Что такое фокус гиперболы

Гипербола и её свойства

Гипербола и её форма.

Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac>>-\frac>>=1.\label
$$

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы \(|x| \geq a\), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины \(2a\) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами \((a, 0)\) и \((-a, 0)\), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа \(a\) и \(b\) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Рис. 8.6. Гипербола.

Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.

Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.

Числитель дроби \(ab/v\) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при \(k=0\). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина \((a, 0)\). С ростом \(k\) знаменатель убывает, и \(x\) растет, стремясь к бесконечности, когда \(k\) приближается к числу \(b/a\). Прямая \(y=bx/a\) с угловым коэффициентом \(b/a\) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то \(k\) будет убывать, \(k^<2>\) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом \(-b/a\).

К прямой \(y=-bx/a\) относится все, что было сказано о \(y=bx/a\): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

Прямые с уравнениями \(y=bx/a\) и \(y=-bx/a\) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.

Источник

Гипербола:

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек абсолютное значение разности расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение гиперболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 31. Вывод уравнения гиперболы.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению, для гиперболы имеем Из треугольников по теореме Пифагора найдем соответственно.

Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем неизвестные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Получим Разделив все члены уравнения на величину получаем каноническое уравнение гиперболы: Для знака “+” фокусы гиперболы расположены на оси Ох, вдоль которой вытянута гипербола. Для знака фокусы гиперболы расположены на оси Оу, вдоль которой вытянута гипербола.

Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то ей принадлежат и симметричные точки и следовательно, гипербола симметрична относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии гиперболы (Рис. 32). Найдем координаты точек пересечения гиперболы с координатными осями: т.е. точками пересечения гиперболы с осью абсцисс будут точки т.е. гипербола не пересекает ось ординат.

Рис. 32. Асимптоты и параметры гиперболы

Определение: Найденные точки называются вершинами гиперболы.

Докажем, что при возрастании (убывании) переменной х гипербола неограниченно приближается к прямым не пересекая эти прямые. Из уравнения гиперболы находим, что При неограниченном росте (убывании) переменной х величина следовательно, гипербола будет неограниченно приближаться к прямым

Определение: Прямые, к которым неограниченно приближается график гиперболы называются асимптотами гиперболы.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы

Из определения эксцентриситета гиперболы следует, что он удовлетворяет неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму гиперболы. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения мнимой полуоси гиперболы к действительной полуоси Если эксцентриситет и гипербола становится равнобочной. Если и гипербола вырождается в два полубесконечных отрезка

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы, если мнимая полуось b = 5 и гипербола проходит через точку М(4; 5).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся каноническим уравнением гиперболы, подставив в него все известные величины:

Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Пример:

Решение:

Для определения координат фокусов и вершин эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: или Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Итак, вершины эллипса расположены на оси и на оси Так как то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Согласно условию задачи (см. Рис. 33):

Рис. 33. Параметры эллипса и гиперболы

Вычислим длину мнимой полуоси Уравнение гиперболы имеет вид:

Гипербола в высшей математике

Решая его относительно , получим две явные функции

или одну двузначную функцию

Функция имеет действительные значения только в том случае, если . При функция действительных значений не имеет. Следовательно, если , то точек с координатами, удовлетворяющими уравнению (3), не существует.

При получаем.

При каждому значению соответствуют два значения , поэтому кривая симметрична относительно оси . Так же можно убедиться в симметрии относительно оси . Поэтому в рассуждениях можно ограничиться рассмотрением только первой четверти. В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36).

Кривая, все точки которой имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (3), называется гиперболой.

Гипербола в силу симметрии имеет вид, указанный на рис. 37.

Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы; на рис. 37 они обозначены буквами и .

Часть гиперболы, расположенная в первой и четвертой четвертях, называется правой ветвью, а часть гиперболы, расположенная во второй и третьей четвертях, — левой ветвью.

Рассмотрим прямую, заданную уравнением . Чтобы не смешивать ординату точки, расположенной на этой прямой, с ординатой точки, расположенной на гиперболе, будем обозначать ординату точки на прямой , а ординату точки на гиперболе через . Тогда , (рассматриваем только кусок правой ветви, расположенной в первой четверти). Найдем разность ординат точек, взятых на прямой и на гиперболе при одинаковых абсциссах:

Умножим и разделим правую часть на

Будем придавать все большие и большие значения, тогда правая часть равенства будет становиться все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Следовательно, разность будет приближаться к нулю, а это значит, что точки, расположенные на прямой и гиперболе, будут сближаться. Таким образом, можно сказать, что рассматриваемая часть правой ветви гиперболы по мере удаления от начала координат приближается к прямой .

Вследствие симметрии видно, что часть правой ветви, расположенная в четвертой четверти, будет приближаться к прямой, определяемой уравнением . Также кусок левой ветви, расположенный во второй четверти, приближается к прямой , а кусок левой ветви, расположенный в третьей четверти, — к прямой .

Прямая, к которой неограниченно приближается гипербола при удалении от начала координат, называется асимптотой гиперболы.

Таким образом, гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями (рис. 37).

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Что такое гипербола

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие гиперболы

Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:

, где a и b — положительные действительные числа.

Кстати, канонический значит принятый за образец.

В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.

Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.

Вспомним особенности математической гиперболы:

Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:

Чтобы получить «единицу» в правой части, обе части исходного уравнения делим на 20:

Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).

В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.

Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения

на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:

— определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);

— определяет нижние дуги гиперболы.

Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:

Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.

Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.

Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.

Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.

Мнимая полуось гиперболы — число b.

В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.

Форма гиперболы

Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.

Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.

Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.

Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.

Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.

Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.

Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.

Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.

Фокальное свойство гиперболы

Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).

Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:

Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:

Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:

Запишем это уравнение в координатной форме:

Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:

, т.е. выбранная система координат является канонической.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.

ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.

Директориальное свойство гиперболы звучит так:

Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.

Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие

можно записать в координатной форме так:

Построение гиперболы

Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.

Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.

В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:

Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:

Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.

По определению эксцентриситет гиперболы равен

Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.

Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.

Источник