что такое бесконечность в математике определение
Тайны чисел: можно ли понять математическую бесконечность ∞
Представить себе что такое бесконечность, кажется, невозможно. Однако математики утверждают, что эта наука дарит человеку шанс побыть с бесконечностью «на ты». Так, математик Алексей Савватеев называет математику шагом через бесконечность. «Освоение математики, – пишет он в своей книге, – это когда вы становитесь с бесконечностью «на ты». И чем больше вы «на ты» с бесконечностью, тем лучше вы понимаете математику». Чтобы понять, как ученые представляют себе математическую бесконечность, давайте рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, … которую потенциально можно продолжать бесконечно. Подобные непрерывные процессы, как правило, являются первыми примерами такого сложного понятия как бесконечность. Между тем, в математике процессы, не имеющие предела или конечной точки, встречаются довольно часто, а сам вопрос о бесконечности уходит своими корнями в математику Древней Греции.
Математика позволяет наладить общий язык с таким сложным понятием как бесконечность.
История бесконечности
Самыми ранними размышлениями о математической бесконечности, вероятно, являются парадоксы греческого философа Зенона. Один из них (написан в пятом веке до нашей эры) и касается Ахиллеса, самого быстроногого из всех греков, который должен бежать наперегонки с черепахой. Согласно парадоксу, быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса.
Аристотель также был обеспокоен этой и другими загадками, касающихся бесконечной делимости. Вселенная, думал он, не может быть бесконечно большой. Если бы это было так, то ее половина тоже была бы бесконечной. Но что делает всю бесконечность больше ее половины? По-видимому, ничего; они обе бесконечны, поэтому должны быть одного размера. Но они не могут быть одинакового размера, так как одна половина больше другой. Аристотель выдвигает ряд других возражений и приходит к выводу, что Вселенная должна быть конечной. Глядя на звезды над собой, он приходит к выводу о том, что космос состоит из огромной (но конечной) сферы с Землей в центре.
Долгое время считалось, что бесконечность – нельзя применять в математической науке.
Однако, стоило Аристотелю это предложить, как кто-то спросил, что находится на другой стороне сферы. Тем не менее, эта идея нравилась людям на протяжении более чем тысячи лет, что в целом неплохо. В третьем веке до нашей эры Архимед подсчитал, сколько песчинок потребуется, чтобы заполнить вселенную Аристотеля, а в Средние века Святой Фома Аквинский поддержал Аристотеля, и этот взгляд стал основным для церкви.
Все изменилось, когда Николай Коперник заявил о том, что Земля – не центр Вселенной. Позже в семнадцатом веке Галилео Галилей был признан опасным мыслителем, так как открыто размышлял о бесконечности. Мир бесконечен, считал он, а материя вечна. Многим позже, в 1920-е годы немецкий математик Дэвид Гильберт придумал известный мысленный эксперимент, чтобы показать, как сложно осознать концепцию бесконечности.
Хотите всегда быть в курсе последних новостей из мира популярной науки и высоких технологий? Подписывайтесь на наш Telegram канал, чтобы не пропустить свежие анонсы новостей!
Парадокс Бесконечного отеля
Итак, предположим что вы – портье в отеле под символичным названием «Бесконечность». Все комнаты отеля, коих бесконечное множество, полны, но вдруг появляется новый гость. Неужели придется прогнать его? Нет, все что нужно – переместить гостя из комнаты 1 в комнату 2, а гостя из комнаты 2 — в комнату 3 и так далее. Вуаля – первая комната теперь свободна для нового гостя. Но что делать, если появится бесконечное множество новых гостей?
Оказывается, вы по-прежнему можете быть любезны. Жилец из первой комнаты переходит в комнату номер 2, а жилец из второй комнаты переходит в комнату три и так далее… до бесконечности. Так как номера комнат удвоились, и таким образом стали четными числами, вы теперь можете поместить бесконечно много новых гостей в (теперь свободные) нечетные номера. Четных чисел должно быть столько же, сколько и чисел, поскольку существует бесконечное число комнат, независимо от того, четные они или нечетные. В результате, мы можем поместить все числа без остатка только в «комнаты», занятые четными числами. Этот мысленный эксперимент известен как Парадокс бесконечного отеля, который отлично иллюстрирует свойства бесконечных множеств.
