Что такое фракталы в музыке

Самая бесполезная статья или что такое музыкальные фракталы

Дисклеймер

Часть первая: молниевая капуста

Если попытаться сказать, что такое фракталы, не влезая в какие-либо математические подробности, то я бы сказал, что это любая структура, которая остаётся подобной самой себе при масштабировании.

Самый простой пример, который встречается в природе — кочанчик капусты сорта Романеско. При увеличении, как видно выше на фотографии, рисунок фактуры поверхности не изменяется, а лишь уменьшается в масштабе, иными словами поверхность имеет фрактальную структуру(Сколько не приближай одни и те же пупырышки на пупырышках).

Другой явный пример — такое природное явление, как молния. Её дуги разветвляются при приближенном рассмотрении, образуя всем знакомые узоры.

Этот эффект хорош виден при пропускании тока по деревянной столешнице.

Естественно, вокруг нас очень много фракталов, которые мы обычно не замечаем: начиная от ветвей обычных деревьев, заканчивая дыхательной системой человека, в основе всех этих систем лежит фрактальная структура.

Если не трогать естественные науки, где математическая теория фракталов повсеместно применяется для описания различных процессов, то можно отметить следующие области её применения :

Фракталы облегчают жизнь графическим дизайнера, работающим с компьютерной графикой, особенно в видеоиграх, так как алгоритмы на основе фракталов позволяют автоматически генерировать такие объекты как деревья, кусты, горные ландшафты etc.

Ну а ещё есть куча программных генераторов фракталов, которые позволяют получать очень необычные изображения.

Часть вторая: Ритм=Мелодия=Гармония

Что такое фрактал уже в целом понятно, но тут возникает вопрос, а что такое музыкальный фрактал, и как вообще такое представить? И тут нам нужно разобраться ещё с некоторыми вещами и несколькими не самыми очевидными концепциями, чтобы всё встало на свои места.

Пожалуй начнём по порядку, с простого и с примерами. Любой звук который мы слышим — микс из различных частот наложенных друг на друга(иными словами — шум).Про шумы разговаривать не будем, хотя они тоже бывают разные(рисунок ниже).

Но что есть частота?

Например частота ноты ля — 440 Гц, это значит что, например, струна должна совершить 440 колебаний за 1 секунду.
А для этого она должна быть определённой длины и толщины. Тогда мы и получим нужную нам ноту

Для хорового исполнения используется камертон — при ударе о поверхность он колеблется с частотой ноты ля(А).

Чтобы больше прочувствовать эти частоты вспомните комара, который бессовестно жжужит над вашим ухом, он колеблет воздух вокруг крыла тоже с определённой частотой, явно большей чем нота ля, то бишь быстрее чем 440 раз в секунду.

Итак, у ноты ля 440 Гц,а что другие ноты? У других нот так же есть свои частоты, но они не являются целыми числами(что не так удобно).

В заголовке второй части я использую слово ритм( он обычно подразумевает чередование различных длительностей звуков), в данной статье я имею ввиду под этим понятием количество ударов за секунду одинаковой продолжительности, как аналог понятия частота, но более часто употребляемый и интуитивно понятный.

Таким образом вот и первый вывод : ритм повторений(читай частота) определяет высоту звука. Мелодия это совокупность звуков, а если мы каждый звук можем получить используя различный ритм(частоту), то ритм=мелодия.

Окей, но что-то как-то некрасиво, все эти нецелые числа, и всё ещё ничо не понятно, и при чём тут гармония?

Под гармонией в том смысле, в котором написано в заголовке второй части, понимаются интервалы(2 ноты) и аккорды(3 ноты и более)и то как они строятся и соотносятся между собой. Современная теория музыка не существует без гармонии, и да, гармония тоже равно ритм.

Давайте преобразуем табличку с частотами(которая выше)в нечто более удобоваримое.

В этой таблице ноты показаны отношения частот друг к другу. Если проверить(из предыдущей таблицы) то До(С)=261,626 ; Ре(D)=293,665 а отношение их 293,665/261 = 9/8 или как 27/24,что и видно под столбцом D. Так соответственно и остальные.

Но почему 24, а не другое число принято за базовое, почему не 25 или ещё какое-нибудь?

тут обычная математика: 24 это минимальное число, которое в соотношениях, написанных под каждой из нот(частот) даёт целое значение следующей частоты.

