что такое бесконечность в философии

Бесконечность в философии

Проблема качественной Б. обсуждалась уже в антической философии, в частности в связи с космогонией и проблемами природы мышления. Но особое значение она приобрела в философии нового времени в связи с развитием естествознания и проблемами его логического обоснования (Р. Декарт, Дж. Локк, Г. Лейбниц). Глубокий философский анализ проблемы Б. дал Г. Гегель, различивший истинную (качественную) и «дурную» Б. как безграничное увеличение количества и связавший категорию Б. с характеристикой процессов развития. Эти идеи были материалистически переосмыслены марксизмом, подчеркнувшим диалектическую взаимосвязь Б. и конечного, противоречивую природу Б. Важное значение имело указание связи Б. с категорией всеобщего. Как писал Ф. Энгельс, «. форма всеобщности есть форма внутренней завершённости и тем самым бесконечности; она есть соединение многих конечных вещей в бесконечное» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 548‒49).

Противоборствующими здесь являются, с одной стороны, религиозная и идеалистическая точка зрения, толкующая Б. как Б. бога, его вневременность или как продукт сознания, а с др. стороны, ‒ точка зрения материализма, рассматривающего Б. как одно из свойств пространства и времени и исследующего её в опоре на результаты математики и космологии. По данным современной космологии, Вселенная (материальный мир, рассматриваемый лишь в аспекте пространственно-временного распределения масс) бесконечна в пространстве и времени, а её пространственные и временные характеристики по отдельности могут быть и конечными, и бесконечными, в зависимости от выбора системы отсчёта.

Лит.: Философия естествознания, в. 1, М., 1966, с. 28, 191‒207; Наан Г. И., Понятие бесконечности в математике, физике и астрономии, М., 1965; его же. Типы бесконечного, в кн.: Эйнштейновский сборник 1967, М., 1967; Зельманов А. Л., О бесконечности материального мира, в кн.: Диалектика в науках о неживой природе, М., 1964.

Полезное

Смотреть что такое «Бесконечность в философии» в других словарях:

Бесконечность — У этого термина существуют и другие значения, см. Бесконечность (значения). Бесконечность концепция, используемая в математике, философии и естественных науках. Бесконечность какого то понятия или атрибута некоторого объекта означает… … Википедия

БЕСКОНЕЧНОСТЬ — филос. понятие, отражающее безграничность и беспредельность развития материи, неисчерпаемость ее познания. Место, занимаемое понятием Б. в системе категорий диалектич. материализма, определяется связью Б. с такими осн. категориями, как материя,… … Философская энциклопедия

Бесконечность — I Бесконечность в философии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная Б., выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный (всеобщий) характер связей явлений; количественная Б., выступающая как неограниченность… … Большая советская энциклопедия

БЕСКОНЕЧНОСТЬ — [бесконечное]. 1. Одно из свойств Божиих; 2. Фундаментальная категория человеческого мышления; философское и богословское понятие, обозначающее безграничность и беспредельность как в бытийственном, так и в познавательном смысле. Вопрос о Б.… … Православная энциклопедия

ИСТОРИЯ ФИЛОСОФИИ — наука о развитии филос. знаний, борьбе основных материалистического и идеалистического направлений в философии, становлении и развитии науч. филос., диалектико материали стич. мировоззрения. И. ф. как особая область исследования… … Философская энциклопедия

Этапы развития философии Гуссерля — В развитии философии Э. Гуссерля принято выделять три основных периода: Ранняя, или дескриптивная феноменология. Зрелая, чистая или трансцендентальная феноменология. Поздняя феноменология, или философия «жизненного мира». Содержание 1 Первый… … Википедия

Катасонов, Владимир Николаевич — Владимир Николаевич Катасонов Страна: … Википедия

ИОАНН ДУНС СКОТ — [лат. Ioannes (Johannes) Duns Scotus] († 8.11.1308, Кёльн), средневек. философ и богослов, католич. священник, член монашеского ордена францисканцев; в католич. Церкви прославлен в лике блаженных (пам. зап. 8 нояб.). Жизнь. Иоанн Дунс Скот. 1473… … Православная энциклопедия

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА БЫТИЯ БОЖИЯ — разработанные в философии и богословии теоретические аргументы, обосновывающие средствами человеческого разума необходимость признания существования Бога. В Свящ. Писании ВЗ и НЗ, к рое свидетельствует о Боге и является основанием христ. веры в… … Православная энциклопедия