Кадр из лекции TED «Парадокс бесконечного отеля», рекомендуем к просмотру.
По мнению создателя теории множеств, математика Георга Кантора, существует множество чисел, и это бесконечное количество чисел описывает многие типы чисел. Например, в парадоксе количество чисел было таким же, как и число четных чисел (и нечетных чисел, и простых чисел, и кратных миллиарду и т. д.). Сегодня это кажется очевидным, однако не было очевидным для Аристотеля и его последователей, которые считали актуальную бесконечность недопустимым научным понятием.
Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством.
Кантор также доказал, что число дробей равно этому бесконечному числу, которое он назвал алеф-нуль. Самое замечательное, что он доказал (с помощью так называемого диагонального аргумента), что существует более одного бесконечного числа.
Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.
Работа Кантора встретила значительное сопротивление, но окончательно победила и теперь почти повсеместно принята. Остается крошечное меньшинство математиков, называемых интуиционистами или конструктивистами, которые не верят, что мы действительно можем понять идею бесконечной тотальности. В двадцатом веке к ним присоединились философы, которые задались вопросом о том, можно ли понять канторовский взгляд на бесконечность. А что вы думаете по этому поводу? Ответы будем ждать здесь, а также в комментариях к этой статье.
Бесконечность в математике
Автор: Лотц Галина
Объект исследования: бесконечность и математика
Предмет исследования: понятие бесконечности в математике
Цель исследования: изучить представление термина бесконечности в математике
Задачи исследования:
Гипотеза исследования: «Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции» (Энгельс Ф.)
Этапы исследования:
Подготовительный: изучение литературы, сбор информации;
Практический: исследование и изучение определения и свойств бесконечности, выяснение того, какую роль играет бесконечность в математике и в жизни
Аналитический: анализ полученных результатов, выводы.
C понятием бесконечности нас знакомят еще в начальной школе. Тогда мы с удивлением узнаем, что наибольшего числа не существует. Сколько ни прибавляй к бесконечному, оно остается все тем же бесконечным. А при изучении дробей в средней школе, с удивлением замечали, что бесконечное в математике часто приводит к противоречию и парадоксу, например, аксиома «целое больше своей части». Бесконечное множество, в частности, определяется как то, что равно не совпадающей с ним части. А «ноль в степени бесконечность» или «единица, деленная на бесконечность»?
Возникает вопрос: почему бесконечная сумма дает красивый конечный ответ? зачем может понадобиться сложение бесконечно многих чисел?
Так что же такое бесконечность? Можно ли «пощупать» бесконечность, смоделировать? Эти вопросы всегда интересовали, может быть потому, что в повседневной жизни нам всегда приходиться иметь дело только с конечными величинами, а бесконечность манит своей необычностью и даже таинственностью.
Бесконечность, одно из самых удивительных и парадоксальных научных понятий, неизменно привлекала внимание человека, волнующих мыслителей и ученых. Определение бесконечности в словарях встречаются разные, приведем некоторые из них:
1.Отсутствие конца, предела наличию каких–либо однородных объектов в пространстве или момента осуществления каких-либо процессов.
3.Условная величина, которая больше любого наперёд заданного значения (Обозначается знаком ∞).
По существу, история бесконечного пронизывают всю историю познания человеком окружающего мира и своего места в нем. Пифагор писал «В конечности – красота и совершенство. В безграничности – незавершенность и несовершенство».
Аристотель считал, что бесконечность – это процесс, состоящий из последовательных шагов, где за каждым очередным шагом имеется следующий, и нет последнего. Он утверждал, что математика должна заниматься только чисто теоретическими операциями над бесконечностью. Израильский математик, профессор Дорон Зельбергер убежден, что числа не могут увеличиваться бесконечно, и существует такое огромное число, что если вы прибавите к нему единицу, вы получите ноль. Тем не менее, это число и его значение лежат далеко за пределами человеческого понимания, и вероятно, это число никогда не будет найдено и доказано. Это убеждение является главным принципом математической философии, известной как «Ультрабесконечность».
Первым среди древнегреческих ученых, кто применил теоретические знания, в частности понятие бесконечности для решения практических задач, был Архимед. Он использовал бесконечный числовой ряд, чтобы найти площадь сегмента параболы. 