Например если бы базовое значение было бы 25, то нота ре(D),её базовое значение частоты составляло бы (25*9)/8=28,125; что как бы не удобно, потому что мы хотели уйти от нецелых чисел. Поэтому и было принято базовое значение частоты 24, из него получаются целые числа для других нот первой октавы( это простое удобство).

И так дальше по таблице можно сыграть любой интервал и аккорд, пользуясь лишь соотношением частот.

Этот трюк можно показать с помощью программного обеспечения типа Ableton Live

Источник

Организованный хаос фрактальной музыки

Организованный хаос фрактальной музыки

La фрактальная музыка Он существует между математическими уравнениями и теорией хаоса.

Хотя есть теории, которые определяют фрактальность в музыкальных формах на протяжении вековэто один характерная музыкальная форма двадцатого века.

Интерес к теория хаоса, алгоритмическая математика и развитие технологий, способствовал взрыву фрактальной музыки, как мы ее знаем.

Узоры в фрактальной музыке

Ключ в фрактальной музыке паттерны самоподобия.

Мы можем различить идентичные сходства и нелинейные фракталы, из которых обычно строится фрактальная музыка.

Бенуа Мандельброт, польский математик, является ключом к пониманию фрактальная геометрия Это относится к музыке.

Потому что с помощью компьютеров он обнаружил фрактальные структуры, присутствующие в природе.

Композиторы любят Харлан Дж. Братья Они использовали ансамбль Мандельброта и применили его к фрактальной музыке.

Композиторы в фрактальной музыке

В фрактальной музыке мы можем найти композиторов, которые используют эти математические принципы для создания.

Например бразилец Дмитрий Корманн, что через синтезаторы и программы, «Переписать» визуальные паттерны в звуки.

Другим важным композитором был Испанский Франциско Герреро Марин.

Он экспериментировал с фрактальная музыка в оркестровых композициях в 1990 десятилетие.

На творческом пути этим композиторам приходилось разрабатывать программы для создания своих музыкальных произведений, работать с алгоритмами, позволять последовательностям переносить их в неожиданные места.

Это был случай Фил Томпсон и его Организованный ХаосКто разработал программу Gingerbread, с помощью которого создаются фрактальные композиции.

Таким образом, многие музыканты, работающие в области фрактальной музыки, приближаются к процессу, как к открытию.

И его процесс уравновешивает работу ученого с работой художника.

Вы также можете быть заинтересованы в:

Источник

Матемузыка 2: музыка, биология, язык, математика

Хотите услышать универсального «музыкального компаньона» и «самую некрасивую пьесу в истории музыки»? Кстати, они были созданы с помощью одного и того же метода. Эксперт по истории и эстетике электронной музыки Виктор Черненко рассуждает о тайнах музыкальной красоты, переплетении музыки, математики, языка и биологии.

Zillion продолжает цикл материалов о математизированной музыке. В прошлый раз в статье «Как писать музыку с помощью математики?» эксперт по истории и эстетике электронной и авангардной музыки Виктор Черненко рассказал о сериализме, додекафонии и нововенцах, интуитивной и стохастической музыке, ключевых композиторах-авангардистах, хаосе и случайности в музыке. На сегодняшнем «уроке» Виктор расскажет о генеративной и фрактальной музыке, «самой некрасивой пьесе в истории музыки» и удивительном переплетении таких, на первый взгляд, разных областей, как музыка, язык, математика и биология.

Виктор Черненко

Композитор, исполнитель, программист. Занимается экспериментальной электронной музыкой, использует собственные разработки, сделанные в программных средах Max/MSP и Puse Date.
Обучался в Школе cовременного искусства при Российском государственном гуманитарном университете (РГГУ), в Студии электронной музыки при Московской государственной консерватории (Термен-центр). Принимал участие в фестивале «Абракадабра» (2007), в спектаклях Акусматического театра на Фестивале науки в МГУ (2008), художественных акциях в Музее Маяковского, проектах Государственного центра современного искусства (ГЦСИ), проекте «Фабрика» и др. Инсталляция Виктора Черненко «Жизнь как частный случай дискретных клеточных автоматов» демонстрировалась в 2009 году в Екатеринбургском филиале Государственного центра современного искусства. Выступает со своим проектом Acousmatist, также является участником Оркестра лэптопов Термен-центра. Вел серию семинаров по использованию сред визуального программирования для музыкантов в Термен-центре московской консерватории. Публикует статьи по истории и эстетике электронной музыки. Сотрудничает с арт-движениями LoLiEl и SoundArtist. Виктор Черненко онлайн: Soundcloud.

