Что такое функция дирихле

17.12.202328.09.2023 admin 0 Comments

Функция Дирихле

Фу́нкция Дирихле́ — функция , принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число,

Фу́нкция Дирихле́ является всюду разрывной функцией; все точки разрыва — точки разрыва второго рода.

Функция Дирихле применяется в теории вероятностей и математической статистике.

Названа в честь немецкого математика Дирихле.

Содержание

Представление

Функция Дирихле принадлежит второму классу Бэра. То есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций. Однако, функцию Дирихле можно представить как двойной предел последовательности непрерывных функций:

Свойства

Периодичность

Функция Дирихле периодическая, её периодом является любое положительное рациональное число. Основного периода функция не имеет.

Непрерывность

Фу́нкция Дирихле́ является всюду разрывной функцией: во всякой окрестности каждой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа, и, следовательно, данная функция не будет иметь предела ни в одной точке области определения; все точки разрыва — точки разрыва второго рода.

Измеримость

Интегрируемость

Интеграл Римана

Интеграл Лебега

Интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю:

Полезное

Смотреть что такое «Функция Дирихле» в других словарях:

Бета-функция Дирихле — действительного аргумента x Бета функция Дирихле (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета функцией Каталана (Catalan beta function) … Википедия

Дирихле — Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (нем. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet; 13 февраля 1805, Дюрен, Французская империя, ныне Германия 5 мая 1859, Гёттинген, Ганновер, ныне Германия) немецкий математик, внёсший существенный вклад в… … Википедия

Дирихле Петер Густав Лежён — Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (нем. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet; 13 февраля 1805, Дюрен, Французская империя, ныне Германия 5 мая 1859, Гёттинген, Ганновер, ныне Германия) немецкий математик, внёсший существенный вклад в… … Википедия

Дирихле, Петер Густав Лежён — Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (нем. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet; 13 февраля 1805, Дюрен, Французская империя, ныне Германия 5 мая 1859, Гёттинген, Ганновер, ныне Германия) немецкий математик, внёсший существенный вклад в… … Википедия

Дирихле, Петер Густав Лежен — Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (нем. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet; 13 февраля 1805, Дюрен, Французская империя, ныне Германия 5 мая 1859, Гёттинген, Ганновер, ныне Германия) немецкий математик, внёсший существенный вклад в… … Википедия

Функция (математ.) — Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента … Большая советская энциклопедия

ФУНКЦИЯ — (лат. functio – исполнение) обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Гёте). Наука о функциях органов живых существ – физиология; специальная наука о функциях нервной системы – физиология органов… … Философская энциклопедия

Функция Мёбиуса — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году. Содержание 1 Определение … Википедия

Источник

Функция Дирихле и ее свойства

Описание сущности функции, которая была введена немецким математиком П.В. Дирихле как пример функции, свободной от аналитического задания значения. Характеристика и описание ряда ее свойств и области определения методами математического анализа.

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Сибирский Федеральный Университет

по математическому анализу

Функция Дирихле и ее свойства

Выполнила: студентка гр. М-26

Функция, принимающая значение 1, если аргумент рационален, и 0, если аргумент иррационален:

функция дирихле математический анализ

была введена немецким математиком П.В. Дирихле как пример функции, свободной от аналитического задания значения.

Функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке, так как в любой окрестности любой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа (а значит, как нули, так и единицы функции).

Также ни в одной точке вещественной оси для данной функции не существует производной.

Функция Дирихле служит примером функции, не интегрируемой в смысле Римана, но интегрируемой по Лебегу. Интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке может быть легко найден, он всегда равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

Остановимся на некоторых свойствах подробнее.

Функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке:

Аналогично можно показать отсутствие предела справа и слева.

Функция разрывна в каждой точке

По определению непрерывности D(x) непрерывна в точке а, если = D(a), но функция Дирихле не имеет предела, а следовательно разрывна в каждой точке.

