Что такое фиктивная переменная

Фиктивная переменная

Фиктивная переменая (англ. dummy variable ) — качественная переменная, принимающая значения 0 и 1, включаемая в эконометрическую модель для учёта влияния качественных признаков и событий на объясняемую переменную. При этом фиктивные переменные позволяют учесть влияние не только качественных признаков принимающих два, но и несколько возможных значения. В этом случае добавляются несколько фиктивных переменных. Фиктивная переменная может быть также индикатором принадлежности наблюдения к некоторой подвыборке. Последнее можно использовать для обнаружения структурных изменений.

Содержание

Моделирование бинарной переменной

Пусть необходимо определить влияние некоторой качественной переменной z, принимающей два возможных значения. Обозначим эти возможные значения A и B для определенности. Тогда такой переменной можно поставить в соответствие следующую фиктивную переменную

Пусть исходная модель имеет вид

Если добавить переменную d в модель, то получим

Тогда при значимом коэффициенте при d получаем две модели для разных значений качественного признака, различающиеся на фиксированный сдвиг (разная константа):

Однако, качественный признак может влиять и на параметры зависимости от факторов x. В этом случае необходимо строить модель:

Таким образом, здесь в модели участвует не только переменная d, но и переменная dx. Это позволяет строить потенциально две разные модели для разных значений качественного признака:

Моделирование многозначного качественного признака

Пусть имеется признак, который принимает несколько возможных значений. Общее правило введения фиктивных переменных следующее: общее количество фиктивных переменных должно быть на единицу меньше количества возможных значений качественного признака, если в модели имеется константа. Это необходимо, чтобы не возникла проблема полной коллинеарности переменных.

Например, уровень образования: нет образования, среднее образование, высшее образование, ученая степень и т. д. В этом случае каждому уровню образования, кроме уровня «нет образования» можно поставить в соответствие некоторую фиктивную переменную.

Фиктивные переменные взаимодействия

Пусть в модели (например, средней заработной платы) участвуют две фиктивные переменные, отвечающие, например, за пол и наличие высшего образования. При обычном включении этих переменных в модель каждая из них дает определенный вклад в изменение коэффициентов модели. Однако, сумма эффектов пола и образования вообще говоря может быть не равна суммарному эффекту этих двух факторов, действующих одновременно. То есть наличие высшего образования у мужчин и у женщин вообще говоря по разному может отражаться на доходе. Поэтому наряду с фиктивными переменными пола и образования можно использовать фиктивную переменную взаимодействия:

Таким образом, данная переменная равна 1, например, для мужчин с высшим образованием и равна нулю для всех остальных случаев (мужчин без высшего образования и женщин независимо от уровня образования).

Источник

Что такое фиктивная переменная

Определение. Говорят, что булева функция f(x₁, …, x_i, …, x_n) существенно зависит от переменной x_i, если выполняется условие

В этом случае также говорят, что переменная x_i существенная, в противном случае ее называют фиктивной переменной.

Пример. Рассмотрим булеву функцию f(x₁, x₂, x₃) и исследуем ее переменные x₁ и x₃.

Из таблиц истинности видно, что переменная x₁ функции f(x₁, x₂, x₃) существенная, так как f(0,x₂, x₃) ≠ f(1,x₂, x₃). Переменная x₃ фиктивная, так как f(x₁, x₂, 0) = f(x₁, x₂, 1). •

Очевидно, что для выявления фиктивных переменных можно не строить в явном виде таблиц истинности левой и правой частей неравенства, а сравнивать соответствующие части вектора-столбца значений функции.

Алгоритм распознавания фиктивной переменной по таблице истинности.

– Для переменной x₁ сравниваются половины столбца значений функции: верхняя и нижняя, так как именно в верхней половине x₁=0, а в нижней x₁=1, если они совпадают, то переменная x₁ фиктивна;

– для переменной x₂ сравниваются четвертины столбца в каждой половине, так как именно в верхних четвертинах x₂ =0, а в нижних x₂ =1, если четвертины в каждой половине совпадают, то переменная x₂ фиктивна;

– и так далее (за четвертинами следуют 1/8, 1/16, … ).

Пример. Для булевой функции из предыдущего примера переменная x₁ существенна, так как верхняя половина столбца значений функции (0011) не равна нижней половине (1100). Переменная x₂ существенна, так как четвертины уже в первой половине различаются (00 и 11). Переменная x₃ фиктивна, так как осьмушки во всех четвертинах равны (0 и 0, 1 и 1, 1 и 1, 0 и 0). •

Выявление фиктивных переменных можно ускорить, используя следующее очевидное утверждение.