БЕСКОНЕЧНОЕ — филос. категория, характеризующая неисчерпаемость материи и движения, многообразие явлений и предметов материального мира, форм и тенденций его развития. Признавая объективное существование Б. в природе, диалектич. материализм отвергает… … Философская энциклопедия

Источник

Бесконечность

Полезное

Смотреть что такое «Бесконечность» в других словарях:

БЕСКОНЕЧНОСТЬ — «БЕСКОНЕЧНОСТЬ», СССР, Ритм (кинокомпания «Мосфильм»), 1991, ч/б, 220 мин. Лирическая драма. «Все проходит», кажется, слова мудрого Соломона. Все конечно. Не соглашаясь с этим, Марлен Хуциев называет свой фильм «Бесконечность». Он появился в… … Энциклопедия кино

бесконечность — бескрайность, беспредельность, неоглядность, бессрочность, вневременность, нескончаемость, безбрежность, термин, необозримость, неограниченность, необъятность, вечность, постоянность, неистощимость, безмерность, безграничность, неиссякаемость,… … Словарь синонимов

БЕСКОНЕЧНОСТЬ — (обозначение :), абстрактная величина, представляющая бесконечное число. В математическом анализе, например: 1/х стремится к плюс бесконечности при х стремящемся к нулю со стороны положительных чисел. В ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ примером бесконечного… … Научно-технический энциклопедический словарь

БЕСКОНЕЧНОСТЬ — БЕСКОНЕЧНОСТЬ, бесконечности, мн. нет, жен. 1. отвлеч. сущ. к бесконечный. 2. Воображаемая величина, большая всякой данной (мат.). ❖ До бесконечности (разг.) очень долго, без конца. Ждать, спорить до бесконечности. Толковый словарь Ушакова. Д.Н.… … Толковый словарь Ушакова

бесконечность — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN infinity … Справочник технического переводчика

Бесконечность — У этого термина существуют и другие значения, см. Бесконечность (значения). Бесконечность концепция, используемая в математике, философии и естественных науках. Бесконечность какого то понятия или атрибута некоторого объекта означает… … Википедия

БЕСКОНЕЧНОСТЬ — филос. понятие, отражающее безграничность и беспредельность развития материи, неисчерпаемость ее познания. Место, занимаемое понятием Б. в системе категорий диалектич. материализма, определяется связью Б. с такими осн. категориями, как материя,… … Философская энциклопедия

БЕСКОНЕЧНОСТЬ — понятие, отражающее безграничность, беспредельность. У Гегеля есть понятие «дурной» или «отрицательной» бесконечности в смысле постоянной смены одних конечных вещей другими, беспрерывного их пространственно временного изменения. По Гегелю… … Тематический философский словарь

Бесконечность — ж. 1. Отсутствие начала и конца, предела во времени; нескончаемость. 2. Пространство, не имеющее видимых пределов, границ; безграничность, бескрайность. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Источник

Бесконечность

Термин бесконечность может описывать несколько различных понятий, в зависимости от области применения, будь это математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь.

Потенциальная и актуальная бесконечность

Когда говорят, что некоторая величина потенциально бесконечны, то подразумевается, что она может быть неограниченно увеличена. Альтернативой является понятие актуальной бесконечности, которая означает величину, которая не имеет конечной меры. Пример: второй постулат Евклида утверждает не бесконечность длины прямой линии, а всего лишь то, что «прямую можно непрерывно продолжать». Это потенциальная бесконечность. Если же рассмотреть всю бесконечную прямую, то она дает пример актуальной бесконечности.

Античные философы и математики признавали, как правило, только потенциальную бесконечность, решительно отвергая возможность оперировать с актуально бесконечными атрибутами. Согласно этой доктрине формулировались научные утверждения. Например, теорема о бесконечности множества простых чисел в античных математиков формулировалась так: «Каково бы ни было простое число P, существует простое число, большее, чем P ».

. Всегда можно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет границ. Поэтому бесконечность потенциальная, никогда не действительна; которое бы число делений ни задали, всегда потенциально можно поделить на большее число.

Именно Аристотель сделал большой вклад в осознание бесконечности, разделив ее на потенциальную и актуальную и вплотную подойдя с этой стороны к основам математического анализа, а также указав на пять источников учения о ней:

Бесконечность в культуре и философии

Бесконечность в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего необозримо большого в применении к сущностям без пространственных или временных границ.