Или по прямому определению разрывности: функция D(x) разрывна в точке а, если существует число е₀ > 0, что для любого д > 0 найдется точка х_д такая, что

Функция Дирихле интегрируема по Лебегу.

1. Никольский С.М. «Курс математического анализа», ФИЗМАТЛИТ, М., 2000.

Подобные документы

Характеры и L-функции Дирихле, функциональное уравнение. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость; тривиальные и нетривиальные нули. Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций. Обобщенная гипотеза Римана.

реферат [573,1 K], добавлен 15.06.2011

Формулировка и доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии (теорема Дирихле). Определение и основные свойства характеров. Суммы характеров и соотношение ортогональности. Характеры, L-функция Дирихле. Доказательство основных лемм.

курсовая работа [214,2 K], добавлен 12.08.2009

Рассмотрение примеров задач и теорем, доказываемых при помощи контрпримера. Применение терминов «производная» и «дифференцируемая функция». Построение немецким математиком Вейерштрассом первого примера непрерывной нигде не дифференцируемой функции.

курсовая работа [400,6 K], добавлен 07.10.2013

Простейшая разностная схема для задачи Дирихле: построение, аппроксимация и устойчивость. Описания метода установления. Анализ алгоритмов, реализующих метод установления: решение в виде конечного ряда Фурье, схема установления и переменных направлений.

курсовая работа [323,4 K], добавлен 25.11.2011

Изучение численно-аналитического метода решения краевых задач математической физики на примере неоднородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Численная реализация вычислительного метода и вычислительного эксперимента, особенности их оформления.

практическая работа [332,7 K], добавлен 28.01.2014

Определение условий сходимости положительного ряда и описание свойств гармонических рядов Дирихле. Изучение теорем сравнения рядов и описание схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда. Вывод признаков сравнения Даламбера, Раабе и Бертрана.

курсовая работа [263,6 K], добавлен 14.06.2015

контрольная работа [295,5 K], добавлен 24.03.2009

презентация [108,2 K], добавлен 21.09.2013

Общий обзор свойств функций, осмысление каждого свойства. Исследование функции на монотонность, ее наибольшее и наименьшее значения. Тестовое задание «Выпуклость функции». Примеры непрерывной функции D(f)=[-4; 6] и прерывной функции D(f)=(1; 7).

презентация [360,5 K], добавлен 13.01.2015

Решение первой задачи, уравнения Пуассона, функция Грина. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Постановка краевых задач. Функции Грина для задачи Дирихле: трехмерный и двумерный случай. Решение задачи Неймана с помощью функции Грина, реализация на ЭВМ.

курсовая работа [132,2 K], добавлен 25.11.2011

Источник

ДИРИХЛЕ ФУНКЦИЯ

— функция, равная единице в рациональных точках и нулю в иррациональных точках. Д. ф. задается формулой:

она принадлежит второму Бэра классу. Д. ф. не интегрируема по Риману на любом отрезке, но, будучи почти всюду равной нулю, интегрируема по Лебегу.

Лит.:[1] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974.

Смотреть что такое «ДИРИХЛЕ ФУНКЦИЯ» в других словарях:

ДИРИХЛЕ РЯД — функциональный ряд вида где а п комплексные коэффициенты; l п, 0 1 дзета функцию Римана. Ряды где х(п)… … Математическая энциклопедия

ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА — задача отыскания регулярной в области Dгармонич. функции u, к рая на границе Г области Dсовпадает с наперед заданной непрерывной функцией j. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптич. уравнения 2 го порядка, принимающего наперед… … Математическая энциклопедия

Функция — I Функция (от лат. functio совершение, исполнение) (философская), отношение двух (группы) объектов, в котором изменение одного из них ведёт к изменению другого. Ф. может рассматриваться с точки зрения следствий (благоприятных,… … Большая советская энциклопедия

ДИРИХЛЕ ХАРАКТЕР — (mod k) функция c(п)=c(п; k )на множестве целых чисел, удовлетворяющая условиям: Иными словами, Д. х. (mod k) это арифметич. функции, к рые не равны тождественно нулю, вполне мультипликативны и периодичны с периодом k. Понятие Д. х. ввел П.… … Математическая энциклопедия

Источник

ДИРИХЛЕ ХАРАКТЕР

(mod k) — функция c(п)=c(п; k )на множестве целых чисел, удовлетворяющая условиям:

Иными словами, Д. х. (mod k)- это арифметич. функции, к-рые не равны тождественно нулю, вполне мультипликативны и периодичны с периодом k.