Достаточное условие отсутствия фиктивных переменных. Если вес вектора-столбца значений функции нечетен, то функция не может содержать фиктивных переменных.

Алгоритм удаления фиктивной переменной x_i состоит в вычеркивании из таблицы истинности всех строк, в которых x_i = 0 (или всех строк, в которых x_i = 1), и столбца x_i.

Пример (функция та же). Применив алгоритм для удаления фиктивной переменой x₃ (таблица слева), получаем результат (таблица справа).

Если переменная x_i функции f(x₁, …, x_n) фиктивна, то на наборах, соседних по i компоненте, функция принимает одинаковые значения. Отсюда следует способ выявления и удаления фиктивной переменной функции, заданной матрицей Грея.

Алгоритм распознавания фиктивной переменной по матрице Грея (основан на свойстве симметрии кода Грея).

Переменная фиктивна тогда и только тогда, когда точки на матрице расположены симметрично относительно осей этой переменной. Упрощенная матрица – это одна из ее симметричных половин.

Пример (функция та же и представлена на левой матрице). Переменная x₃ функции фиктивна. Справа показан результат ее удаления.

Определение. Булевы функции назовем равными с точностью до фиктивных переменных, если равны (в смысле, определенном ранее) функции, полученные из исходных удалением фиктивных переменных (и именно это расширенное толкование равенства функций мы будем иметь в виду во всех дальнейших рассуждениях).

Пример. Рассмотрим функции f₁(x₁, x₂) и f₂(x₁, x₂). Удалив фиктивную переменную x₁ функции f₁(x₁, x₂) и фиктивную переменную x₂ функции f₂(x₁, x₂), получим равные функции f₁(x₂)=f₂(x₁)=f(x). Значит, исходные функции равны с точностью до фиктивных переменных.

Источник

Фиктивные переменные и особенности их использования в моделях

Термин “фиктивные переменные” используется как противоположность “значащим” переменным, показывающим уровень количественного показателя, принимающего значения из непрерывного интервала. Как правило, фиктивная переменная — это индикаторная переменная, отражающая качественную характеристику.

В регрессионных моделях с временными рядами используется три основных вида фиктивных переменных:

1) Переменные-индикаторы принадлежности наблюдения к определенному периоду — для моделирования скачкообразных структурных сдвигов.

2) Сезонные переменные — для моделирования сезонности.

3) Линейный временной тренд — для моделирования постепенных плавных структурных сдвигов.

Использование фиктивных переменных имеет следующие преимущества:

В “фиктивной” форме может быть выражена и зависимая переменная. Такая ситуация имеет место, например, при проведении социологических опросов, когда их результат может быть представлен двумя ответами “да”, “нет” (1 или 0) (предполагаемая покупка автомобиля, дачи; желание иметь ребенка в семье и т. п.), а влияющие на этот результат факторы выражаются в произвольной форме (количественные характеристики – уровень дохода, жилая площадь и т. п., качественные характеристики – уровень образования и т. д.).
С формальной точки зрения фиктивные переменные ничем не отличаются от других факторов. Наиболее сложный вопрос, возникающий при их использовании, – это правильная интерпретация получаемых оценок.
Как правило, независимые переменные в регрессионных моделях имеют «непрерывные» области изменения (национальный доход, уровень безработицы, размер зарплаты и т.п.). Однако теория не накладывает никаких ограничений на характер факторов, в частности, некоторые переменные могут принимать всего два значения или, в более общей ситуации, дискретное множество значений. Необходимость рассматривать такие переменные возникает довольно часто в тех случаях, когда требуется принимать во внимание какой-либо качественный признак.
Таким образом,

· Для исследования влияния качественных признаков в модель можно вводить бинарные (фиктивные) переменные, которые, как правило, принимают значение 1, если данный качественный признак присутствует в наблюдении, и значение 0 при его отсутствии;

· Способ включения фиктивных переменных зависит от априорной информации относительно влияния соответствующих качественных признаков на зависимую переменную и от гипотез, которые проверяются с помощью модели;

· От способа включения фиктивной переменной зависит и интерпретация оценки коэффициента при ней.

32. Применение фиктивных переменных при моделировании сезонных

Регрессионная модель, включающая в качестве фактора (факторов) фиктивную переменную, называется регрессионной моделью с переменной структурой.