Математическом происхождению символа бесконечности предшествовал религиозный аспект.

Понятие бесконечности развивалось в философии и теологии наряду с точными науками и естествознанием. Например, в теологии бесконечность Бога не столько дает количественное определение, сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии бесконечность долгое время рассматривалась как атрибут пространства и времени ; в наши дни это дискуссионный вопрос космологии. Например, древним символом бесконечности, что встречается в совершенно разных культурах, есть змей Уроборос, которого иногда изображают таким, что сворачивается в виде перевернутой восьмерки.

Бесконечность в естествознании

В философии интенсивно обсуждались два вопроса, связанные с бесконечностью: вопрос о конечности или бесконечности вселенной в пространстве и времени и вопрос о возможности бесконечного деления. Актуальность этих философских вопросов несколько уменьшилась со становлением современных естественнонаучных теорий: физической космологии и атомистики.

По современным уявленннямы естествознания о форме Вселенной он является замкнутым, т.е. имеет конечный объем, хотя и ограничен. Космологический параметр плотности, который определяет форму Вселенной несколько больше единицы. Пространственных границ Вселенной физическая космология не устанавливает, но одновременно существуют пределы удаленности небесных тел, которые человек может наблюдать, связанные с конечностью скорости света и возрастом Вселенной.

Физические теории оперируют с абстракциями, которые связаны с понятием бесконечности. Например, физики часто рассматривают бесконечное сплошную среду, в котором распространяются монохроматические плоские волны. Хотя экспериментальных возможностей воспроизвести такую среду и такую волну нет, эти абстракции оказались плодотворными в смысле физических процессов.

Бесконечность в математике

В математике не существует одного понятия бесконечности, она наделяется особыми свойствами в каждом разделе. Более того, эти различные «бесконечности» не являются взаимозаменяемыми. Например, теория множеств рассматривает различные бесконечности, причем одна может быть больше другого. Скажем, количество целых чисел бесконечно велика (она называется счисления ). Чтобы обобщить понятие количества элементов для бесконечных множеств, в математике вводится понятие мощности множества. При этом не существует одной «бесконечной» мощности. Например, мощность множества действительных чисел больше мощность множества целых чисел, так как между этими множествами можно построить взаимно-однозначное соответствие ( биекцию ), а целые числа включенных в действительные. Таким образом, в этом случае « число элементов » (мощность) одного множества более «бесконечное» «числа элементов» (мощности) другого. Основоположником этих понятий был немецкий математик Георг Кантор.

В математическом анализе множеству действительных чисел добавляются два несобственные числа, которые обозначаются символами и и применяются для определения предельных значений и сходимости. В данном случае речь о «воспринимаемая» бесконечность не идет, так как любое утверждение, содержащее этот символ, можно записать, используя только конечные числа и кванторы. Эти символы, как и многие другие, были введены для сокращения записи более длинных выражений.

Символ бесконечности

Джон Волис ввел символ бесконечности в научной литературе.

Точное происхождение символа бесконечности ∞ неизвестно.

Наиболее вероятное объяснение состоит в том, что символ бесконечности происходит от формы ленты Мебиуса. Опять же, можно представить бесконечное путешествие по ее поверхности.

Ввод символа бесконечности ∞ часто приписывают Джону Волису в 1655 в его сочинении De sectionibus conicis. Одно из мнений о том, почему он выбрал этот символ является то, что он происходит из римского записи числа 1000 происходивший от этрусского записи числа1000, который выглядел вроде этого CI0 и иногда использовался для обозначения понятия «много». Другим мнением является то, что он происходит от греческой буквы ω омега, последней буквы в греческом алфавите. Или еще, так как вся верстка проводилась вручную, ∞ легко верстались как 8 возвращена на 90°.

В кодировке Unicode бесконечность обозначена символом ∞ (U +221 E).

Источник

Бесконечность

Бесконечность — концепция, используемая в математике, философии и естественных науках. Бесконечность какого-то понятия или атрибута некоторого объекта означает невозможность указать для него границы или количественную меру. Точное значение этого термина несколько различается в зависимости от области применения — математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь.

Содержание

Потенциальная и актуальная бесконечность

Когда говорят, что некоторая величина потенциально бесконечна, то имеется в виду, что она может быть неограниченно увеличена. Альтернативой является понятие актуальной бесконечности, которая означает, что рассматривается (как реально существующая) величина, не имеющая конечной меры. Пример: второй постулат Евклида утверждает не бесконечность длины прямой линии, а всего лишь то, что «прямую можно непрерывно продолжать». Это потенциальная бесконечность. Если же рассмотреть всю бесконечную прямую, то она даёт пример актуальной бесконечности.