Как действовал Архимед? Разбив параболу на вписанные треугольники, складывая их площади, заметил, что ни за какое конечное число шагов всю площадь под параболой исчерпать не получится, то есть мы не доберёмся до точного ответа. Лишь при переходе к бесконечному, т. е. формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии, получаем красивый конечный результат.
Оказывается, что это общая закономерность: если в математической или физической задаче устремить в бесконечность какую-либо величину из условий задачи, то, как правило, ответ упрощается или даже нерешаемая задача становится решаемой. Есть даже шутка про физика-теоретика, которого попросили рассчитать, будет ли стул стоять устойчиво. За первые пять минут он решил эту задачу для стула с одной ножкой, за следующие пять минут — для стула с бесконечным числом ножек, а потом всю оставшуюся жизнь пытался рассчитать устойчивость стула с четырьмя ножками. Красивая конечность становится следствием бесконечности.
Но какой бы красивый ответ не был получен, сама бесконечность никогда не сможет быть выражена или определена не через какие числа, какими бы огромными они не были. Это понятие существует «вне чисел». К нему можно лишь бесконечно стремиться. Но что означает «стремящийся к бесконечности»? Математики придумали для этого предел. В пределе получаем какой-то конечный результат одной величины тогда, когда другой уходит в бесконечность.
Математика создает модели для изучения бесконечного, получая конечные результаты. Бесконечные процессы на конечном шаге становятся уловимыми. Сама же бесконечность ускользает от нас, как только мы приближаемся к ней. То, что становится конечным на данном этапе, дает рождение нового бесконечного процесса.
Еще одно интересное соседство неизменно преследует бесконечность. Понятие «ноль» и «бесконечность» тесно связаны. Известно, число, деленное на бесконечность, стремится к нулю, число, деленное на нуль, стремится к бесконечности.
Таким образом, бесконечность и ноль — две противоположности, которые составляют единое целое. Это полностью соответствует диалектическому закону единства и борьбы противоположностей.
Кажущаяся безрассудной идея о том, что ноль и бесконечность совпадают, оказывается, находит много подтверждений. Например, физический вакуум – это то, что остается в пространстве, когда из него удаляют весь воздух и все до последней элементарной частицы. Казалось бы, остается пустота, ноль, но оказывается, что эта пустота – своеобразная материя – Прародитель всего во Вселенной. Таким образом, с точки зрения современной физики вакуум вовсе не пустота.
Остается актуальным основной вопрос философии – вопрос о том, познаваем ли мир? Ведь известно, что наука изучает мир, основываясь на моделях (различные математические, физические модели). Но реальный мир гораздо сложнее! На этот счет мнения философов расходятся. Многие убеждены, что в нашем мире действует принцип подобия, вытекающий из одного из основных законов диалектики – закона преемственности и подобия. Согласно этому принципу часть любого целого устроена подобно тому, как устроено целое.
Яркой иллюстрацией принципа подобия является голограмма. Отличительная особенность голограммы заключается в том, что по любой (даже малой) части можно восстановить изображение целиком, потому что каждый фрагмент голограммы содержит в себе информацию обо всем изображении.
Так и весь мир устроен по этому принципу: в любой точке Вселенной есть информация обо всей Вселенной. Свойство самоподобности отражает главную особенность природных объектов, когда подобно голограмме, отдельная клетка растения или животного несёт в себе полную информацию обо всём организме.
В математических моделях свойство самоподобности находит свое выражение во фрактальных фигурах. Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Пример «съедобного фрактала» — это некий сорт цветной капусты. 
Если рассмотрим его поближе, то увидим, что он состоит из «шишечек», идущих по спирали, причём каждая из них состоит из таких же маленьких «шишечек», а они, в свою очередь, — из совсем маленьких (капуста Романеско).
Реальный мир достаточно хорошо описывается фрактальной геометрией. Фрактал — может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, кораллы, снежинки и т.д. Фрактальные фрагменты позволяют наглядно прочувствовать переходы от бесконечно больших величин к бесконечно малым и наоборот ( от «минус» к « плюс» бесконечности). Раскладывая тело, состоящее из бесконечно большого числа фрактальных сегментов, мы приходим к конечному маленькому сегментику — исходной фигуре, и наоборот, от начального фрагмента можем «заглянуть» в бесконечность, получая все новые и новые формы.