Рассмотрим временной ряд Xi j,

где i — это номер сезона (периода времени внутри года, напри мер, месяца или квартала);

(L — число сезонов в году);

j — номер года, j = (m — общее количество лет).

Количество уровней исходного ряда равно L × m = n. Число сезонных фиктивных переменных в регрессионной модели всегда должно быть на единицу меньше сезонов внутри года, т. е. должно быть равно величине L − 1. При моделировании годовых данных регрессионная модель, помимо фактора времени, должна содержать одиннадцать фиктивных компонент (12 − 1).

Каждому из сезонов соответствует определенное сочетание фиктивных переменных. Сезон, для которого значения всех фиктивных переменных равны нулю, принимается за базу сравнения. Для остальных сезонов одна из фиктивных переменных принимает значение, равное единице. Если имеются поквартальные данные, то значения фиктивных переменных D1, D2, D3 будут принимать следующие значения для каждого из кварталов

Общий вид регрессионной модели с переменной структурой в данном случае будет иметь вид:

yt =β0 +β1 ×t+δ2 ×D2 +δ3 ×D3 +δ4 ×D4 +εt

Построенная модель регрессии является разновидностью аддитивной модели временного ряда. Базисным уравнением исследуемой регрессионной зависимости будет являться уравнение тренда для первого квартала:

Тогда общий вид модели регрессии с переменной структурой будет иметь вид:

Данная модель регрессии представляет собой одну из разновидностей аддитивной модели временного ряда.

На основе общей модели регрессии с переменной структурой можно составить базисную модель или модель тренда для первого квартала:

Также на основе общей модели регрессии с переменной структурой можно составить частные модели регрессии:

1) частная модель регрессии для второго квартала:

2) частная модель регрессии для третьего квартала:

3) частная модель регрессии для четвёртого квартала:

Данные частные модели регрессии отличаются друг от друга только на величину свободного члена δi.

Коэффициент β1 характеризует среднее абсолютное изменение уровней временного ряда под влиянием основной тенденции.

Сезонная компонента для каждого сезона рассчитывается как разность между средним значением свободных членов всех частных моделей регрессий и значением постоянного члена одной из моделей.

Среднее значение свободных членов всех частных моделей регрессий рассчитывается по формуле:

Для поквартальных данных оценка сезонных отклонений осуществляется по формулам:

1) оценка сезонного отклонения для первого квартала:

2) оценка сезонного отклонения для второго квартала:

3) оценка сезонного отклонения для третьего квартала:

4) оценка сезонного отклонения для четвёртого квартала:

Сумма сезонных отклонений должна равняться нулю.

33. Фиктивные переменные сдвига и наклона. Особенности их

использования в моделях.

За качественными переменными скрывается целый комплекс факторов: изменение длины светового дня, среднемесячной температуры воздуха, изменение климатических условий и т.п. При анализе расходов на продукты питания необходимо иметь в виду различия в образе жизни

городского и сельского населения.

На практике приходится учитывать в моделях факторы, носящие качественный характер, значения которых в наблюдениях не возможно измерить с помощью числовой шкалы.

Моделирование влияния пола специалистов на уровень зарплаты.

Моделирование доходов граждан от типа учебного заведения, в котором он получил образование (государственное, частное, специализированное,…)

Модель инфляции с учетом различных видов регулирования со стороны государства

Возможны два подхода к решению задачи:

— построить несколько моделей отдельно для каждого значения (градации) качественной переменной

— учесть влияние качественного фактора в одной модели

Второй способ представляется более прогрессивным, т.к в этом случае появляется возможность оценить статистическую значимость влияния данного фактора на поведение эндогенной переменной на фоне других факторов, внесенных в спецификацию модели

Для учета влияния качественных факторов привлекают переменные, которые получили название фиктивных.

Переход фиктивной переменной с одной градации на другую вызывает скачкообразное изменение эндогенной переменной. Фиктивные переменные, которые приводят лишь к скачкообразному изменению эндогенной переменной, называются фиктивными переменными сдвига.

Однако на практике переход фиктивной переменной с одной градации на другую часто приводит к изменению зависимости эндогенной переменной от количественных переменных. Использование фиктивных переменных в регрессионных моделях позволяет учесть возможность такого поведения эндогенной переменной. Пусть эндогенная переменная y зависит от количественной переменной x и фиктивной переменной r. При этом есть основания предполагать, что зависимость эндогенной переменной от количественного регрессора зависит от уровня фиктивной переменной.