Именно Аристотель сделал большой вклад в осознание бесконечности, разделив её на потенциальную и актуальную и вплотную подойдя с этой стороны к основам математического анализа, а также указав на пять источников представления о ней:

Бесконечность в культуре и философии

Бесконечность в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных или временных границ.

Математическому происхождению символа бесконечности предшествовал [3] религиозный аспект. Подобные символы были найдены среди Тибетских наскальных гравюр; змея, кусающая свой хвост, или змея бесконечности, часто изображается в форме такого символа.

Понятие бесконечности получило развитие в философии и теологии наравне с точными науками. К примеру, в теологии бесконечность Бога не столько даёт количественное определение, сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии бесконечность долгое время рассматривалась также как атрибут пространства и времени; в наши дни это дискуссионный вопрос космологии. Например, древнейшим, первым известным, встречающимся в совершенно различных культурах символом бесконечности является змей Уроборос, иногда разворачиваемый в виде перевёрнутой восьмёрки.

Бесконечность в математике

В математике не существует одного понятия бесконечности, она наделяется особыми свойствами в каждом разделе. Более того, эти различные «бесконечности» не взаимозаменяемы. [источник не указан 106 дней] К примеру, теория множеств подразумевает разные бесконечности, причём одна может быть больше другой. Скажем, количество целых чисел бесконечно большое (оно называется счётным). Чтобы обобщить понятие количества элементов для бесконечных множеств, в математике вводится понятие мощности множества. При этом не существует одной «бесконечной» мощности. Например, мощность множества действительных чисел больше мощности целых чисел, потому что между этими множествами нельзя построить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), а целые числа включены в действительные. Таким образом, в этом случае «число элементов» (мощность) одного множества «бесконечней» «числа элементов» (мощности) другого. Основоположником этих понятий был немецкий математик Георг Кантор.

В математическом анализе ко множеству действительных чисел добавляются два символа и , применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. Сто́ит отметить, что в этом случае речь об «осязаемой» бесконечности не идёт, так как любое утверждение, содержащее этот символ, можно записать, используя только конечные числа и кванторы. Эти символы, как и многие другие, были введены для сокращения записи более длинных выражений.

Символ

В 1655 году Джон Валлис издаёт большой трактат «О конических сечениях» (De sectionibus conicis), где на стр. 5 появляется придуманный им [4] [5] символ бесконечности: ∞. В Юникоде бесконечность обозначена символом ∞ (U+221E), он включён в типографскую раскладку Бирмана версии 2.0 ( AltGr + 8 ).

Источник

Апология Бесконечности

Исследование бесконечности никогда не закончится. Познание бесконечности не есть процесс непрерывного накопления знаний о ней, это, скорее, поэтапный прерывно-исторический процесс. На каждом этапе ее познания раскрываются все новые и новые ее стороны. Бесконечность является фундаментальной гносеологической и онтологической константой. Первым знанием о ней был апейрон Анаксимандра (VI в. до н.э.), означавший бесконечное сущее. Представитель позднего пифагореизма Архит Тарентский (IV в. до н.э.) так доказывал бесконечность мироздания: «Поместившись на самом крае Вселенной … был бы я в состоянии протянуть свою руку или палку дальше за пределы этого края или нет?» [1, с. 240]. Аристотель, как известно, отрицал актуальную бесконечность. Он и ввел понятия актуальной и потенциальной бесконечности. Правда, логически не совсем ясно – как можно говорить о потенциальной бесконечности при отсутствии бесконечности как таковой, то есть актуальной бесконечности. Затем христианство посчитало, что оно решило проблему бесконечности, придав ее в качестве неотъемлемого атрибута Богу. Потом математика в лице дифференциального и интегрального исчисления взяла бесконечность на свое вооружение. Поскольку бесконечность не имела строгого и четкого определения, то в математике начали появляться связанные с ней противоречия. Так, например, бесконечные ряды в математике разделили на сходящиеся и расходящиеся, было также узаконено положение о том, что линии состоят из точек, плоскости – из прямых и т.д. До Георга Кантора ничего принципиально нового в понимании бесконечности не было. Заслугой Кантора как раз и является открытие им бесконечной иерархии алефов (алефы – это бесконечные кардинальные числа, или мощности бесконечных множеств). Им была создана теория бесконечных множеств. Вполне закономерным было то, что в ней начали обнаруживаться противоречия. Наиболее известными из них являются парадоксы Рассела. О парадоксах и противоречиях существует достаточно обширная литература. Их исследованию посвящены, например, работы [2], [3], [4], [5]. Однако противоречия и парадоксы в них не разрешаются, а обсуждаются. Правда, Бурова в [4] справедливо подчеркивает, что прямая не состоит из точек, плоскость не состоит из прямых, а то, что в математике считается, что прямая состоит из точек, является заблуждением. Одним словом, противоречия и парадоксы в теории бесконечных множеств сохраняются и поныне. За не менее чем столетнее существование теории (а точнее – теорий) бесконечных множеств в понимании бесконечности мало что изменилось. Даже появление нестандартного анализа (см. о нем в [6]) не внесло полной ясности в понимание бесконечности. Но несмотря на противоречия, математика не собирается отказываться от «канторовского рая», то есть от теории бесконечных множеств (о бесконечном и проблемах бесконечности в доступном изложении см. книжки: «В поисках бесконечности», «Рассказы о множествах» – автор Н.Я. Виленкин; «Неисчерпаемость бесконечности» – автор Ф.Ю. Зигель; «Игра с бесконечностью» – автор венгерская математик Р. Петер).