Вывод. Бесконечность — это не абстрактное понятие, а объективно существующая реальность. Бесконечность иногда становится конечной (находит воплощение в конечном). Ноль и бесконечность совпадают. Пустота – своеобразная материя – Прародитель всего во Вселенной. Математика и физика создают различные модели для изучения бесконечности, получая конечные результаты, но реальный мир гораздо сложнее. «Пощупать» бесконечность можно, прибегая к «образу и подобию», т.е. моделируя ее.
Литература
1.Н. Я. Виленкин В поисках бесконечности. — М.: Наука, 1983. — 160 с
2.Литцман В. Великаны и карлики в мире чисел. М,1959.
4.Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство./Математика в школе, №5/2005.
Запредельные числа: математик объясняет гуманитариям, что такое бесконечность
Теории и практики
Умение обращаться с бесконечностью — пожалуй, основное в математике. Математик Алексей Савватеев объясняет, что это такое, а заодно рассказывает о том, как человек открывал для себя числа: от рациональных к иррациональным, от алгебраических к трансцендентным. T&P публикуют отрывок из его книги «Математика для гуманитариев. Живые лекции».
Математика для гуманитариев. Живые лекции
Алексей Савватеев
Университет Дмитрия Пожарского, 2018
Премия «Просветитель»
Алексей Савватеев: Вот одна интересная задача. Начнем издалека. В 2000 году, где-то зимой, мы были в лесу в районе Радищева, праздновали чей-то день рождения. Вокруг было очень мало сухих деревьев, все спилили до нас. Было только огромное, совершенно сухое дерево. И это дерево огромного размера стояло и очень нас заманивало. У нас была двуручная пила, и мы начали пилить. Пилили-пилили, пилили-пилили и допилили. Дерево сделало «тцук…» и село на нашу пилу. Пила осталась внутри, а полностью спиленное дерево стоит и падать не собирается.
Но стоит подуть ветру, и оно упадет. В какую сторону оно упадет — совершенно непредсказуемо. Что делать? Надо или вставать и уходить, написав со всех сторон «Внимание, внимание до ближайшего ветра сюда не подходить», или пытаться уронить дерево. Мы решили с ним побороться. Взяли вспомогательное дерево и прислонили его к спиленному где-то на высоте десяти метров. Навалились, и оно поддалось.
Интеллектуальная медитация: чем математика похожа на литературу и как решаются великие задачи
Было видно, как дерево начало падать. Но скорость была чудовищно медленная: несколько сантиметров в секунду, едва-едва. Где-то минуту мы ждали, пока оно медленно наклонялось, и только потом оно начало ускоряться и через несколько мгновений рухнуло со страшным грохотом. Пришел я домой и написал уравнение падения дерева. В физике траекторию движения системы под действием сил можно выписать в виде уравнений. Такие уравнения называются дифференциальными. Это означает, что скорость изменения скорости, то есть то, что называется ускорение, зависит от сил, которые действуют на тело. Это один из основных законов физики, он позволяет свести все, что есть в обычной, не квантовой, механике, к системам уравнений. Можно выписать такое уравнение и для нашего дерева. И к своему удовольствию, исследовав это уравнение, я пришел к выводу, что, если дать дереву толчок очень маленькой силы, оно начинает падать очень, очень, очень медленно.
Я начинаю рассуждать, что дерево — это просто вертикальная палка, без толщины. Она стоит совершенно вертикально, но обладает массой. Массивная вертикальная палка. Кто-то толкает ее сверху. Ударит человек — палка падает (скажем) 1 минуту. Пролетит голубь, заденет — будет падать 10 минут. Начальная скорость верхней точки будет, скажем, 1 мм/с. И очень долго скорость почти не будет меняться. А если врежется муха, то палка будет падать час. Уравнение выдает удивительный результат: на самом деле нет никакой границы на время падения дерева, вообще никакой.
Рассмотрим похожую задачу. Есть вагончик, в котором на шарнире установлена тонкая железная вертикальная палка. Чуть-чуть вправо или влево — она падает, так же, как и рассмотренное выше дерево. Теперь представьте обратную задачу. Вы берете уже упавшую или под некоторым углом висящую палку. После чего придаете ей некоторый импульс — толкаете ее снизу вверх.