Введение дополнительного слагаемого в спецификацию модели позволяет учесть возможность одновременного сдвига (изменение свободного коэффициента) и наклона (коэффициента при количественном регрессоре) прямой зависимости переменной y от x.

34. Типичные проблемы, возникающие при оценке параметров моделей

в виде системы одновременных уравнений.

Модели могут быть представлены как в виде одного изолированного уравнения, так и в виде системы одновременных уравнений. С помощью таких моделей удается обеспечить системный подход к описанию поведения сложных экономических объектов.

Метод наименьших квадратов при выполнении условий (предпосылок) теоремы Гаусса-Маркова позволяет вычислить несмещенные и эффективные оценки параметров модели в виде изолированного уравнения множественной линейной регрессии. Мы убедились в эффективности МНК при построении как линейных, так и целого ряда нелинейных моделей.

При идентификации (расчете оценок параметров) моделей в виде систем одновременных уравнений неизбежно сталкиваются с двумя проблемами: проблемой идентификации и проблемой авторегрессии в структурной форме моделей.

Проблема идентификации заключается в том, что (здесь возникает проблема с нормальным определением, а в лекции дан огромный пример вместо него)

Чтобы сделать идентифицированным уравнение модели, необходимо ввести дополнительную предопределенную переменную в уравнение смежное с неидентифицируемым. В качестве таких переменных часто используются лаговые эндогенные переменные.

Эта проблема тесно связана с четвертой предпосылкой теоремы Гаусса-Маркова: отсутствие связи между регрессорами уравнения и случайными возмущениями.

Получение состоятельных оценок параметров уравнения с помощью МНК удается за счет значительного увеличения объема выборки только в случае:

получение состоятельных оценок с помощью МНК не возможно.

Именно эта ситуация оказывается типичной для структурных поведенческих уравнений модели.

Источник

4.2. Фиктивные переменные

Иногда в процессе эконометрического моделирования у исследователя возникает потребность учитывать в качестве объясняющих факторов не только количественные, но и качественные характеристики. Например, на цену квартиры могут влиять не только её жилая площадь и расстояние до ближайшего метро (количественные переменные), но и материал, из которого изготовлен дом, или наличие в этой квартире балкона (качественные переменные). На величину заработной платы работника могут влиять не только его стаж работы (количественный признак), но и факт наличия у него высшего образования или пол (качественные признаки). Во всех этих случаях удобно использовать так называемые фиктивные переменные.

Фиктивные переменные — это такие переменные, которые принимают одно из двух значений — 0 или 1. Их также называют бинарными или дамми-переменными (dummy variable).

Представим, например, что заработная плата описывается следующим уравнением, для которого выполнены все предпосылки классической линейной модели множественной регрессии:

где \(Y_\) — зарплата i-го работника в долларах в час, \(X_\) — стаж работы i-го работника в годах, \(D_\) — фиктивная переменная, которая равна единице, если i-ый работник — женщина, и равна нулю, если мужчина. Исследователь включает в модель эту переменную потому, что подозревает наличие на рассматриваемом рынке труда дискриминации по гендерному признаку.

В результате МНК-оценивания параметров модели на основе данных о 1000 работниках исследователь получил следующее уравнение:

Результаты построения модели с фиктивной переменной удобно интерпретировать, если записать её для двух случаев: когда фиктивная переменная равна 0 и когда она равна 1. В нашем примере это приведёт к двум вот таким уравнениям:

Отсюда видно, что при прочих равных условиях (при равном стаже работы) женщины получают на 3,5 доллара меньше, чем мужчины. Подчеркнем, что оценка такой модели гораздо лучше, чем просто сравнение средней по выборке заработной платы мужчин со средней по выборке заработной платой женщин, так как гипотетически различие между этими средними могло бы объясняться не гендерной дискриминацией, а разным стажем работы у мужчин и женщин. Мы же в нашем примере контролируем это различие, включая стаж работы в модель. В реальном исследовании, разумеется, было бы целесообразно включить в модель и прочие факторы, которые могут влиять на заработную плату (скажем, образование), однако нам для целей объяснения идеи фиктивных переменных пока хватит этого упрощенного примера.

Графически полученные уравнения представлены на рисунке 4.1. Мы видим, что наша фиктивная переменная отражает сдвиг линии, характеризующей зависимость заработной платы от стажа работы. Поэтому фиктивные переменные такого сорта иногда называют фиктивными переменными сдвига.

Рисунок 4.1. Зависимость между стажем работы и заработной платой для мужчин и для женщин в случае использования фиктивной переменной сдвига.