Генеративная музыка

В 1960-х годах в среде лингвистов были очень популярны генеративные модели грамматик. Для исследования разнообразия мировых языков было предложено раскрыть закономерности порождения высказываний. Генеративные модели представляют собой правила замен, которые применяются к некоему набору «слов», составленных из конечного набора символов («алфавита»). При этом алфавитом можно назвать набор любых символов, в том числе и нот или, например, обозначений частей музыкальной формы. Контекстно-свободные грамматики предоставляют композитору возможность порождать произведения не только на уровне нот, но и на уровне формы. Музыкальный синтаксис, как наиболее легко «наблюдаемый» уровень фактуры, провоцирует на применение в композиции порождающих грамматик. Дело в том, что эти лингвистические концепции обращали мало внимания на значение слов, а в музыке значение легко может быть отделено от формальной стороны. Есть ли изобразительная и повествовательная потенция у музыки и как ее найти – отдельная и очень трудная тема, сопровождаемая многими недоказуемыми утверждениями и произвольными интерпретациями. Музыкальная форма, морфология и фактура музыкального произведения, достаточно удобно порождаемые с применением контекстно-свободных грамматик, доступнее для анализа, с ними намного проще работать. В некотором смысле такое применение первоначально лингвистических идей лежит на поверхности и поэтому пользуется большой популярностью и известностью в среде музыкантов-экспериментаторов.

L-cистемы в природе. В их основе лежит фрактальный принцип: каждая часть предмета, если мы рассмотрим его пристально, похожа на весь предмет целиком.

Аристид Линденмайер (Aristid Lindenmayer)

В 1968 году венгерский биолог и ботаник Аристид Линденмайер предложил математическую модель для изучения простых многоклеточных организмов. Позднее она была расширена и используется для моделирования таких сложных ветвящихся структур, как деревья и цветы.

Треугольник Серпинского. Фото: Sebastian Lange

Клеточные автоматы в музыке, математике и биологии

При использовании алеаторики (стохастических методов) в музыке одной из наиболее интересных альтернатив полной непредсказуемости является ее ограничение несколькими альтернативами, которые выбираются случайным образом. (Слово «алеаторика» происходит от латинского alеa – «игра в кости, случайность, жребий». Это метод музыкальной композиции с незакрепленным звуковым текстом, полный или частичный отказ композитора от жесткого контроля над музыкальным текстом либо даже устранение самой категории композитора-автора в традиционном смысле. Как самостоятельный способ сочинения музыки алеаторика оформилась в XX веке.) Такие методы, как клеточные автоматы и марковские цепи, используются при генерации разных аспектов музыкальной формы и фактуры. Цепь Маркова – это стохастическая система, текущее состояние которой зависит от предыдущих ее состояний. Клеточные автоматы представляют собой множество элементов, каждому из которых приписывается набор конечного количества состояний, и эти состояния могут переходить друг в друга по правилам, заранее жестко не определенным, находящимся в постоянной конкуренции. Вариантов сочетаний параметров конечное количество, случайный процесс влияет только на ограниченное их число. Остальные параметры композиции могут быть жестко детерминированы или получены с применением других концепций.

Пример. Закодируем в некоторых состояниях длительности нот – половинную, четверть и восьмую. Правила перехода могут выглядеть так: из восьмой с вероятностью 60% мы переходим к половинной, с вероятностью 30% – к четверти, и с вероятностью 10% – к восьмой. С использованием генератора случайных чисел можно получать по этой схеме последовательности нот определенного качества. Меняя процентные характеристики этой генеративной схемы, можно изучать зависимость восприятия ритма от соотношения в нем коротких и длинных длительностей.

В качестве примера использования клеточных автоматов в экспериментальном мультимедийном искусстве можно привести инсталляцию Виктора Черненко «Жизнь как частный случай дискретных клеточных автоматов».

Инсталляция построена на визуализации и сонификации (переводе визуальной информации в звук) широко известного примера использования клеточных автоматов – игры «Жизнь», изобретенной Джоном Конвеем в 1970-х годах. Она представляет собой эволюцию системы «клеток» из некоего первоначально заданного состояния в соответствии с несколькими квазибиологическими правилами: клетка погибает от перенаселения, когда вокруг слишком много других клеток, или от одиночества – в противоположном случае. В данной инсталляции начальное состояние популяции задается грубо дискретизованным кадром, случайным образом получаемым с видеокамеры, направленной на зрителей.

