простые делители числа 20 равны 2 и 5; половина из двадцати целых чисел от 1 до 20 делится на 2, остается десять; пятая часть из них делится на 5, в результате чего восемь чисел взаимно просты с 20; это: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.

Альтернативная формула использует только целые числа:

преобразование Фурье

Действительная часть этой формулы:

Сумма делителя

Свойство, установленное Гауссом [17], что

Формулу можно также получить из элементарной арифметики. [19] Например, пусть n = 20 и рассмотрим положительные дроби до 1 со знаминателем 20:

Поместите их в самые низкие сроки:

Обращение Мёбиуса, примененное к формуле суммы делителей, дает

Первые 100 значений (последовательность A000010 в OEIS ) показаны в таблице и на графике ниже:

Личность Менона

В 1965 г. П. Кесава Менон доказал, что

Формулы с золотым сечением

Применение экспоненциальной функции к обеим сторонам предыдущего тождества дает формулу бесконечного произведения для e :

Доказательство основано на двух формулах

Серии Ламберта производящей функцией является [28]

По словам Харди и Райта, порядок φ ( n ) «всегда почти n ». [29]

но поскольку n стремится к бесконечности, [31] для всех δ > 0

Фактически при доказательстве второй формулы неравенство

У нас также есть [20]

На самом деле, правда больше. [34] [35] [36]

Для среднего порядка имеем [22] [37]

В 1950 году Сомаяджулу доказал [39] [40]

В 1954 году Шинцель и Серпинский усилили это, доказав [39] [40], что множество

является плотным в положительных действительных чисел. Они также доказали [39], что множество

плотно в интервале (0,1).

Количество общих чисел до заданного предела x равно

Если считать по кратности, количество общих чисел до заданного предела x равно

Теорема Форда

Идеальные общие числа

Циклотомия

Криптосистема RSA

Гипотеза Лемера

Гипотеза Кармайкла

Как указано в основной статье, если существует единственный контрпример к этой гипотезе, должно быть бесконечно много контрпримеров, а самый маленький из них имеет не менее десяти миллиардов цифр в базе 10. [41]

» Disquisitiones Arithmeticae» переведена с латыни на английский и немецкий языки. Немецкое издание включает все работы Гаусса по теории чисел: все доказательства квадратичной взаимности, определение знака суммы Гаусса, исследования биквадратичной взаимности и неопубликованные заметки.

Источник