Включив такое произведение в модель, исследователь получит следующее уравнение:

И снова, чтобы понять, как его интерпретировать, удобно переписать уравнение отдельно для женщин и мужчин:

Рисуснок 4.2. Зависимость между стажем работы и заработной платой для мужчин и для женщин в случае использования фиктивных переменных сдвига и наклона ( \( <\beta_<3>).

Фиктивные переменные могут помочь выявить структурные различия в моделях для разных подвыборок. В нашем примере мы можем проверить наличие или отсутствие структурных различий в моделях заработных плат для мужчин и женщин. Для этого достаточно проверить гипотезу

Действительно, легко видеть, что если эта гипотеза верна, то уравнения заработной платы для мужчин и для женщин являются одинаковыми. Чтобы тестировать эту гипотезу, следует осуществить уже знакомый нам тест для сравнения «короткой» и «длинной» регрессий. Применительно к фиктивным переменным этот тест иногда называют тестом Чоу или тестом на структурный сдвиг. Он устроен следующим образом: необходимо добавить в модель фиктивную переменную сдвига и все соответствующие фиктивные переменные наклона, а затем тестировать гипотезу о том, что коэффициенты при этой фиктивной переменной сдвига и всех фиктивных переменных наклона одновременно равны нулю.

Пример 4.2. Тест на структурный сдвиг.

Опираясь на одну и ту же выборку из 1000 работников, исследователь оценил параметры двух моделей:

В первой модели R-квадрат оказался равен 0,6, а во второй — 0,8. Осуществите тест на структурный сдвиг и интерпретируйте его результаты.

Решение:

Нужно тестировать гипотезу \(\beta_ <3>= \beta_ <4>= 0\) против альтернативной гипотезы о том, что хотя бы один из двух указанных коэффициентов отличен от нуля.

Расчетное значение тестовой статистики может быть определено по формуле:

В рассмотренном нами примере качественный признак может принимать два возможных значения: работник является либо мужчиной, либо женщиной. При помощи фиктивных переменных можно анализировать и случаи большего количества возможных значений.

Представим, что мы в качестве моделируемого признака рассматриваем университет, который закончил работник, и что в выборке есть выпускники ровно трёх университетов: A, B и C (и нет работников, которые не закончили никакого университета). Ясно, что одной бинарной переменной нам уже не хватит, и этот качественный признак нужно закодировать каким-то другим образом. Оказывается, это просто сделать, добавив в модель не одну, а две фиктивные переменные. Тогда уравнение будет выглядеть вот так:

где \(A_\) — фиктивная переменная, которая равна 1, если i-ый респондент является выпускником вуза А, и равна 0 в противном случае, \(B_\) — аналогичная переменная для вуза B.

Дело в том, что если мы добавим 3-ю фиктивную переменную, то мы столкнемся с чистой мультиколлинеарностью. Если i-ый работник закончил университет B, тогда для него \( = 0>, = 1>, = 0>\) и, следовательно

Представим, что мы в нашем примере ограничились двумя фиктивными переменными, собрали данные о трех тысячах выпускников и, проведя необходимые расчеты, получили следующие оценки параметров:

Как интерпретировать полученные оценки коэффициентов? Снова запишем модель для каждого типа выпускников отдельно:

Коэффициент при фиктивной переменной А, оценка которого равна 2, означает, что при прочих равных условиях выпускник вуза А зарабатывает на 2 доллара в час больше, чем выпускник вуза С. Важно помнить, что, когда мы интерпретируем коэффициент, мы должны не просто говорить, что кто-то зарабатывает больше, а указывать, по сравнению с кем больше. В данном случае фраза «выпускник вуза А в среднем получает на 2 доллара в час больше, чем выпускник вуза С» — это корректная фраза. А фраза «выпускник вуза А получает на 2 доллара больше, чем выпускники других вузов» — это некорректная фраза, так как в модели видно, что выпускник вуза А по сравнению с выпускниками вуза В получает не больше, а меньше.

Обычно в качестве базы для сравнения (или так называемой эталонной категории) выступает та категория, для которой мы не стали добавлять фиктивную переменную. В нашем примере эталонным университетом выступает вуз С (эталонным не в том смысле, что он самый хороший, а в том смысле, что с ним все сравнивается).

Или добавить все m фиктивных переменных, но тогда не добавлять константу. Этот вариант менее удобен для содержательной интерпретации результатов, поэтому используется сравнительно редко.↩︎

Источник