В последнее время появились публикации, направленные на ниспровержение теории бесконечных множеств и негативно оценивающие самого Г. Кантора и его учение. Эти антиканторовские выступления не беспочвенны и носят весьма решительный и бескомпромиссный характер. Мы здесь покажем несостоятельность подобной антиканторовской тенденции.

Речь идет о публикациях и выступлениях А.А. Зенкина [7], [8], [9]. Вот как он оценивает свой результат [8, с. 167]: «Таким образом, впервые доказано великое интуитивное провидение (и предостережение!) Аристотеля, Лейбница, Локка, Декарта, Спинозы, Канта, Гаусса, Коши, Кронекера, Эрмита, Пуанкаре, Брауэра, Витгенштейна, Вейля, Лузина и многих других выдающихся математиков и философов о том, что «актуальная бесконечность» является внутренне противоречивым понятием и потому его использование в математике — недопустимо». Учение же Кантора объявляется вредным (там же): «именно теорема II Кантора всегда была и остается сегодня единственным(!) основанием для, поистине, вавилонского столпотворения несчетных ординалов и недостижимых кардиналов современной метаматематики: уберите теорему II Кантора, и весь этот блистательный супертрансфинитный «вавилон» рассыпется единовременно, поскольку самый разговор о существовании бесконечных множеств, различающихся по своей мощности, будет в этом случае выглядеть всего лишь «трансфинитной претензией на пустое глубокомыслие»» и «любопытным патологическим казусом в истории математики, от которого грядущие поколения придут в ужас». Подобных мест с негативной оценкой Кантора и его учения в этих статьях весьма достаточно.

Главный астролог страны раскрыла секрет привлечения богатства и процветания для трех знаков зодиака, вы можете проверить себя Бесплатно ⇒ ⇒ ⇒ ЧИТАТЬ ПОДРОБНЕЕ….

Но с таким заключением нельзя согласиться по двум причинам. Во-первых, отрицание бесконечности и канторовской теории множеств есть просто-напросто крайний агностицизм. Если согласиться с такой точкой зрения, то из математики надо будет выбросить многие интереснейшие и важнейшие разделы. Потеряем, если можно так сказать, бесконечно много, а найдем бесконечно мало. Во-вторых, концептуальные противоречия из теории множеств можно устранить [11]. Мы здесь кратко остановимся на устранении только тех противоречий, которые имеют отношение к разбираемому здесь противоречию между принятым в теории множеств определением бесконечного множества и диагональным методом Кантора.

Противоречия теории множеств почему-то принято называть парадоксами. Наверное, с легкой руки Б. Рассела. И еще потому, наверное, что парадоксы относят к чему-то непознанному и скрытому и поэтому их существование в теориях считают естественным. Но, в конце концов, парадоксы и противоречия должны быть разрешены и устранены из теории. Поскольку мы здесь защищаем право бесконечности на ее существование, то и разберем мы здесь только два концептуальных противоречия, имеющих непосредственное отношение к этому вопросу, хотя, конечно, концептуальных противоречий в теории множеств значительно больше. Первое из них является фундаментальным и представляет собой методологический принцип всей теории бесконечных множеств. Это – принцип «часть может быть равна целому». Второе концептуальное противоречие заключается в фактическом отсутствии определения начальной актуальной бесконечности. Рассмотрим эти противоречия по порядку.