Какие возможны варианты? Во-первых, толчок может быть слишком маленький. Что произойдет с палкой? Поднялась и упала обратно. Теперь, допустим, подошел какой-нибудь бугай. Бабах по этой палке. Она р-раз и перелетела на другую сторону. Подходит кто-то немножко более сильный, чем я, но слабее, чем бугай. Толкает палку, а она все равно падает.
Вернемся к нашей палке. Если вы ударили слишком слабо, то результат будет — палка упадет обратно. Если очень сильно ударить, то палка перевернется на другую сторону. И есть ровно одна сила удара, одно вещественное число, которую нужно придать палке, чтобы она остановилась вертикально. Вопрос. Сколько нужно времени в идеальном мире, в котором нет воздуха, трения и так далее, чтобы палка заняла вертикальное положение?
Слушатель: Смотря под каким углом было изначально.
А. С.: Нет. От того, под каким углом была изначально палка, зависит только то, с какой силой нам надо толкнуть палку. А времени понадобится бесконечное количество. Строгая математическая бесконечность. То есть, если палке придать такую силу, которая в точности достаточна для того, чтобы она достигла положения вертикального равновесия, то время, за которое палка будет достигать это положение, равно плюс бесконечности. В условиях задачи, когда мы говорим об идеальной математике, мы, естественно, не учитываем, что вокруг меняются обстоятельства. В идеальной ситуации время равно бесконечности. Я посчитал все это в 2000 году, потом рассказал физикам, а они сказали, что это очевидно, и все они это давно знали. Наверное, кому-нибудь не хочется верить, что потребуется бесконечное количество времени. Я дам еще одно подтверждение. Давайте вернемся к тележке. Пусть это будет вагон, внутри которого находится наша палка на шарнире. Вагон едет по маршруту Москва — Петербург. И мне сообщили, с точностью до 100% (так, как у математиков бывает, а в жизни нет) информацию о скорости, с которой вагон будет двигаться.
График изменения скорости поезда Москва — Петербург
Утверждение. Существует такое положение палки, такой угол, в котором я могу ее выпустить из рук в начальный момент времени, что она не упадет в течение всей дороги. Существует такой угол альфа, что, если я придам железке на шарнире этот угол, то она всю дорогу будет болтаться туда-сюда, но никогда не упадет. Обоснование этого факта изложено ниже.
Эта задача разобрана в книге, которую я всем рекомендую: Р. Курант, Г. Роббинс, «Что такое математика?» Идея решения этой задачи — использование непрерывности. Мы один раз уже с ней столкнулись в предыдущей задаче: есть такой импульс, получив который, палка не упадет ни направо, ни налево. Она встанет вертикально, но через бесконечное время. Задача про вагон, в котором движется железный стержень на шарнире, напрямую относится к предыдущей. Давайте посмотрим. Если палка уже лежит, то она будет всегда лежать. Она никогда никуда не встанет. А теперь рассмотрим для каждого начального угла поворота этой палки, в какое положение она в конечном счете ляжет: направо или налево. А если она останется висеть, значит, мы нашли то, что нам нужно.
Если палка ляжет, то она ляжет в одно из этих двух положений. Причем уравнения движения таковы, что если чуть-чуть поменять угол, совсем чуть-чуть, сторона падения не изменится. Если палка падала направо, то изменив угол, вы не измените результата. Она все равно упадет направо. Тем самым, если в одно положение она падала, значит, и в близких положениях она тоже должна падать в то же положение. То есть, как говорят математики, множество положений, в которых оно упадет направо — открытое множество. «Открытое» — значит вместе с точкой содержит все близкие ей точки. Если из положения палка падает, то из всех достаточно близких положений она упадет в ту же сторону.