Фрактальная музыка

Еще одной весьма интересной математической темой музыки является упомянутая фрактальная геометрия.

Фрактал является результатом применения так называемого правила самоподобия: каждая часть предмета похожа на весь предмет целиком. Один из самых простых и вместе с тем наглядных примеров самоподобия – треугольник Серпинского: внутри него расположено еще несколько треугольников, в которые, в свою очередь, вписано еще несколько и т. д. Этот принцип можно легко визуализировать в домашних условиях, поставив друг напротив друга два зеркала и заглянув в одно из них. Бесконечный лабиринт, образуемый взаимными отражениями одной и той же уменьшающейся картинки, не прекращается, а просто исчерпывается разрешающая способность нашего зрения.

Фрактальный метод применим к разнообразному материалу, как фигуративному (типа рисунков), так и к звуковым построениям. Основным способом получения звуковых материалов с помощью фрактальной методики является генерация изображений с их дальнейшим переводом в звуковую область по некоторым правилам, например, с помощью привязки фигуры к условной сетке координат, одним из измерений которой будет высота звука, а другим – длительность нот. Такая процедура носит название сонификации. Программы типа Metasynth (разработана в парижском Центре экспериментальной музыки IRCAM ) или первый в мире графический синтезатор АНС (изобретен в 1960-х годах советским инженером Евгением Мурзиным) могут без труда переводить фрактальные изображения непосредственно в звуковой спектр.

Фрактальная геометрия – один из многих примеров получения сложности с помощью простых манипуляций простым материалом. Адепты применения фракталов очень часто ссылаются на схожесть полученных результатов с природными формами. Заметим, архитектор и композитор Янис Ксенакис (см. «Как писать музыку с помощью математики?») в пояснении своей концепции стохастической музыки тоже прибегал к ссылкам на природные явления, такие как звуки дождя или текущей воды и пение цикад. Подражание природе всегда рассматривалось как влиятельный эстетический концепт, во многом в связи с высоким статусом теории подражания и отношением к природе как к творению высшего существа. Позднее эти идеи были переосмыслены Жан-Жаком Руссо в утверждение о сверхценности естественного. Однако из-за крайней степени абстрактности музыки как искусства возникает вопрос: а что же такое естественность в музыке? Что более естественно: самое близкое родство или самое далекое, и какие из этих отношений максимально адекватно отражают естественность, если мы принимаем ее как воплощение красоты? Например, в традиционной музыке малосекундовые отношения между нотами (как в паре си бекар – до) считаются наименее родственными. В то же время малые секунды входят в самое классическое разрешение в тонику (через доминантсептаккорд), придавая ему острое тяготение в тоническую терцию. Получается, что самое «некрасивое» оказывается самым ярким и естественным средством на пути к «красоте», что опять возвращает к вопросу о природе эстетического. Также экспериментирующие композиторы нередко применяют метод «доказательства от противного», то есть пытаются понять, что такое «некрасивое» и какие средства подходят для его создания. Это приводит к довольно парадоксальным результатам.

Красота в музыке: теория паттернов, повторяемость и симметрия

Норберт Хербер (Norbert Herber)

Интересный момент: математик Скотт Рикард (Scott Rickard) заявил, что ему удалось сочинить самую некрасивую пьесу в истории музыки, используя как раз принцип отсутствия повторений в звуковысотном материале. Вообще говоря, это один из самых важных вопросов композиции и теории восприятия: повторность – это результат восприятия или его условие? Какими принципами пользуется мозг при анализе материала, получаемого от органов восприятия, и насколько свободно или, наоборот, «математически» точно он трактует подобия и квазиструктурные образования?

При рассмотрении такого не самого сложного понятия, как фрактал, возникает целый ряд интереснейших тем. Помимо проблематизации соотношений между понятиями красоты, мимесиса и естественности можно также упомянуть нетривиальный вопрос о сущности и множественности понятий красоты, а также об их сосуществовании в современном искусстве. Возможно, имеет смысл говорить о «полиэстетике», по аналогии с понятиями «политональность», «полимодальность» и прочими подобными им. (Мимесис – один из основных принципов эстетики, в самом общем смысле – подражание искусства действительности.)