На принципе «часть может быть равна целому» как на незыблемом фундаменте покоится аксиома бесконечности Дедекинда, эквивалентная другим определениям бесконечности (например, в книге П.С. Александрова [12, с. 21] аксиома Дедекинда доказывается как теорема). Приведем часть тех противоречий теории множеств, которые порождаются этим принципом. Одним из известных парадоксов является парадокс с расходящимися рядами. Например, знакочередующийся ряд S=1-1+1-1+… в зависимости от группировки его членов может иметь любое значение суммы S от 0,±1,±2,… до ± ∞. И все потому, что при перегруппировке членов ряда количество отрицательных и положительных членов на основании принципа «часть может быть равна целому» может меняться самым произвольным образом. Говорят также, что подмножество четных, или нечетных, чисел натурального ряда эквивалентно всему натуральному ряду. Такой же парадоксальной является и арифметика над трансфинитными числами, в которой действуют другие, чем в конечной арифметике, правила и которые также основываются на принципе «часть может быть равна целому». Например, в трансфинитной арифметике имеют место следующие соотношения: n+ω=ω≠ω+n, 2×ω≠ω+ω=ω×2, ω=n×ω≠ω×n и др. Есть еще правила выполнения арифметических операций над кардинальными числами, отличающиеся и от правил конечной арифметики, и от правил трансфинитной арифметики. Так,

определяющее количество элементов в бесконечном множестве. А такое доказанное Кантором положение, как «число точек отрезка равно числу точек квадрата», настолько сильно повлияло на математику, что заставило в топологии отказаться от общепринятого во всем естествознании параметрического определения размерности пространств и принять на вооружение индуктивное определение размерности, которое определяет континуумы любых размерностей как множества. Все эти парадоксы никак не согласуются с классической логикой. В теории множеств с классической логикой согласуется как раз только одно – диагональный метод Кантора, поскольку в нем не задействовано противоречивое определение бесконечного множества на основе принципа «часть может быть равна целому». Поэтому если и есть основания говорить об ошибке Георга Кантора, то не относительно диагонального метода [7], а относительно введенного им в теорию множеств принципа «часть может быть равна целому», который находится в вопиющем противоречии с классической логикой. В [11] предложено отказаться в теории бесконечных множеств от принципа «часть может быть равна целому» и соответственно от определения бесконечного множества по Дедекинду. В результате в диагональном методе доказательства отношения 2 ω >ω уже нельзя будет добавить в предполагаемый пересчет множества 2 ω новый, «диагональный», элемент, так как это добавление согласно принципу классической логики «часть не может быть равна целому» изменит предполагаемый пересчет и превратит его в новое множество, неэквивалентное предполагаемому пересчету. Диагональный метод Кантора, таким образом, останется непоколебимым. Уйдут также из теории множеств и выше перечисленные противоречия, а в бесконечном будут действовать те же законы классической логики, что и в конечной области.

Интересно, конечно, задаться вопросом: как и почему крупные математики доказывали и передоказывали теорему Кантора и не замечали противоречия между определением бесконечного множества и диагональным методом? Нам кажется, что при ее доказательстве, в силу грандиозности последствий теоремы «2 M >M«, на время или «забывали» о принципе «часть может быть равна целому», или подсознательно подчинялись принципу «часть не может быть равна целому» и потому останавливались на том самом месте диагонального метода, где надо было проверить возможность добавления нового элемента к проверяемому множеству и повторного построения другого нового элемента и т.д. Скорее всего, этим и можно объяснить ситуацию с диагональным методом. Здесь уместно вспомнить Б. Рассела и спросить: почему Рассел вместо того, чтобы разобраться в сущности оснований теории множеств и их противоречий, выставлял на передний план следствия из обнаруженных им парадоксов? Почему? Нам кажется потому, что критиковать и разрушать всегда легче, чем созидать, что деконструировать, ломать легче, чем конструировать. Аналогичным образом обстоят дела и в случае последних антиканторовских выступлений А.А. Зенкина.