Находка T&P: признания людей о своих чувствах к математике, расположенные на интерактивной карте
Интуитивно понятно, что мы можем всегда приподнять палку настолько мало, что она непременно упадет обратно. Но при малом отклонении от этого положения она тоже упадет. Давайте медленно изменять это положение. В положениях оно будет падать направо, а в — налево. Значит, где-то есть переход, угол, такой, что всюду справа она падает направо, всюду слева — налево. Что же это за угол? Единственный факт, который мы можем сообщить про этот угол, это что для такого угла палка не упадет вообще. Ничего другого про него неизвестно. Парадоксально, но это факт! Если вы в это поверили (а я вас не обманываю), тогда в том, что в близком к вертикальному положению палка может находиться сколь угодно долго, вас убедит следующее соображение. На стоянке в Бологом поезд может стоять 10 минут, а может — час. И в течение этого часа палка не упала. Она ведь не падала всю дорогу, в частности, она не упала и в течение стоянки. Что же она делала в это время?
А. С.: Она была очень близко к вертикальному положению. Потому что, если бы она чуть-чуть от него отклонилась, она рухнула бы. Поэтому во время стоянки она была очень близко к вертикальному положению. А так как стоянка может быть сколь угодно долгой, из этого следует, что палка в районе вертикального положения может находиться сколь угодно долго. Поэтому-то она будет подниматься в него бесконечное время.
Это наше второе знакомство с бесконечностью. Сейчас будет третье.
Слушатель: Гвоздь программы.
А. С.: Бесконечность — это гвоздь программы, безусловно. Потому что бесконечность — это центральное понятие в математике.
Математика — это шаг через бесконечность. Освоение математики — это, когда вы становитесь с бесконечностью «на ты». И чем больше вы «на ты» с бесконечностью, тем лучше вы понимаете математику. Это наука о бесконечности. В этом смысле, математика и религия дополняют друг друга. Религия — это знание о бесконечности, математика — наука о бесконечности. Это две ипостаси бытия.
Сейчас мы поговорим о бесконечности в некотором другом разрезе, геометрическом. Помните ли вы, что такое квадратный корень? Корень квадратный из 100 — это 10. Потому что 10 ⋅ 10 = 100. А вот что такое корень квадратный из двух — это не так понятно. А что такое рациональное число? Если вы не знаете, не страшно. Но что такое целое число, знают все. Целые числа — это ноль, один, два, три, четыре, пять, шесть и так далее в положительную сторону, но, также минус один, минус два, минус три, минус четыре и так далее в отрицательную. У древних была большая проблема с отрицательными числами. Число, бесконечность, уравнение — это то, с чем математики все время имеют дело. Что такое число? Для древних число — это то, чем мы считаем предметы. Ноль для древних уже было что-то странное. Число или не число? Ноль — это отсутствие предметов. Отсутствие — это количество или нет? Сколько крокодилов в нашей комнате?
В России натуральные числа по традиции начинаются с единицы. То есть ноль является целым числом, но не является натуральным.
А. С.: Я же могу сказать, что сейчас два с половиной градуса выше нуля?
А. С.: Или три и три четверти градуса.
И замостить вы можете сколь угодно плотно, можно ведь шагать шагами, равными 1/1000 или 1/1000000. Где бы вы ни сидели на числовой оси, где-то рядом с вами, очень близко живет число вида m/n.
Математики употребляют в такой ситуации страшный термин «всюду плотное множество». Это такое множество, в котором, куда бы вы ни сунулись, в любой близости от вас будут точки этого множества. Рациональные числа образуют всюду плотное множество на числовой оси. Вроде как вся прямая ими заполнена. Вполне можно было бы ожидать, что никаких чисел больше нет. Это логично, но это неправда. Древние обнаружили, что есть числа, заведомо непредставимые в виде m/n, ни при каких целых m и n.
Вот я и утверждаю, что корень из двух — именно такое число. Возьмем 4 квадрата со стороной единичка. И составим из них новый квадрат. Какой площади один маленький квадратик?
А. С.: Какой площади будет получившаяся фигура?
А. С.: Теперь я делаю следующее. Я провожу диагонали и спрашиваю вас, чему равна площадь получившегося внутри квадрата?
А. С.: Почему? Потому, что в каждом маленьком квадратике ровно половину взяли, а половину не взяли. Итак, совершенно очевидно, что площадь этой фигуры вдвое меньше, чем большого квадрата. С другой стороны, мы знаем, что если у квадрата сторона a, то площадь его равна a ⋅ a = a². Нам нужно найти сторону квадрата с площадью 2. А это и есть корень из двух. Значит, если у квадрата сторона 1, то его диагональ имеет длину «корень из двух».