Музыкальное вдохновение: теория групп, изоморфизм, интуиционизм

Обычно упомянутыми концептами исчерпывается разговор о математических истоках музыкального вдохновения. Это не лишено смысла: математика за пределами школьного курса, как и любая другая область знаний, предполагает погруженность в материал в гораздо большей мере, чем может позволить себе непрофессионал. Когда сочинять музыку, если по-настоящему заниматься изучением математики?

Однако существуют элементарные вещи, которые обычно проходят мимо внимания музыкантов. Это касается, прежде всего, теории групп, в которой как раз изучаются поведение абстрактных множеств и операции над элементами этих множеств. Степень абстракции позволяет без особенных затрат применять выводы теории групп непосредственно в музыкальной практике, если рассматривать части музыкальной ткани (от ноты и спектра до частей пьес и целых произведений) как элементы групп, над которыми в процессе сочинения происходят некоторые операции. К тому же понятие изоморфизма, «перевода» соотношений между элементами одной группы на «язык» других групп, способно помочь в понимании процессов сонификации, а также построении аналогий с различными элементами музыкального произведения, например, ритмом и звуковысотностью. В качестве источника вдохновения для композиторов также следует упомянуть такое математическое направление, как интуиционизм. Он основывается на интуитивной убедительности и возможности проведения мысленного эксперимента, связанного с доказываемым суждением.

Источник

Созерцание великого фрактального подобия

(с) «Галактика галактик»

Фракталы — не просто красивое природное явление. Согласно проведенным исследованиям, рассматривание фрактальных структур на 60 % повышает стрессоустойчивость, измеряемую на основе физиологических показателей. При созерцании фракталов в лобной коре головного мозга всего за одну минуту увеличивается активность альфа-волн — как во время медитации или при ощущении легкой сонливости.

Неудивительно, что фрактальный биодизайн оказывает на человека умиротворяющее воздействие. Нам нравится смотреть на облака, на языки пламени в камине, на листву в парке… Как это работает? Ученые предполагают, что естественный ход поисковых движений наших глаз — фрактальный. При совпадении размерности траектории движения глаз и фрактального объекта мы впадаем в состояние физиологического резонанса, за счет чего активизируется деятельность определенных участков мозга.

Но не все фракталы одинаково полезны. В данной статье расскажем о фрактальной размерности и о её влиянии на здоровье.

Биофракталы

(с)

Примеры фракталов в природе встречаются повсеместно: от ракушек до сосновых шишек. Каждый фрактал имеет математическую размерность D. Для человека наиболее полезны фракталы с размерностью 1,3—1,5, и большинство фрактальных объектов, созданных природой, имеют именно такую размерность. А глаз человека эстетически «настроен» на восприятие как раз таких, встречающихся в природе фракталов.

Прекрасным примером фракталов в природе являются деревья. Фракталы можно обнаружить на каждом уровне лесной экосистемы — от семян и сосновых шишек до ветвей и листьев. На иллюстрации выше запечатлена «застенчивая крона» — явление, когда кроны деревьев не соприкасаются, формируя локальные участки лесного полога.

С биологической точки зрения такое расположение крон объясняется естественным отбором — листья расположены как можно дальше друг от друга, чтобы максимизировать доступ к ресурсам, особенно к солнечному свету для фотосинтеза.

Итальянская капуста романеско имеет сверхэффективную конструкцию, позволяющую максимизировать воздействие солнечного света и транспортировать питательные вещества по всей клеточной структуре растения.

Однако размерность этой капусты — 2,66. Вообще, дробная размерность является ключевой особенностью фракталов. При этом большинство из них находится в плоскости между линией (размерность 1) и двухмерной поверхностью (размерность 2). Чем выше показатель, тем больше движение в сторону трехмерных объектов (размерность 3).

Компьютерные игры

Трехмерные фракталы — одни из самых редких в природе. Гораздо проще встретить их в виртуальной реальности. Например, в игре Marble Marcher — уникальной аркаде, где нужно прокатить шар к цели в пространстве, созданном единым всеобъемлющим алгоритмом. Практически все, что вы увидите в игре, создано не дизайнерами, а чистой математикой.

Yedoma Globula — это 3D-песочница на самописном движке, в которой можно исследовать процедурно создаваемые фрактальные ландшафты.