В его статье [9] на основе ошибочных умозаключений также дискредитируется канторовская теория множеств. На наш взгляд, в ней имеет место самое простое смешение конечного с бесконечным [9 с. 80-81]. Действительно, там рассматриваются две знаковые конструкции (5) и (6). Знаковая конструкция (5) – это соответствующая запись натурального ряда:

где символ w есть произвольное конечное натуральное число. Соответственно многоточие между натуральным числом 3 и натуральным числом w означает, что на его месте находится w-4 натуральных чисел, то есть вполне определенное конечное количество w-4 натуральных чисел. Знаковая конструкция (6) – это, как говорит автор, «знаменитый канторовский ряд трансфинитных чисел»:

1, 2, 3, …, ω, ω+1, ω+2, ω+3, …, ω×2, ω×2+1, ω×2+2, ω×2+3, …

Таким образом, никакого (1–1)-соответствия между счетной конструкцией (5) и несчетной конструкцией (6) нет и быть не может. Соответственно нет и быть не может никакой речи о сведении бесконечного к конечному, что пытался сделать Зенкин.

Из всего вышесказанного следует только одно: ниспровержение канторовской теории множеств не имеет под собой никаких оснований. Противоречия? Да – в ней имеются противоречия, но их преодоление и устранение являются вполне посильными и реальными [11].

Перейдем ко второму названному нами концептуальному противоречию – фактическому отсутствию определения начальной актуальной бесконечности. Уязвимым в теории множеств является начальное бесконечное множество, в качестве которого выступает множество натуральных чисел N=0,1,2,3,…,n,… Оно называется также счетным множеством. Изучается оно как актуальное множество, имеющее мощность ω. Бесконечность ω есть наименьшая бесконечность, поскольку все числа, меньшие этой бесконечности, входят в множество N, которое включает в себя только конечные числа. Известным противоречием является тот факт, что множество N содержит только конечные числа – оно еще называется множеством всех конечных чисел – и, несмотря на это, постулируется, что оно содержит бесконечное количество ω конечных чисел. С точки зрения классической логики этого не может быть, поскольку количество чисел в множестве N должно совпадать с максимальным числом этого множества, то есть число ω, или по крайней мере число ω-1, должно входить в множество N. Но это не так – число ω не входит в ряд N, оно называется предельным, к которому стремятся числа натурального ряда, что записывают как: . Причем, в этой и многих других подобных записях имеет место нечеткость в понимании символов бесконечности. Так, запись n→∞ должна пониматься просто как фраза «n стремится к бесконечности». Равенство же предела limn трансфиниту ω вполне конкретно, хотя очевидно, что ω≠∞. Не имея предшественника (число ω-1 в теории множеств запрещено), число ω оказывается и магическим, и мистическим, и фантастическим. Вследствие этого между числом ω и всеми конечными числами N имеет место «дырка», которая одновременно может быть и «черной дырой», в которую могут улетать мириады бесконечных множеств N, и «черной антидырой», из которой можно черпать также мириады бесконечных множеств. Несмотря на всю эту экзотику, множество натуральных чисел остается неизменным по своей мощности, то есть по своему количеству элементов. Такое положение вещей находится в явном противоречии с классической логикой, с ее принципом «часть не может быть равна целому». Это, наверное, и побудило Г. Кантора и Р. Дедекинда ввести в теорию бесконечных множеств принцип «часть может быть равна целому» (этот принцип ввел в обиход еще Николай Кузанский).

Поскольку мы отказались от этого принципа, то очевидно, что надо найти определение актуальной бесконечности, отвечающее действительному положению вещей. А оно, то есть действительное положение вещей, является следующим. Во-первых, поскольку противоречия в бесконечном проистекают из-за нарушения принципов классической логики, то главным методологическим принципом в определении бесконечности должны быть принципы классической логики. Во-вторых, необходимо иметь непротиворечивое определение счетного множества. Наконец, в-третьих, надо дать четкое и ясное непротиворечивое определение начальной актуальной бесконечности.

Таким образом, вместо двух противоречивых оснований теории бесконечных множеств «часть может быть равна целому» и «счетное множество есть начальное бесконечное множество» выдвинуты и используются следующие концептуальные положения:

· первое: «часть не может быть равна целому», что на языке множеств означает: никакая собственная часть никакого множества не может быть эквивалентной самому множеству;

· второе: известное счетное множество натуральных чисел N=0,1,2,… является конечным множеством, имеющим мощность, равную предельному конечному числу N;

· третье: для любого множества существует как известное теоретико-множественное отношение «множество всех подмножеств 2 M «, так и обратное ему информационно-субстратное отношение «log₂M«;

· четвертое: начальным бесконечным множеством является множество, имеющее мощность, равную начальному бесконечному кардиналу ω₀=ω.