Из школьного курса вы знаете теорему Пифагора.
А. С.: Теорема Пифагора говорит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Давайте я покажу доказательство этого без единой формулы. Теорему Пифагора не нужно доказывать формулами, ее нужно просто узреть, увидеть, она видна. Вот смотрите, я беру вот такое равенство: а² + b² = c². Мне нужно его доказать для любого прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c.
Беру два квадрата со стороной a + b. Они будут одинаковые, но я их разобью на части.
Площадь внутри левого квадрата равна с². Площади квадратов внутри правого квадрата равны а² и b². Теперь смотрите, правый квадрат состоит из 4 треугольников и двух квадратов, а левый — из четырех таких же треугольников и одного квадрата. Но внешние квадраты имеют одинаковые площади. Из площади первого квадрата я вычел 4 одинаковые площади и из площади второго квадрата те же 4 площади. Значит, площадь оставшегося должна быть одинаковой. В одном случае остается с², в другом — сумма а² + b². Значит, а² + b² = c². Теорема Пифагора доказана. Но это было небольшое отступление. Я хотел сказать, что диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора равна корню из двух, ну и по тому, что я нарисовал, она и в самом деле этому равна. Древние ничего не могли с этим числом поделать. Потому что, если отложить отрезок, равный нашей диагонали, от нуля, то вы попадете в точку, которая заведомо не равна никакому числу вида m/n. Ни при каких m и n. Вы переберете все целые числа, и в числителе, и в знаменателе, и никогда не получите число, которое в точности совпадет с корнем из двух. Есть очень много разных доказательств этого факта, и одно из них совершенно геометрическое. Мы же рассмотрим ниже алгебраический подход.
Причина смерти — корень из двух!
Мы сейчас придумаем некую процедуру, которую мы применим к любому рациональному числу, и она всегда будет конечной. А дальше, я вам покажу, что та же самая процедура для числа «корень из двух» никогда не прекращается, тем самым это число не может быть рациональным.
Слушатель: То есть это несуществующее число?
А. С.: Существующее, но не в этом круге подозреваемых лиц. Это число существует, и оно очень нервировало греков, они не хотели допустить, что оно существует. Однако они отлично знали, что оно нужно для вычислений, но не выражается в виде отношения целых чисел. Они не понимали, что делать. Вроде число не существует, а есть. Оно не должно существовать, но оно существует. Числа, которые не представляются в виде m/n, называются иррациональными.
Что такое вообще «иррациональность»? Нелогичность. Неразумность. Иррациональное поведение, например. Но в математике, в отличие от философии, есть совершенно конкретные объекты, иррациональные числа. Это такие числа, которые не представляются в виде m/n. Тем не менее, они вполне себе логичные и очень даже разумные.
Слушатель: А числа m и n, они целые?
А. С.: Целые. Непременно целые числа. Иррациональные числа — это числа, которые не являются отношением двух целых чисел. Рациональное число — это отношение двух целых. Есть еще одно труднопроизносимое слово, оно тоже в философском смысле кое-что означает. Слово «трансцендентно». Что же то оно означает в житейском (не математическом) смысле?
Слушатель: Находится за пределами.
А. С.: За пределами чего бы то ни было.
Слушатель: То есть иррациональное поведение — это поведение странное, но все же в рамках. А трансцендентное — это что-то за пределами понимания окружающих.
Эмоциональная наука: Анна Свердлик о природе математики с точки зрения нейроученых
Есть вам два разных доказательства: одно длинное, но геометрическое, второе — короткое стандартное. Это некая процедура; ну, сделал это не я, а Евклид 2,5 тысячи лет назад. Называется эта процедура алгоритм Евклида. Разновидность алгоритма Евклида называется цепная дробь. Цепная дробь — это очень просто. Любое число можно разложить в цепную дробь. Числа вида m/n в цепную дробь раскладываются конечным образом, а корень из двух в цепную дробь раскладывается только бесконечным. […]
В рубрике «Открытое чтение» мы публикуем отрывки из книг в том виде, в котором их предоставляют издатели. Незначительные сокращения обозначены многоточием в квадратных скобках. Мнение автора может не совпадать с мнением редакции.