Пусть — канонич. разложение k, п— целое взаимно простое с k,( п, k)=1; С=С ₀=1, если a=0 или a=1; С=2;

Для любых натуральных чисел п, l и k:

если c(п).— Д. х. (mod k), то комплексно сопряженная функция c(п).— также Д. х. (mod k);

При (l, k)= 1 справедлива формула

Доказательство этой гипотезы позволило бы решить ряд крупных проблем теории чисел.

Теория Д. х. лежит в основе теории Дирихле L-функций и является частным случаем общей теории характеров абелевых групп.

Лит.:[1] Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М.-Л., 1936; [2] Виноградов И. М., Избр. тр., М., 1952; [3] Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975; [4] Прах ар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [5] Чудаков Н. Г., Введение в теорию L-функций Дирихле, М., 1947; [6] Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; [7] Burgess D. А., «Тр. Матем. ин-та», 1973, х. 132, с. 203-205; [8] Лаврик А. Ф., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1971, т. 35, № 6, с. 1189-207.

Полезное

Смотреть что такое «ДИРИХЛЕ ХАРАКТЕР» в других словарях:

Характер (в математике) — Характер (или числовой характер, или характер Дирихле) по модулю k (где целое число) комплекснозначная периодическая функция χ(n) на множестве целых чисел со следующими свойствами: | χ(n) | = 1, если n взаимно просто с k, и χ(n) = 0 в противном… … Википедия

Характер (в математике) — Характер в математике, функция специального вида, применяемая в чисел теории и теории групп. В теории чисел Х. называют функцию c(n) ¹ 0, определённую для всех целых чисел n и такую, что: 1) c(nm) = c(n)c(m) для всех n и m, 2) существует… … Большая советская энциклопедия

Характер (теория чисел) — У этого термина существуют и другие значения, см. Характер. Характер (или числовой характер, или характер Дирихле) по модулю (где целое число) комплекснозначная периодическая функция на множестве целых чисел со следующими свойствами … Википедия

ДИРИХЛЕ ТЕОРЕМА — 1) Д. т. в теории диофантовых приближений: для любого действительного числа а и натурального Qсуществуют целые о и q, удовлетворяющие условию Дирихле принцип ящиков позволяет доказать и более общую теорему: для любых действительных чисел a1 … Математическая энциклопедия

Характер — I Характер (от греч. charakter отпечаток, признак, отличительная черта) в психологии, целостный и устойчивый индивидуальный склад душевной жизни человека, её тип, «нрав» человека, проявляющийся в отдельных актах и состояниях его… … Большая советская энциклопедия

Характер (теория групп) — Группа (математика) Теория групп … Википедия

Лежён-Дирихле, Петер Густав — Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле нем. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet … Википедия

ГЛАВНЫЙ ХАРАКТЕР — Дирихле, арифметический характер Хо определяемый условием где D любое заданное натуральное число. Через Г. х. определяются понятия первообразного и производного характеров (см. Дирихле характер). Н. Г. Чудаков … Математическая энциклопедия

Источник

Функция Дирихле

Фу́нкция Дирихле́ — функция D\colon\R\mapsto\ <0,1\>, принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число,

D(x) = \begin1, & x\in \mathbb Q, \\

Фу́нкция Дирихле́ является всюду разрывной функцией; все точки разрыва — точки разрыва второго рода.

Функция Дирихле применяется в теории вероятностей и математической статистике.

Названа в честь немецкого математика Дирихле.

Содержание

Представление