С первыми тремя положениями мы уже разобрались. Осталось рассмотреть четвертое – какой объект является начальным бесконечным множеством? Этот объект имеет онтологические основания и, в общем-то, знаком и известен. Он почему-то считается вторичным по отношению к стандартному счетному множеству. Получают его следующим образом. Обычно говорят: отложим на прямойx от точки «0» единичный отрезок с концом, обозначенным через «1», от точки «1» отложим еще один единичный отрезок с концом, обозначенным через «2», и так до бесконечности. Полученные таким образом точки на прямой геометрически иллюстрируют множество натуральных чисел (см., например, [14, с. 33-34]). На самом же деле первичным в знании являются не числа, а прямая, или одномерный континуум x. Он символизирует первосущную онтологическую бесконечность. Можно сказать, что это о ней говорил Архит Тарентский. Она есть актуальная бесконечность, но бесконечность континуальная, в отличие от бесконечности множественной. Вот ее-то, то есть прямую x, мы и принимаем в качестве начальной онтологической бесконечности, которую и обозначаем известным символом «∞», придавая ему таким образом статус определенности. Здесь нам достаточно ее понимания как бесконечной величины, или длины. Эта бесконечная величина единственна. Вот теперь, если мы отложим на прямой x единичный отрезок e и возьмем отношение ∞/e, то получим начальную теоретико-множественную бесконечность ω=∞/e. Это отношение есть актуальное разбиение актуальной прямой ∞ на ω конечных отрезков e. Оно несет в себе глубокий онтологический и гносеологический смысл отношения между актуальным бесконечным ∞ и актуальным конечным e, или просто – между конечным и бесконечным. Разбиение ω порождает многое из единого и это многое есть начальное актуальное бесконечное множество ω=<e₁,e₂,…,e_ω>, состоящее из ω единичных отрезков e. Обо всем этом обстоятельно говорится в книге [11].

Апологию бесконечности мы завершим сопоставлением бесконечного ряда W всех порядковых чисел с нашим бесконечным числовым рядом Ω, являющимся развитием и углублением сущности ряда порядковых чисел.

Бесконечный ряд W порядковых чисел имеет вид:

Бесконечный числовой ряд Ω, свободный от концептуальных противоречий, выглядит следующим образом:

Ряд Ω имеет фундаментальные отличия от ряда W. Во-первых, он не имеет никаких концептуальных противоречий. В частности, он прост по существу: на нем справедливы принципы классической логики и конечной арифметики. Во-вторых, его счетное множество является не бесконечным, а конечным. И в-третьих, ряд Ω не имеет в известном смысле не только наибольшего бесконечного числа, но и наименьшего бесконечного числа. Этот факт в ряде Ω отражен символами предельных бесконечностей: ω_—– наименьшей и ω₊– наибольшей бесконечностей. Его архитектура существенно отличается от архитектуры ряда W и заключается в том, что ряд Ω может быть разбит на пять классов:

-начальный класс, он же – счетное множество N=0,1,2,…,N-1 всех конечных чисел. Его кардинал N называется конечным числом Кагота. Кагот – герой повествования чукотского писателя Юрия Рытхэу [15] (Кагот искал числа, которые уже не конечные, но еще и не бесконечные, и считал, что тот, кто найдет их, будет счастлив и все узнает). О предельном числе N здесь говорится, что оно не существует в канторовском смысле, то есть в том смысле, в каком говорится в известной теории множеств о несуществовании наибольшей бесконечности в ряде W;

-начальное бесконечное число ω=ω₀=∞/e. Оно является онтологическим основанием всех бесконечных кардинальных чисел – и больших ω₁,ω₂,…, и малых ω_-1,ω_-2,…;

-класс больших бесконечных чисел от ω+1,ω+2,… до наибольшего кардинала ω₊, о несуществовании которого говорится то же, что и о несуществовании чисел N и ω_—.

Таким образом, несмотря ни на какие противоречия, бесконечность во всех своих ипостасях была, есть и будет. Аристотель говорил: «Infinitum Actu Non Datur!» (актуальная бесконечность несуществует!), мы же говорим: «Infinitum Actu Datur!» (актуальная бесконечность существует!).

Источник