Фрактальные формулы можно использовать в компьютерной графике для создания реалистичных гор, рек, лесов и облаков. Игра Everything пошла гораздо дальше: в ней помимо визуальной составляющей в системообразующей части геймплея использовано фрактальное подобие. Тут фактически нет NPC-персонажей. Вы можете начать игру в образе свиньи, которая бродит по зеленым склонам и встречает дуб, а затем стать дубом, который отправится в самостоятельное путешествие.

Гаджеты

Использовать фракталы как «что-то полезное» можно не только в компьютерных играх или для релаксации. Именно фракталы подсказали способ уменьшения размера антенн для сотовых телефонов. Фрактальная геометрия расширяет способность создавать новые, более практичные устройства.

Сейчас фракталы используются в новом поколении спутниковой связи, в устройствах IoT и других проектах приема, передачи и преобразования радиоволн.

Архитектура

Фракталы можно использовать даже неосознанно. На фото выше изображен фрагмент купола иранской мечети. А здесь вы найдете множество фотографий потолков школ, культурных и религиозных сооружений в Иране, которые демонстрируют невероятно сложные фрактальные рельефы и мозаики, декорирующие изысканные архитектурные элементы.

Храм Деви Джагадамби в Кхаджурахо — отличный пример фрактальной архитектуры. Индийские и многие другие храмы Юго-Восточной Азии имеют фрактальную структуру: главная башня окружена башнями меньшего размера, те в свою очередь — еще более маленькими башнями. И так до восьми (а порой и больше) уровней, представляющих различные аспекты индуистского мифологического пантеона.

Фракталы в архитектуре — не уникальное изобретение одной части света. Сложное убранство готической, ренессансной и барочной архитектуры, особенно выраженное в соборах, часто демонстрирует фрактальное копирование и масштабирование на нескольких уровнях. Характерное для европейской архитектуры с конца XII в. переплетение арок скорее имело не эстетическое, а практическое значение: оно было разработано для укрепления окон и стен против давления ветра.

С конца XX века фрактальную геометрию использовали осознанно для создания интересных и приятных глазу фасадов. На фото — здание одного из самых сложных в архитектурном плане комплексов, расположенное в мельбурнском городском районе (Австралия). В комплексе объединены культурные, рекреационные и коммерческие проекты.

Опасные фракталы

Большинство фрактальных изображений, генерируемых математическими, естественными и человеческими процессами, обладают общим эстетическим качеством, основанным на визуальной сложности. Участники тестов визуального восприятия предпочитают фракталы именно естественного происхождения с размерностью 1,3—1,5. Для примера: волны и облака имеют размерность 1,3, береговая линия — 1,05.

А что, если увеличить размерность? Получившийся объект не всегда будет приятно разглядывать. На иллюстрации выше изображена картина распределения электрического разряда с размерностью 1,75, известная как фигура Лихтенберга, созданная высоковольтным электрическим разрядом на непроводящем материале.

Еще один отталкивающий объект — фрактальный продукт кристаллических структур с размерностью 1,8, сфотографированный через микроскоп.

Демосцена & софт

Пожалуй, нигде так красочно не исследовали мир фракталов, как в демосцене. Hartverdrahtet — достойный победитель конкурса демосцены 2012 года по 4-килобайтным файлам. Автор, Demoscene Passivist, говорит, что для создания демо с процедурно генерируемыми фрактальными ландшафтами потребовалось около двух месяцев.

А вот один из лучших проектов с фрактальными эффектами в демосцене. К сожалению, качество демонстрационного видео крайне плохое (из-за давности лет), но демо можно скачать и запустить на компьютере.

Для создания подобных или других фрактальных миров особых ухищрений не требуется. Есть несколько отличных программ, с помощью которых вы сможете самостоятельно изучать особенности фрактальной вселенной.

XaoS Open Source Project. Бесплатный, открытый, кроссплатформенный инструмент для масштабирования и изучения множества Мандельброта и десятков других фракталов.

JWildfire. Еще одна кроссплатформенная (в том числе с мобильной версией) программа, основанная на Java с открытым исходным кодом, для обработки изображений. Она известна в основном своим сложным генератором пламенных фракталов.

Mandelbulber | Mandelbulb3D. Превосходные бесплатные инструменты для создания трехмерных фракталов, таких как устрашающая Оболочка Мандельброта, загадочная «коробка» Мандельбокс и др. Mandelbulber несколько более функционален и быстр, но Mandelbulb3D чуть проще в использовании.

По ссылке вы найдете множество других программ.

Источник